Công thức Giải tích 12

1 Px!phangiakhue GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 0




 
 


 
 
 
 

 

sin 0 √6 − √24 2 − √22 12 √22 √32 2 + √22 √6 + √24 1 √6 + √24 2 + √22 √32 √22 12 2 − √22 √6 − √24 0 cos 1 √6 + √24 2 + √22 √32 √22 12 2 − √22 √6 − √24 0 √2 − √64 − 2 − √22 − 12 − √22 − √32 − 2 + √22 − √6 + √24 -1 tan 0 2 − √3 √2 − 1 √33 1 √3 √2 + 1 √6 − √24 | −2 − √3 −√2 − 1 −√3 -1 − √33 1 − √2 √3 − 2 0 cot | 2 + √3 √2 + 1 √3 1 √33 √2 − 1 2 − √3 0 √3 − 2 1 − √2 − √33 -1 −√3 −√2 − 1 −2 − √3 | Dấu của các giá trị lượng giác: 0 < α <   < α < π cosα + - sinα + + tanα + - cotα + - Các đẳng thức lượng giác cơ bản: sin2  + cos2  = 1 tan  . cot  = 1 1cos2  = 1 + tan2  1sin  = 1 + cot  Hàm số lượng giác của cung đối nhau: sin −! = − sin  cos −! = cos  tan −! = − tan  cot −! = − cot  Hàm số lượng giác của các cung bù nhau: sin " − ! = sin  cos " − ! = −cos  tan " − ! = −tan  cot " − ! = −cot  Hàm số lượng giác của cung phụ nhau: sin "2 − ! = cos  cos "2 − ! = sin  tan "2 − ! = cot  cot "2 − ! = tan  CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng: sin  ± $! = sin  cos $ ± cos  sin $ cos  ± $! = cos  cos $ ∓ sin  sin $ tan  ± $! = tan  ± tan $1 ∓ tan  . tan $ cot  ± $! = ± cot  cot $ − 1cot  ± cot $ Công thức nhân đôi: sin 2 = 2 sin . cos  tan 2 = 2 tan 1 − tan  cos 2 = cos  − sin  = 2 cos  − 1 = 1 − 2sin  Công thức nhân ba: cos 3 = 4 cos&  − 3 cos  tan 3 = 3tan  − tan& 1 − 3 tan  sin 3= 3 sin  − 4 sin &  2 Px!phangiakhue Công thức biến đổi tích thành tổng: cos . cos $ = 12 'cos  + $! + cos  − $!( sin . sin $ = 12 'cos  − $! − cos  + $!( sin . cos $ = 12 'sin  + $! + sin  − $!( cos . sin $ = 12 'sin  + $! − sin  − $!( Công thức biến đổi tổng thành tích: cos  + cos $ = 2 cos  + $2 cos  − $2 cos  − cos $ = −2 sin  + $2 sin  − $2 sin  + sin $ = 2 sin  + $2 cos  − $2 sin  − sin $ = 2 cos  + $2 sin  − $2 tan  + tan $ = sin  + $!cos . cos $ cot  + cot $ = sin  + $!sin . sin $ tan  − tan $ = sin  − $!cos . cos $ cot  − cot $ = sin $ − !sin . sin $ Công thức hạ bậc: sin  = 1 − cos 22 cos  = 1 + cos 22 sin&  = 3 sin  − sin 34 cos&  = 3 cos  + cos 34 Công thức rút gọn: asin ) + * cos ) = √+ + * sin ) + ! ,ớ- cot  = ./ = √+ + * cos ) − ! ,ớ- tan  = /. asin ) − * cos ) = + + * sin ) − ! ,ớ- cot  = *+ =√+ + * cos ) + ! ,ớ- tan  = /. Hệ quả: sin  + cos  = √2 sin 0 + "41 = √2 cos 0 − "41 sin  − cos  = √2 sin 0 − "41 = −√2 cos 0 + "41 tan  + cot  = 2sin 2 tan  − cot  = −2 cot 2 Công thức tính sinα, cosα, tanα theo 2 = 234 5 sin  = 261 + 6 cos  = 1 − 61 + 6 tan  = 261 − 6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lý hàm số cosin: + = * + 7 − 2*7 cos 8 * = + + 7 − 2+7 cos 9 7  = + + * − 2+* cos : 3 Px!phangiakhue Định lý hàm số sin: +sin 8 = *sin 9 = 7sin : = 2; Định lý đường trung tuyến: * + 7 = 2</ + +2 + + 7 = 2<. + *2 + + * = 2<= + 72 Định lý đường phân giác: Phân giác trong >? = 2*7 cos 82* + 7 = 2*7@ @ − +!* + 7 >A = 2+7 cos 92+ + 7 = 2+7@ @ − *!+ + 7 >B = 2+* cos :2+ + * = 2+*@ @ − 7!+ + * Phân giác ngoài >′? = 2*7 cos 82|* − 7| >′A = 2+7 cos 92|+ − 7| >′B = 2+* cos :2|+ − *| Định lý hình chiếu: a = b.cosC + c.cosB b = c.cosA + a.cosC c = a.cosB + b.cosA Công thức về diện tích: E = F *7 sin 8 = F +7 sin 9 = F +* sin : E = +*74; E = @G = @ @ − +! tan 82 = @ @ − *! tan 92 = @ @ − 7! tan :2 E = @ @ − +! @ − *! @ − 7! E = 12 +ℎ/ = 12 *ℎ. = 12 7ℎ= E = 2; sin 8 sin 9 sin : E = + sin 9 sin :2 sin 8 = *  sin 8 sin :2 sin 9 = 7  sin 8 sin 92 sin : E = G/ @ − +! = G. @ − *! = G= @ − 7! E = 34 @I @I − </! @I − <.! @I − <=! Jớ- @I = 12 </ + <. + <=! E = ℎ/ℎ.4 . 1K@I @I − ℎ/! @I − ℎ.! @I − ℎ/ℎ.ℎ= ! Jớ- @I = 12 Lℎ/ + ℎ. + ℎ/ℎ.ℎ= M Cho A’, B’, C’ là chân các đường phân giác: E?IAIBI = E 2+*7 + + *! * + 7! 7 + +! Cho HA, HB, HC là chân các đường cao: ENONPNQ = E cos 8 cos 9 cos : 4 Px!phangiakhue Công thức liên quan đường tròn nội tiếp: G = E@ = 4; sin 82 sin 92 sin :2 = @ − +! tan 82 = @ − *! tan 92 = @ − 7! tan :2 G/ = @ tan 82 G. = @ tan 92 G= = @ tan :2 1G = 1ℎ/ + 1ℎ. + 1ℎ= Công thức về góc: sin 82 = R @ − *! @ − 7!*7 sin 92 = R @ − +! @ − 7!+7 sin :2 = R @ − +! @ − *!+* cos 82 = R@ @ − +!*7 cos 92 = R@ @ − *!+7 cos :2 = R@ @ − 7!+* tan 82 = R @ − *! @ − 7!@ @ − +! tan 92 = R @ − +! @ − 7!@ @ − *! tan :2 = R @ − +! @ − *!@ @ − 7! Một số công thức trong tam giác vuông: + = * + 7 1ℎ = 1* + 17 * = *′+ 7 = 7′+ ℎ = *′7′ +ℎ = *7 Một số công thức trong tam giác thường: AI và AJ là phân giác của 98:S thì: T9T: = U9U: = 898: HA là chân đường cao từ A, OA là trung điểm BC: 89 − 8: = 29:VVVV. W?X?VVVVVVV H’ là trực tâm tam giác, HA là chân đường cao từ A: X?X. X?8 = X?9. X?: Đẳng thức trong tam giác: sin 8 + sin 9 + sin : = 4 cos 82 . cos 92 . cos :2 cos 8 + cos 9 + cos : = 4 sin 82 . sin 92 . sin :2 + 1 tan 8 + tan 9 + tan : = tan 8. tan 9. tan : cot 8. cot 9 + cot 9. cot : + cot 8. cot : = 1 tan 82 . tan 92 + tan 92 . tan :2 + tan 82 . tan :2 = 1 cot 82 + cot 92 + cot :2 = cot 82 . cot 92 . cot :2 Bất đẳng thức trong tam giác: sin 8 + sin 9 + sin : ≤ 3√32 1 < cos 8 + cos 9 + cos : ≤ 32 1 < sin 82 + sin 92 + sin :2 ≤ 32 2 < cos 82 + cos 92 + cos :2 ≤ 3√32 sin 8. sin 9. sin : ≤ 3√38 sin 82 . sin 92 . sin :2 ≤ 18 cos 8. cos 9. cos : ≤ 18 cos 82 . cos 92 . cos :2 ≤ 3√38 5 Px!phangiakhue sin 8 + sin 9 + sin : ≤ 92 tan + + tan 9 + tan : ≥ 3√3 tan 82 + tan 92 + tan :2 ≥ √3 tan 82 . tan 92 . tan :2 ≤ 13√3 cot 8 + cot 9 + cot : ≥ √3 cot 82 + cot 92 + cot :2 ≥ 3√3 HỆ THỨC TRONG TỨ GIÁC E = R @ − +! @ − *! @ − 7! @ − ^! − +*7^ cos 9 + _2 Jớ- @ = + + * + 7 + ^2 E = 8:. 9_. sin 2 Jớ-  >à aó7 a-ữ+ ℎ+- đườda 7ℎéf Nếu tứ giác nội tiếp thì:Tích hai đường chéo bằng tổng tích hai cạnh đối. E =  @ − +! @ − *! @ − 7! @ − ^! ---------®--------- VI PHÂN Hàm lũy thừa: ^ )g! = )ghF ^) ^ +) + *! = + ^) ^ L1)M = − ^)) ^ L 1)iM = − d) ihF )i ^) ^j√)k = ^)2√) ^j √)l k = ^)d √)ihFl Hàm lượng giác: ^ sin )! = cos ) ^) ^ cos )! = − sin ) ^) ^ tan )! = ^)cos ) = 1 + tan )! ^) ^ cot )! = − ^)sin ) Hàm lượng giác ngược: ^ sinhF )! = ^)√1 − ) ^ coshF )! = − ^)√1 − ) ^ tanhF )! = ^)1 + ) ^ cothF )! = − ^)1 + ) Hàm mũ và logarithme: ^ ln )! = ^)) ^ log/ )! = ^)) ln + ^ op! = op ^) ^ +p! = +p ln + ^) 6 Px!phangiakhue TÍCH PHÂN Hàm lũy thừa: q r ^) = r) + 7 q ^)) = ln|)| q )i ^) = )isFd + 1 + 7 q )ti ^) = d< + d ) tsii + 7 q √)l ^) = dd + 1 )isF l + 7 q ^)) = − 1 ) + 7 q ^))i = − 1 d − 1!)ihF + 7 q ^)√)l = d d − 1 )ihF l + 7 q +) + *!i ^) = +) + *!isF+ d + 1! + 7 ,ớ- d ≠ 1! q ^)+) + * = 1 + ln|+) + *| + 7 ,ớ- +) + * ≠ 0! q ^ +) + *! = +) + * + 7 q +) + *!ti ^) = d+ < + d! +) + *! tsii + 7 q ^) +) + *!i = − 1 + d − 1! +) + *!ihF + 7 q √+) + *l ^) = d+ d + 1!  +) + *!ihFl + 7 q ^)√+) + *l = d + d − 1!  +) + *!ihFl + 7 Hàm lượng giác: q sin ) ^) = − cos ) + 7 q cos ) ^) = sin ) + 7 q tan ) ^) = − ln|cos )| + 7 q cot ) ^) = ln|sin )| + 7 q ^)sin ) = − cot ) + 7 q ^)cos ) = tan ) + 7 q sin +) + *! ^) = − 1+ cos +) + *! + 7 q cos +) + *! ^) = 1+ sin +) + *! + 7 q tan +) + *! ^) = − 1+ ln|cos +) + *!| + 7 q cot +) + *! ^) = 1+ ln|sin +) + *!| + 7 q ^)sin +) + *! = − 1 + cot +) + *! + 7 q ^)cos +) + *! = 1 + tan +) + *! + 7 Hàm logarithme: q op ^) = op + 7 q owp ^) = 1r owp + 7 q +p ^) = +pln + + 7 q +wp ^) = 1r +p ln + + 7 q ohp ^) = −ohp + 7 q ln ) ^) = ) ln ) − 1! + 7 q o/ps. ^) = 1+ o/ps. + 7 q +gpsx ^) = +gpsx ln + + 7 q ln +) + *! ^) = 1+ +) + *!'ln +) + *! − 1( + 7 7 Px!phangiakhue Hàm phân thức: q ^)+) + * = 1 + ln|+) + *| + 7 q ^)) + 1 = tanhF ) + 7 q ^)) − 1 = 1 2 ln y ) − 1 ) + 1y + 7 q ^)) + + = 1 + tanhF ) + + 7 q ^)) − + = 1 2+ ln z ) − + ) + +z + 7 q ^) ) + $! + a = 1 a tanhF ) + $ a + 7 q ^) ) + $! − a = 1 2a ln { ) + *! − + ) + $! + +{ + 7 Hàm căn thức: q ^)√1 − ) = sinhF ) + 7 q ^)) ± 1 = ln z) + ) ± 1z + 7 q ^)√+ − ) = sinhF ) + + 7 q ^)) ± + = ln z) + ) ± +z + 7 q + − ) ^) = )2 + − ) + + 2 sinhF ) + + 7 q ) ± + ^) = )2 ) ± + + + 2 ln z) + ) ± +z + 7 q ^)a − ) + $! = 1 α sinhF ) + $ a + 7 q ^) ) + $! ± a = 1  ln z ) + $! +  ) + $! ± +z + 7 q a − ) + $! ^) = ) + $!2 a − ) + $! + + 2 sinhF ) + $ a + 7 q  ) + $! ± a ^) = ) + $2  ) + $! ± + + a 2 ln z) +  ) + $! ± az + 7