Đề 1 thi thử đại học và cao đẳng môn thi: toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x mx m4 2 1= + - - (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2. 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm): 1) Giải hệ phương trình: ìï + + = í + + + =ïî x x y x x y xy x 2 3 2 2 5 9 3 2 6 18 2) Giải phương trình: x x x x2 1sin sin 2 1 cos cos 2 + = + + Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx x 8 2 3 1 1 - + ò Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên CC¢D¢D. Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương. Câu V (1 điểm): Cho x, y là hai số thực thoả mãn x xy y2 2 2- + = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x xy y2 22 3+ - . II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0+ - = và d2: x y2 6 3 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 2 0+ + - - - + = và đường thẳng d: x y z3 3 2 2 1 - - = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: z z z2 4 2( 9)( 2 4) 0+ + - = 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: x y3 8 0- - = . Tìm toạ độ điểm C. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y z1 1 2 1 2 - + = = và d2: x y z2 1 1 1 2 - - = = - . Lập phương trình đường thẳng d cắt d1 và d2 và vuông góc với mặt phẳng (P): x y z2 5 3 0+ + + = . Câu VII.b (1 điểm): Cho hàm số x mx m y mx 2 1 1 + + - = + (m là tham số). Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. ============================ Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y x mx34 2¢ = + . · Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau Û y y(1). ( 1) 1¢ ¢ - = - Û m 2(4 2 ) 1+ = Û m m 3 2 5 2 é = -ê ê ê = - ë . Câu II: 1) Hệ PT Û y x x x x x x+ 2 4 3 2 9 5 4 5 18 18 0 ìï = - - í + - - =ïî Û y x x x x x 29 5 1 3 1 7 ì = - - ïïé = íê = -ïê ï = - ±ëî Û x y x y x y x y 1; 3 3; 15 1 7; 6 3 7 1 7; 6 3 7 é = = ê = - = ê = - - = +ê ê = - + = -ë 2) PT Û x x x(sin 1)(sin cos 2) 0- + + = Û xsin 1= Û x k2 2 p p= + . Câu III: I = x dx x x 8 2 2 3 1 1 1 æ ö -ç ÷ç ÷+ +è ø ò = ( )x x x 8 2 2 31 ln 1 é ù+ - + +ë û = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - + . Câu IV: Gọi E = AK Ç DC, M = IE Ç CC¢, N = IE Ç DD¢. Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa diện: KMCAND và KBB¢C¢MAA¢D¢N. Đặt V1 = VKMCAND, V2 = VKBB¢C¢MAA¢D¢N. · Vhlp = a3 , VEAND = ADNED S a 31 2. . 3 9D = . · EKMC EAND V EK EM EC V EA EN ED 1. . 8 = = Þ KMCAND EANDV V V a a 3 3 1 7 7 2 7. 8 8 9 36 = = = = , V2 = Vhlp – V1 = a3 29 36 . Þ V V 1 2 7 29 = . Câu V: · Nếu y = 0 thì M = x2 = 2. · Nếu y ¹ 0 thì đặt x t y = , ta được: M = x xy y x xy y 2 2 2 2 2 32. + - - + = t t t t 2 2 2 32 1 + - - + . Xét phương trình: t t m t t 2 2 2 3 1 + - = - + Û m t m t m2( 1) ( 2) 3 0- - + + + = (1) (1) có nghiệm Û m = 1 hoặc D = m m m2( 2) 4( 1)( 3) 0+ - - + ³ Û m2( 13 1) 2( 13 1) 3 3 + - - £ £ . Kết luận: M 4( 13 1) 4( 13 1) 3 3 + - - £ £ . II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y x y 2 0 2 6 3 0 ì + - = í + + =î Þ A 15 7; 4 4 æ ö -ç ÷ è ø . Giả sử: B b b( ;2 )- Î d1, c C c 3 2; 6 æ ö- - ç ÷ è ø Î d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC Û b c cb 1 2 3 22 6 1 2 ì + = -ï ï - -í - +ï =ïî Û b c 1 4 9 4 ì =ï í ï = - î Þ B 1 7; 4 4 æ ö ç ÷ è ø , C 9 1; 4 4 æ ö -ç ÷ è ø . 2) (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=r . (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ]n u i, (0;1; 2)= = -rr r Þ Phương trình của (P) có dạng: y z D2 0- + = . (P) tiếp xúc với (S) Û d I P R( ,( )) = Û D 2 2 1 4 2 1 2 - + = + Û D 3 2 5- = Û D D 3 2 5 3 2 5 é = + ê = -ë Þ (P): y z2 3 2 5 0- + + = hoặc (P): y z2 3 2 5 0- + - = . Câu VII.a: PT Û z z 2 2 2 9 ( 1) 5 é = - ê + =ë Û z i z2 3 5 1 é = ± ê = ± -ë Û z i z z i 3 5 1 5 1 é = ± ê = ± -ê ê = ± +ë . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB. AB = 2 Þ CH = ABC S AB 2 3 2 D = ÞIK = CH 1 1 3 2 = . Giả sử I(a; 3a – 8) Î d. Phương trình AB: x y 5 0- - = . d I AB IK( , ) = Û a3 2 1- = Û a a 2 1 é = ê =ë Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5). · Với I(2; –2) Þ C(1; –1) · Với I(1; –5) Þ C(–2; –10). 2) x t d y t z t 1 1 1 1 1 2 : 1 2 ì = + ï = - +í ï =î , x t d y t z t 2 2 2 2 2 : 1 2 ì = + ï =í ï = -î . (P) có VTPT n (2;1;5)=r . Gọi A = d Ç d1, B = d Ç d2. Giả sử: A t t t1 1 1(1 2 ; 1 ;2 )+ - + , B t t t2 2 2((2 2 ; ;1 2 )+ - Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1( 2 1; 1; 2 2 1)= - + - + - - + uuur . · d ^ (P) Û AB n, uuur r cùng phương Û t t t t t t2 1 2 1 2 12 1 1 2 2 1 2 1 5 - + - + - - + = = Û t t 1 2 1 1 ì = - í = -î Þ A(–1; –2; –2). Þ Phương trình đường thẳng d: x y z1 2 2 2 1 5 + + + = = . Câu VII.b: mx x m my mx 2 2 2 2 2 ( 1) + + -¢ = + . Để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì m m m3 2 0 2 1 0D ì > í ¢ = - + <î Û m 1 51 2 + < < . =====================