Đại số tuyến tính - Giải bài tập hạng của ma trận

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬN Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 3 tháng 12 năm 2004 13) Tìm hạng của ma trận: A =  4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2 4 3 −8 2 7 8 6 −1 4 −6  Giải: A d2→(−2)d1+d2−−−−−−−−→ d3→−d1+d3 d4→(−2)d1+d4  4 3 −5 2 3 0 0 3 0 −4 0 0 −3 0 4 0 0 9 0 −12  d3→−d2+d3−−−−−−−→d4→(−3)d2+d4  4 3 −5 2 3 0 0 3 0 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 3 . 14) Tìm hạng của ma trận: A =  3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 1 −3 5 0 7 7 −5 1 4 1  Giải: A đổi dòng−−−−−→  1 −3 5 0 7 3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 7 −5 1 4 1  d2→ - 3d1 + d2−−−−−−−−−→d3→−5d1+d3 d4→−2d1+d4  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 12 −23 3 −31 0 16 −34 4 −48  d3→−3 2 d2 + d3−−−−−−−−−→ d4→−7d1+d4  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 0 −5 0 −7 0 0 −10 0 −16  d4→−2d3+d4−−−−−−−→  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 0 −5 0 −7 0 16 0 0 −2  Vậy rank A = 4 . 1 15) Tìm hạng của ma trận: A =  2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5  Giải A d1↔d2−−−−→  1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5  d2→−2d1+d2−−−−−−−→d3→−3d1+d3 d4→−5d1+d4  1 2 1 2 1 2 0 −3 0 −3 0 −3 0 −2 0 −2 0 −2 0 −5 1 −3 0 −5  d2↔− 1 3 d2−−−−−→  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 −2 0 −2 0 −2 0 −5 1 −3 0 −5  d3→2d2+d3−−−−−−→d4→5d2+d4  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0  d3↔d4−−−−→  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 3 . 16) Tìm hạng của ma trận: A =  2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1  Giải: A đổi dòng−−−−−→  1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4  d2→−2d1+d2 d3→−d1+d4−−−−−−−→ d4→−d1+d4 d5→−d1+d5 d6→−d1+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 1 2 3  d3→2d2+d3−−−−−−→ d6→d2+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 −2 −2 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 1 2  d3↔d6−−−−→  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 −2 −2  2 d4→−3d3+d4−−−−−−−→ d6→2d3+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 0 −6 0 0 0 4 0 0 0 2  d5→ 2 3 d4+d5−−−−−−−→ d6→ 1 3 d4+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 4 . 17) Tìm hạng của ma trận : A =  3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3  Giải: A đổi cột−−−−→  1 1 4 3 4 10 1 a 7 17 3 1 2 4 3 2  d2→−4d1+d2−−−−−−−→d3→−7d1+d3 d4→−2d1+d4  1 1 4 3 0 6 0 a− 12 0 10 −25 −20 0 2 −5 −4  đổi dòng−−−−−→  1 1 4 3 0 2 −5 −4 0 6 0 a− 12 0 10 −15 −20  d3→−3d2+d3−−−−−−−→d4→−5d2+d4  1 1 4 3 0 2 −5 −4 0 0 15 a 0 0 0 0  Vậy rank A = 3. Với mọi a. 18) Tìm hạng của ma trận: A =  −1 2 1 −1 1 a −1 1 −1 −1 1 a 0 1 1 1 2 2 −1 1  Giải: A đổi cột−−−−→  1 −1 1 −1 2 −1 −1 1 a −1 1 1 0 1 a 1 −1 2 1 2  d2→d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→d4→−d1+d4  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 2 −1 2 a− 2 0 0 1 2 0  d3→d2+d3−−−−−−→  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 0 1 a+ 1 a− 1 0 0 1 2 0  d4→−d3+d4−−−−−−−→  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 0 1 a+ 1 a− 1 0 0 0 a− 1 1− a  Vậy : nếu a 6= 1 thì rank A = 4 . 3 . nếu a = 1 thì rank A = 3 . 19) Tìm hạng của ma trận: A =  1 + a a . . . a a 1 + a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . 1 + a  Giải: A c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  1 + na a . . . a 1 + na 1 + a . . . a . . . . . . . . . . . . 1 + na a . . . 1 + a  d2→−d1+d2−−−−−−−→..................... dn→−d1+dn  1 + na a . . . a 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1  Nếu a 6= − 1 n . Khi đó 1 + na 6= 0 và rank A = n . Nếu a = − 1 n . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n− 1 vì có định thức con cấp n− 1 gồm n− 1 dòng cuối, cột cuối . Dn−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 . . . 0 1 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 Còn định thức cấp n bằng 0 . 20) Tìm hạng của ma trận (n ≥ 2 ) A =  0 1 1 . . . 1 1 0 x . . . x 1 x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . 1 x x . . . 0  Giải: Nếu x 6= 0 : A c1→xc1−−−−→ d1→xd1  0 x x . . . x x 0 x . . . x x x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . x x x . . . 0  c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  (n− 1)x x x . . . x (n− 1)x 0 x . . . x (n− 1)x x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . (n− 1)x x x . . . 0  d2→−d1+d2−−−−−−−→ d3→−d1+d3 ..................... dn→−d1+dn  (n− 1)x x x . . . x 0 −x 0 . . . 0 0 0 −x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . −x  Vậy rank A = n 4 Nếu x = 0 A =  0 1 1 . . . 1 1 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 . . . 0  d3→−d2+d3−−−−−−−→...................dn→−d2+dn  0 1 1 . . . 1 1 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0  rankA = 2. Vậy rankA = n nếu x 6= 0 rankA = 2 nếu x = 0 21) Tìm hạng của ma trận vuông cấp n: A =  a b b . . . b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . a  Giải: A c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  a+ (n− 1)b b b . . . b a+ (n− 1)b a b . . . b . . . . . . . . . . . . . . . a+ (n− 1)b b b . . . a  d2→−d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→..................... dn→−d1+dn  a+ (n− 1)b b b . . . b 0 a− b 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0  1. Nếu a 6= (1− n)b, a 6= b thì rankA = n 2. a = b 6= 0 thì rankA = 1 a = b = 0 thì rankA = 0 3. a = (n− 1)b = 0 thì rankA = n− 1 Vì có định thức con cấp n− 1 (bỏ dòng đầu, cột đầu)∣∣∣∣∣∣∣∣ a− b 0 . . . 0 0 a− b . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . a− b ∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a− b) n−1 6= 0 Còn định thức cấp n bằng 0. 5