Đề chọn học sinh giỏi lớp 8 vòng 2 năm học 2013 – 2014 trường THCS Bình Định

Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2 NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1 Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB) a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất. b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600 ----- Hết ----- Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2 NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1 Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB) a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất. b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600 ----- Hết ----- HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài 1: (2,0điểm) x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ) = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ) = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ) = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] (0,5 đ) = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ) Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd Û a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0 (0,5 đ) Û (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0 (0,5 đ) Û (0,5 đ) Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d (0,5 đ) Bài 3: (1,5điểm) Ta có: M = M = (0,5 đ) M = (0,5 đ) M = (0,25 đ) M = –3 (0,25 đ) Bài 4: (2,0điểm) M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ) Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ) M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ) M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ) M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ) Bài 5: (2,5điểm) a) Tứ giác ADME có: AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và = 900 (gt) tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ) DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ) Þ DE ngắn nhất Û AM ngắn nhất. Mà AM ngắn nhất khi AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ) Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC (0,25 đ) Xét ∆ ABM vuông tại M có = 600 ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ) BM = = 2(cm) AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ) AM = cm Vậy AM ngắn nhất bằng cm DE ngắn nhất bằng cm (0,5 đ) ----- Hết ----- Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài. Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.