Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi 12- Vòng I trường thpt Nho Quan b- năm 2006

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12- VÒNG I Trường THPT Nho Quan B- Năm 2006 Bài 1 (5đ): 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng là số vô tỷ. 2. Tìm những giá trị nguyên của x, y thoả mãn: . Bài 2 (6đ): 1. Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C. Gọi m, n, p là những số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức: . 2. Cho dãy số {xn} được xác định như sau: x1=1; với n³1. Có tồn tại hay không một hằng số C sao cho với mọi n³1 ta luôn có xn£C? Bài 3 (4đ): Cho M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh tổng: MA4+MB4+MC4 không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn. Bài 4 (5đ): Cho tứ diện ABCD. 1. Giả sử SA=SB=SC=4; Tam giác ABC đều.; D là điểm trên cạnh SC sao cho CD=3. Khoảng cách từ A đến BD là 2. Tính thể tích tứ diện. 2. Bốn mặt của tứ diện tạo thành 6 nhị diện. Chứng minh rằng tổng cosin các góc phẳng của 6 nhị diện đó luôn nhỏ hơn hoặc bằng hai.