Đáp án đề kiểm tra giáo viên bồi dưỡng hè 2013 môn Toán

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIÁO VIÊN BỒI DƯỠNG HÈ 2013 Môn Toán Câu 1 ( 1,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy-2x+3y = 27 b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p+ 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy-2x+3y = 27 Ta có: xy-2x+3y = 27 x(y-2)+ 3(y-2) = 21 (x+3)(y-2)= 21 Do đó : Vậy nghiệm của phương trình là : (x ,y)= b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p+ 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố Ta có : p.(p+2).(p+4) chia hết cho 3. Mà p + 2 và p + 4 là số nguyên tố nên không chia hết cho 3. Suy ra p phải chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố nên p =3 Vậy p = 3 Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức  + Rút gọn biểu thức: P = + Tính giá trị của biểu thức A khi: b) Cho a+b+c =1 và . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1 a) Ta có: Khi đó P = Tính giá trị biểu thức A Ta có: Do đó b) Ta có : (1) a+b+c =1 a2 + b2 + c2 +2(ab+bc+ca)= 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra: a2 + b2 + c2 =1(đpcm) Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau: (2x2 +x-2014)2 +4(x2 -5x-2013)2 = 4(2x2 +x-2014) (x2 -5x-2013) b) Giải hệ phương trình sau: a) Ta có: (2x2 +x-2014)2 +4(x2 -5x-2013)2 = 4(2x2 +x-2014) (x2 -5x-2013) ((2x2 +x-2014)-2(x2 -5x-2013))2 = 0 2x2 +x-2014 = 2(x2 -5x-2013) 11x = - 2012 Vậy nghiệm của phương trình là: b) Ta có: với Ta nhân cả hai vế của từng phương trình với 2 rồi cộng từng vế của các phương trình trong hệ ta được: Vậy nghiệm của hệ phương trình là: Câu 4 ( 2,5 điểm) Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác điểm B di chuyển trên đường tròn (O)đường kính AB sao cho AC > BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến A tại D, cắt AB tại E. Hạ AH vuông góc với CD tại H a) CMR: AD.CE = CH. DE b) CMR: OD.BC là một hằng số. c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung điểm AE. CMR trực tâm của tam giác IFG là một điểm cố định. a) Hình vẽ a) Ta có ∆HAD đồng dạng ∆AED(g- g) Suy ra Do đó: AD.AD = HD. DE (1) Xét ∆ADC có: DC = DA (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) Mà DAC= DCA = 600 Nên ∆ADC đều Suy ra AC= DC = AD = CE (2) , mà AH vuông góc với DC nên HD = CH (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AD. CE = CH . DE ( đpcm) b) Xét tam giác COE có: OCE = 900 , CEO = 300 suy ra BO = BE = BC = R Mà CE= CD nên BC là đường trung bình của tam giác ODE, do đó: OD.BC = 2BC. BC= 2R2 không đổi Xét tam giác IFG có: IE FG (gt) Ta có tam giác CEF đều, mà BC = BE nên FB CE (1) Mặt khác tứ giác CEGI là hình bình hành do đó CE// IG (2) Từ (1) và (2) suy ra FBIG Khi đó IE và FB là hai đường cao của tam giác IFG cắt nhau tại B , suy ra đường cao GB cũng phải đi qua B. Vậy trực tâm của tam giác IFG là một điểm cố định. Câu 5 ( 1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13 cm. Dây CD có độ dài 12 cm vuông góc với AB tại H. Tính độ dài HA, HB b) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tính tứ giác CMHN. a) Hình vẽ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được HA= 4cm; HB = 9 cm Hoặc HA = 9cm; HB = 4cm b) Ta có Tứ giác CMHN là hình chữ nhật nên diện tích tứ giác CMHN bằng : CM. MH 60cm2 Câu 6 (1,0 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ ab +bc + ca = 6abc CMR: Ta có: a+b+c+ ab +bc + ca = 6abc (đpcm) ( Lưu ý : Đây chỉ là cách giải mà tôi nghĩ ra để các bạn tham khảo, có thể còn có cách giải khác đối với các bài toàn trên).