Đáp án – Thang điểm, đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn: Toán, khối D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khi hàm số trở thành 1,m = 3 22 24 . 3 3 y x x x= − − + • Tập xác định: .D = \ • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: hoặc 22 2 4; 0y x x y x′ ′= − − = ⇔ = −1 2.x = 0,25 Các khoảng đồng biến: và ( ; 1−∞ − ) (2; );+∞ khoảng nghịch biến . ( 1;2)− - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1,x = − yCĐ 3,= đạt cực tiểu tại 2,x = yCT 6.= − - Giới hạn: lim , lim , x x y y→−∞ →+∞= −∞ = +∞ 0,25 - Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: b) (1,0 điểm) Ta có 2 22 2 2(3y x mx m′ = − − Đồ thị hàm số có hai điểm cực tr 213 4 0m⇔ − > 2 13 13 m⇔ > Ta có: 1 2x x m+ = và 1 2 1x x = 1 (2,0 điểm) 0m⇔ = hoặc 2 . 3 m = Kiểm −∞ +∞ 3 –6 y 'y + 0 – 0 + x −∞ –1 2 +∞ y www.VNMATH.com0,25 . 1)− 0,25 ị khi và chỉ khi phương trình 0y′ = có hai nghiệm phân biệt hoặc 2 13 . 13 m < − 0,25 23 ,− m do đó 21 2 1 22( ) 1 1 3 2 1x x x x m m+ + = ⇔ − + = 0,25 tra điều kiện ta được 2 . 3 m = 0,25 x –1 O 2 – 6 3 Trang 1/4 Câu Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương với: (2sin 2cos 2)cos2 0.x x x+ − = 0,25 π πcos2 0 ( ). 4 2 kx x k• = ⇔ = + ∈] 0,25 2sin 2cos 2 0x x• + − = ( )π 1cos 4 2x⇔ − = 0,25 2 (1,0 điểm) 7π 2π 12 x k⇔ = + hoặc π 2π ( ) 12 x k k= − + ∈] . Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: π π , 4 2 kx = + 7π 2π, 12 x k= + π 2π ( ) 12 x k k= − + ∈] . 0,25 Hệ đã cho tương đương với: 2 2 0 (1) (2)(2 1)( ) 0 xy x x y x y + − =⎧⎪⎨ − + − =⎪⎩ 0,25 2 1 0 2x y y x• − + = ⇔ = +1. Thay vào (1) ta được 2 1 51 0 . 2 x x x − ±+ − = ⇔ = Do đó ta được các nghiệm 1 5( ; ) ; 5 2 x y ⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ và 1 5( ; ) ; 5 . 2 x y ⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 2 0 2.x y y• − = ⇔ = x Thay vào (1) ta được 3 22 0 ( 1)( 2) 0x x x x x+ − = ⇔ − + + = 0,25 3 (1,0 điểm) 1.x⇔ = Do đó ta được nghiệm ( ; ) (1; 1).x y = Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là: ( ; ) (1; 1),x y = 1 5( ; ) ; 5 2 x y ⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , 1 5( ; ) ; 5 . 2 x y ⎛ ⎞− −= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 π π π ππ 4 4 4 42 24 0 0 0 00 πd sin 2 d sin 2 d sin 2 2 32 xI x x x x x x x x x x x= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ d . 0,25 Đặt suy ra ;d sin 2 d ,u x v x x= = 1d d ; cos2 2 u x v x= = − . 0,25 Khi đó π π π 4 4 4 00 0 1 1 1sin 2 d cos2 cos2 d cos2 d 2 2 2 π 4 0 x x x x x x x x x= − + =∫ ∫ ∫ 0,25 4 (1,0 điểm) π 4 0 1 1sin 2 . 4 4 x= = Do đó 2π 1 . 32 4 I = + 0,25 Tam giác A AC′ vuông cân tại A và A C a′ = nên A A AC′ = . 2 a= Do đó . 2 aAB B C′ ′= = 0,25 3 ' 1 1' '. ' '. . ' . 3 6ABB C ABB aV B C S B C AB BB′ ′ ∆= = = 248 0,25 Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của .A AB′∆ Ta có 'AH A B⊥ và AH BC⊥ nên ( ' ),AH A BC⊥ nghĩa là (AH BCD ').⊥ Do đó ( ,( ')).AH d A BCD= 0,25 5 (1,0 điểm) Ta có 2 2 2 1 1 1 6 . ' 2AH AB AA a = + = Do đó 6( ,( ')) . 6 ad A BCD AH= = 0,25 A B C D 'A 'D 'C 'B H Trang 2/4 www.VNMATH.com Câu Đáp án Điểm Ta có 2 2( 4) ( 4) 2 32 2( ) 8( ) 0 0x y x y x yx y xy− + − + ≤ 8.⇔ + − + ≤ ⇔ ≤ + ≤ 0,25 3( ) 3( ) 6 6A x y x y xy= + − + − + 3 23( ) ( ) 3( ) 2 x y x y x y≥ + − + − + + 6. Xét hàm số: 3 23( ) 3 6 2 f t t t t= − − + trên đoạn [0 ; 8]. Ta có 2( ) 3 3 3,f t t t′ = − − 1 5( ) 0 2 f t t +′ = ⇔ = hoặc 1 5 2 t −= (loại). 0,25 Ta có 1 5 17 5 5(0) 6, , (8) 398. 2 4 f f f ⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = Suy ra 17 5 5 . 4 A −≥ 0,25 6 (1,0 điểm) Khi 1 5 4 x y += = thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 5 5 . 4 − 0,25 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 3 0 4 0 x y x y + =⎧⎨ − + =⎩ ( 3;1). A⇒ − 0,25 Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN//AD. Suy ra MN có phương trình là 4 0. 3 x y− + = Vì N thuộc AC, nên tọa độ của điểm N thỏa mãn hệ 4 0 11; .3 33 0 x y N x y ⎧ − + =⎪ ⎛ ⎞⇒ −⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ + =⎩ 0,25 Đường trung trực ∆ của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD, nên có phương trình là 0.x y+ = Gọi I và K lần lượt là giao điểm của ∆ với AC và AD. Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ ⎧⎨ 03 0 x y x y + = ,+ =⎩ và tọa độ của điểm K thỏa mãn hệ 0 4 0. x y x y + =⎧⎨ − + =⎩ Do đó I(0; 0) và K(−2;2). 0,25 7.a (1,0 điểm) 2 (3; 1);AC AI C= ⇒ −JJJG JJG 2 ( 1;3);AD AK D= ⇒ −JJJG JJJG (1; 3).BC AD B= ⇒ −JJJG JJJG 0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. 0,25 Ta có ( ;( )) 3.IH d I P= = 0,25 Bán kính của mặt cầu (S) là: 2 23 4 5R .= + = 0,25 8.a (1,0 điểm) Phương trình của mặt cầu (S) là: 2 2 2( 2) ( 1) ( 3) 25x y z− + − + − = . 0,25 Ta có: 2(1 2 )(2 ) 7 8 (2 ) 4 7 1 ii z i i z i i ++ + = + ⇔ + = ++ 0,25 3 2 .z i⇔ = + 0,25 Do đó 4 3 .w i= + 0,25 9.a (1,0 điểm) Môđun của w là 2 24 3 5+ = . 0,25 I N M D C B A K Trang 3/4 www.VNMATH.com Câu Đáp án Điểm Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình. Do nên tọa độ của I có dạng I d∈ ( ;2 3).I t t+ 0,25 ( , ) ( , )AB CD d I Ox d I Oy= ⇔ = | | | 2 3 | 1t t t⇔ = + ⇔ = − hoặc 3.t=− 0,25 • Với ta được nên 1t = − ( 1;1),I − ( ; ) 1.d I Ox = Suy ra, bán kính của (C) là 2 21 1 2. + = Do đó 2 2( ): ( 1) ( 1) 2.C x y+ + − = 0,25 7.b (1,0 điểm) • Với ta được nên 3t = − ( 3; 3),I − − ( ; ) 3.d I Ox = Suy ra, bán kính của (C) là 2 23 1 10.+ = Do đó 2 2( ): ( 3) ( 3) 10.C x y+ + + = 0,25 Do M d∈ nên tọa độ của điểm M có dạng (1 2 ; 1 ; ).M t t t+ − − 0,25 Ta có (2 ; ; 2), ( 1 2 ; ; ).AM t t t BM t t t= − − = − + −JJJJG JJJJG Tam giác AMB vuông tại M . 0AM BM⇔ =JJJJG JJJJG 0,25 2 22 ( 1 2 ) ( 2) 0 6 4 0t t t t t t t⇔ − + + + − = ⇔ − = 0,25 8.b (1,0 điểm) 0t⇔ = hoặc 2 . 3 t = Do đó ( )1; 1;0M − hoặc 7 5 2; ; 3 3 3 M ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠. 0,25 Phương trình bậc hai có biệt thức 2 3(1 ) 5 0z i z i+ + + = 2 .i∆ = − 0,25 2(1 ) .i= − 0,25 Do đó nghiệm của phương trình là 3(1 ) (1 ) 1 2 2 i iz i− + + −= = − − 0,25 9.b (1,0 điểm) hoặc 3(1 ) (1 ) 2 . 2 i iz i− + − −= = − − 0,25 ------------- HẾT------------- Trang 4/4 www.VNMATH.com