Đề 2 thi thử đại học và cao đẳng môn thi: toán – khối a–b–d–v thời gian: 180 phút (khôngkể thời gian phát đề)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x x x3 2 1 83 3 3 = - - + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ). Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: x x2 1(1 4sin )sin3 2 - = 2) Giải phương trình: x x x x2 2 23 1 tan 1 6 p - + = - + + Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - + -ò Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 060 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y z2 2 2 1+ + = . Chứng minh: P = x y z y z z x x y2 2 2 2 2 2 3 3 2 + + ³ + + + II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 9- + + = và đường thẳng d: x y m 0+ + = . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( ) n x2 2+ , biết: n n nA C C 3 2 18 49- + = (n Î N, n > 3). 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0- - = và hai đường tròn có phương trình: (C1): x y2 2( 3) ( 4) 8- + + = , (C2): x y2 2( 5) ( 4) 32+ + - = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: x y z2 1 2 2 - = = và mặt phẳng (P): x y z 5 0- + - = . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 045 . Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: x y xy x y x y 2 2 2 2 lg lg lg ( ) lg ( ) lg .lg 0 ìï = + í - + =ïî ============================ Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m. PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x x m3 2 1 83 3 3 - - + = Û x x x m3 23 9 8 3 0- - + - = (1) Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A, B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x x x x2 21 2( )( ) 0- - = Û x x x x x x x 3 2 2 2 2 1 1 2 0- - + = (2) Đồng nhất (1) và (2) ta được: x x x x m 2 2 1 2 1 2 3 9 8 3 ì = ï =í ï = -î Û x x m 1 2 3 3 19 3 ì = ± ïï = í ï = - ïî . Kết luận: d: y 19 3 = - . Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: PT Û x x x x32sin3 (4 cos 3cos ) cos- = Û x x x2sin3 .cos3 cos= Û x xsin 6 sin 2 pæ ö = -ç ÷ è ø Û k k x x 2 2 14 7 10 5 p p p p = + Ú = + 2) PT Û x x x x2 4 2 33 1 1 3 - + = - + + (1) Chú ý: x x x x x x4 2 2 21 ( 1)( 1)+ + = + + - + , x x x x x x2 2 23 1 2( 1) ( 1)- + = - + - + + Do đó: (1) Û x x x x x x x x2 2 2 2 32( 1) ( 1) ( 1)( 1) 3 - + - + + = - + + - + . Chia 2 vế cho ( )x x x x 2 2 21 1+ + = + + và đặt x xt t x x 2 2 1, 0 1 - + = > + + Ta được: (1) Û t t2 32 1 0 3 + - = Û t t 3 0 2 3 1 3 é - = <ê ê ê =êë Û x x x x 2 2 1 1 31 - + = + + Û x 1= . Câu III: I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 - + -ò = x x dx 2 5 2 2 4 - -ò + x x dx 2 2 2 2 4 - -ò = A + B. · Tính A = x x dx 2 5 2 2 4 - -ò . Đặt t x= - . Tính được: A = 0. · Tính B = x x dx 2 2 2 2 4 - -ò . Đặt x t2sin= . Tính được: B = 2p . Câu IV: Gọi P = MN Ç SD, Q = BM Ç AD Þ P là trọng tâm DSCM, Q là trung điểm của MB. · MDPQ MCNB V MD MP MQ V MC MN MB 1 2 1 1. . . . 2 3 2 6 = = = Þ DPQCNB MCNBV V 5 6 = · Vì D là trung điểm của MC nên d M CNB d D CNB( ,( )) 2 ( ,( ))= Þ MCNB DCNB DCSB S ABCDV V V V . 12 2 = = = Þ DPQCNB S ABCDV V . 5 12 = Þ SABNPQ S ABCDV V . 7 12 = Þ SABNPQ DPQCNB V V 7 5 = . Câu V: Từ giả thiết x y z2 2 2 1+ + = Þ x y z0 , , 1< < . · Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương: x x x2 2 22 ,1 .1- - ta được: x x x x x 2 2 2 2 2 232 (1 ) (1 ) 2 (1 ) 3 + - + - ³ - Û x x2 2 23 22 (1 ) 3 - £ Û x x2 2(1 ) 3 3 - £ Û x x x 2 2 3 3 21 ³ - Û x x y z 2 2 2 3 3 2 ³ + (1) · Tương tự ta có: y y z x 2 2 2 3 3 2 ³ + (2), z z x y 2 2 2 3 3 2 ³ + (3) · Từ (1), (2), (3) Þ x y z x y z y z z x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3( ) 2 2 + + ³ + + = + + + Dấu "=" xảy ra Û x y z 3 3 = = = . II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m) Î d. IA2 18= Û x m x2 2( 1) ( 2) 18- + - - + = Û x m x m m2 22 2(3 ) 4 13 0- - + - - = (1) Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = m m2 2 35 0- + + = Û m m 7 5 é = ê = -ë . 2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0+ + = (với A B C2 2 2 0+ + ¹ ). · Vì (P) ^ (Q) nên: A B C1. 1. 1. 0+ + = Û C A B= - - (1) · d M P( ,( )) 2= Û A B C A B C2 2 2 2 2+ - = + + Û A B C A B C2 2 2 2( 2 ) 2( )+ - = + + (2) Từ (1) và (2) ta được: AB B28 5 0+ = Û B A B 0 (3) 8 5 0 (4) é = ê + =ë · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z 0- = · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x y z5 8 3 0- + = . Câu VII.a: Ta có: n n nA C C 3 2 18 49- + = Û n nn n n n8 ( 1)( 1)( 2) 49 2 - - - - + = Û n n n3 27 7 49 0- + - = Û n 7= . n k k k k x x C x 7 2 2 7 2(7 ) 7 0 ( 2) ( 2) 2- = + = + = å . Số hạng chứa x8 Û k2(7 ) 8- = Û k = 3. Þ Hệ số của x8 là: C3 37 .2 280= . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 Û a a a a2 2 2 2( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2- + + - = - + + - Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x y2 2( 1) 2+ + = . 2) Gọi d Pu u n, ,D r r r lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử du a b c a b c 2 2 2( ; ; ) ( 0)= + + ¹r . · Vì d Ì (P) nên d Pu n^ r r Þ a b c 0- + = Û b a c= + (1) · ·( )d 0, 45D = Û a b c a b c2 2 2 2 2 2 23 + + = + + Û a b c a b c2 2 2 22( 2 ) 9( )+ + = + + (2) Từ (1) và (2) ta được: c ac214 30 0+ = Û c a c 0 15 7 0 é = ê + =ë · Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x t y t z3 ; 1 ; 1= + = - - = · Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: {x t y t z t3 7 ; 1 8 ; 1 15= + = - - = - . Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0. Hệ PT Û x y x y x y x y 2 2 2 2 lg lg (lg lg ) lg ( ) lg .lg 0 ìï = + + í - + =ïî Û y x y x y x y2 lg (lg lg ) 0 lg ( ) lg .lg 0 ì + = í - + =î Û y x y2 lg 0 (1) lg ( ) 0 ì = í - =î hoặc x y x y x y2 lg lg 0 lg ( ) lg .lg 0 ì + = í - + =î (2) · (1) Û y x y 1 1 ì = í - =î Û x y 2 1 ì = í =î . · (2) Û y x x x x x 2 1 1 1lg lg .lg 0 ì =ïï í æ öï - + =ç ÷ï è øî Û y x x x x 2 2 2 1 1lg lg ì =ïï í æ ö-ï =ç ÷ ï è øî Û y x x2 1 2 ì =ï í ï =î Û x y 2 1 2 ì =ï í =ïî Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và 12; 2 æ ö ç ÷ è ø . =====================