Đề cương ôn tập chương II ( đại số 10 - Ban cơ bản )

Đề cương ôn tập chương II ( Đại số 10 - ban cơ bản ) I . Tập xác định của hàm số A - Phần lý thuyết ã Hàm số đa thức xác định với "x ẻ R nên TXĐ là D = R . ( y = f(x) = ) ã Hàm số chứa ẩn ở mẫu thì điều kiện xác định là biểu thức ở dưới mẫu phải khác 0 . ã Hàm số chứa căn bậc chẵn ( bậc hai , bậc bốn , ) không ở mẫu thì điều kiện xác định là biểu thức trong căn phải ³ 0 . ã Hàm số chứa căn bậc chẵn ( bậc hai , bậc bốn , ) ở mẫu thì điều kiện xác định là biểu thức trong căn phải > 0 . ã Hàm số chứa căn bậc lẻ ( bậc ba , bậc năm , ) không ở mẫu thì luôn xác định "x ẻ R . ã Hàm số chứa căn bậc lẻ ( bậc ba , bậc năm , ) ở mẫu thì luôn xác định là biểu thức trong căn ≠ 0 . ã Nếu y = f1(x) + f2(x) + + fn(x) thì TXĐ của hàm số đã cho là : D = D1 ầ D2 ầ . .. ầ Dn ( Với D1 ; D2 ; ; Dn lần lượt là TXĐ của các hàm số f1(x) ; f2(x) ; ; fn(x) ) ã Đối với hàm số cho bởi nhiều biểu thức : y = f(x) = Khi đó TXĐ của hàm số đã cho là : D = D1 ẩ D2 ẩ . .. ẩ Dn ( Với D1 ; D2 ; ; Dn lần lượt là TXĐ của các hàm số f1(x) ; f2(x) ; ; fn(x) ) B . phần bài tập Tìm TXĐ của các hàm số sau Bài 1 : 1/ y = 2x + 1 11/ y = 2/ y = - 2x2 + 3x 12/ y = 3/ y = 3x3 - x2 + x - 3 13/ y = 4/ y = 14/ y = 5/ y = 15/ y = 6/ y = 16/ y = 7/ y = 17/ y = 8/ y = 18/ y = 9/ y = 19/ y = 10/ y = 20/ y = Bài 2 : 1/ y = 8/ y = 2/ y = 9/ y = 3/ y = 10/ y = 4/ y = 11/ y = 5/ y = 12/ y = 6/ y = 13/ y = 7/ y = 14/ y = Bài 3 1/ y = 3/ y = 2/ y = 4/ y = + x II . Tính giá trị của hàm số tại một điểm A . Phần lý thuyết Cho hàm số y = f(x) với TXĐ là D , x0 ẻ D . Khi đó y0 = f(x0) gọi là giá trị của hàm số tại điểm x0 . ã Chú ý : Đối với hàm số cho bởi nhiều biểu thức : y = f(x) = Tính f(x0) . + Ta kiểm tra xem x0 thuộc TXĐ của hàm số nào để thay vào biểu thức của hàm số đó . B . Bài tập 1/ Cho hàm số y = 2x + 1 . Tính y(-2) ; y(0) ; y() 2/ Cho hàm số y = . Tính y(- 2) ; y(0) ; y(1) ; y() 3/ Cho hàm số y = 2x2 - x + 3 . Tính y(- 3) ; y(0) ; y(1) 4/ Cho hàm số : y = . Tính y(- 4) ; y(- 3) ; y(3) . III . Tính chẵn lẻ của hàm số A . Lý thuyết 1. Tập đối xứng : Tập D gọi là tập đối xứng nếu với x ẻ D thì - x ẻ D ã Ví dụ : Các tập sau là đối xứng : R = ( - Ơ ; + Ơ ) ; [- a ; a] ; (- a ; a) ; R\{0} ; R\{- a ; a} ; [- a ; a] \ {0} ; .. 2. Cách xét hàm số chẵn , lẻ Cho hàm số y = f(x) xác định trên D 2.1. Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu thoả mãn hai điều kiện sau : ã TXĐ : D là tập đối xứng ã f(-x) = f(x) 2.2. Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu thoả mãn hai điều kiện sau : ã TXĐ : D là tập đối xứng ã f(-x) = - f(x) ã Chú ý : - Nếu không thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện trên thì hàm đã cho là hàm không chẵn không lẻ . - Tổng , hiệu các hàm số chẵn ( lẻ ) là một hàm chẵn ( lẻ ) . - Tích hai hàm số lẻ (chẵn ) là một hàm chẵn . - Tích một hàm số lẻ với một hàm số chẵn là một hàm số lẻ . - Ta luôn có : ; x2n = (- x)2n với n ẻ N* 3. Đồ thị của hàm số chẵn , lẻ ã Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục tung ( hay nhận trục tung làm trục đối xứng ) . ã Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O ( hay nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng ) . ã Ví dụ ( quan sát hình vẽ ) Hàm số chẵn Hàm số lẻ y = x4 - 2x2 y = B . Bài tập Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau Bài 1 : 1/ y = 2x2 - 1 6/ y = 11/ y = 2/ y = x 7/ y = 12/ y = 3/ y = x4 - 3x + 2 8/ y = 13/ y = 4/ y = x5 + 3x3 - x 9/ y = 14/ y = 5/ y = 10/ y = 15/ y = Bài 2 : 1/ y = 2/ y = IV . Tính đơn điệu của hàm số A . Phần lý thuyết 1. Cách xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (a ; b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) ã Bước 1 : - Lấy x1 ; x2 ẻ (a ; b) sao cho x1 ≠ x2 . - Tính f(x2) ; f(x1) và rút gọn hiệu f(x2) - f(x1) ã Bước 2 : Rút gọn thương số : A = và nhận xét dấu của A - Nếu A > 0 ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng (a ; b) . - Nếu A < 0 ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng (a ; b) . *Chú ý : Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên khoảng (a ; b) thì ta gọi là hàm số đơn điệu trên khoảng (a ; b) . 2. Đồ thị của hàm số đơn điệu ã Nhận xét chung : Trên khoảng (a ; b) , khi đi từ trái qua phải thì : - Đồ thị của hàm đồng biến có hướng đi lên . - Đồ thị của hàm nghịch biến có hướng đi xuống . ã Minh hoạ Hàm số đồng biến Hàm số đồng biến B . Phần bài tập Xét tính đơn điệu của các hàm số sau 1/ y = 3x + 5 trên R 2/ y = - 5x + 2 trên R 3/ y = x2 - 4x + 3 trên ( - Ơ ; 2) và (2 ; + Ơ) 4/ y = - x2 - 2x + 2 trên (- Ơ ; -1) và (-1 ; + Ơ) 5/ y = trên (2 ; + Ơ) 6/ y = x3 trên R V . Hàm số bậc nhất A . Phần lý thuyết 1. Các thông tin về hàm số bậc nhất 1.1. Dạng của hàm số bậc nhất : y = ax + b ( a ≠ 0 ) 1.2. Tập xác định : D = R 1.3 . Sự biến thiên ã Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R . ã Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R . ã Bảng biến thiên a > 0 a < 0 x - Ơ + Ơ x - Ơ + Ơ y + Ơ y + Ơ - Ơ - Ơ 1.4. Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ) ã Giao với trục tung : x = 0 ị y = b . Có điểm A(0 ; b) ã Giao với trục hoành : y = 0 ị ax + b = 0 Û x = - . Có điểm B(- ; 0) ã Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng qua hai điểm A(0 ; b) và B(- ; 0) . ã Minh hoạ hình vẽ a > 0 a < 0 2. Các dạng của phương trình đường thẳng 2.1. Đường thẳng có hệ số góc a ≠ 0 ã Phương trình dạng : y = ax + b ( a ≠ 0 ) . Khi đó a gọi là hệ số góc của đường thẳng . ã Đồ thị của đường thẳng (d) có hệ số góc ≠ 0 là một đường xiên ( hình vẽ trên ) . 2.2. Đường thẳng có hệ số góc a = 0 ã Phương trình dạng : y = b ( a = 0 ) . Khi đó hệ số góc của đường thẳng là a = 0 . ã Đồ thị của đường thẳng y = b là một đường nằm ngang ( song song với trục hoành ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ b ( hình vẽ ) . b y = b y = b b 2.3. Đường thẳng không có hệ số góc ã Phương trình dạng : x = b. Trong trường hợp này đường thẳng không có hệ số góc . ã Đồ thị của đường thẳng x = b là một đường thẳng đứng ( song song với trục tung ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b ( hình vẽ ) . b x = b b x = b y 3. Các đường thẳng đặc biệt ã Trục hoành có phương trình : y = 0 ã Trục tung có phương trình x = 0 (2) (1) O x (4) (3) ã Phân giác chính ( phân giác I ) là đường phân giác của góc (1) và (3) có phương trình : y = x . ã Phân giác phụ ( phân giác II ) là đường phân giác của góc (2) và (4) có phương trình : y = - x . 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng : (d) : y = ax + b và (d') : y = a'x + b' 4.1. Hai đường thẳng song song (d) // (d') Û ( Hai đường thẳng song song khi có cùng hệ số góc ) 4.2. Hai đường thẳng trùng nhau (d) º (d') Û 4.3 . Hai đường thẳng cắt nhau (d) cắt (d') Û a ≠ a' ( Hai đường thẳng cắt nhau khi khác hệ số góc ) . Minh hoạ (d) // (d') (d) cắt (d') .A ã Chú ý + Nếu (d) cắt (d') thì toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ pt : + (d) ^ (d') Û a.a' = - 1 ( Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng - 1 ) + Nếu (d) tạo với chiều dương của trục hoành góc a thì hệ số góc của (d) là : a = tana + Nếu (d) tạo với trục hoành góc a thì hệ số góc của (d) là : a = ± tana B . Phần bài tập Bài 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau : 1/ y = 2x - 3 2/ y = - x + 3 Bài 2 : Hãy vẽ đồ thị các hàm số sau 1/ y = 2/ y = 3/ y = ỳ x + 1ỳ 4/ y = 2ỳ xỳ - 1 5/ y = 3x + ỳ x - 1ỳ + 2 6/ y = ỳ x - 1ỳ + ỳ x + 1ỳ 7/ y = ỳ x - 1ỳ + 2 ỳ x - 2ỳ - ỳ x - 3ỳ 8/ y = ỳ 2ỳ xỳ - 1ỳ Bài 3 : Xác định đường thẳng (d) trong các trường hợp sau 1/ (d) : y = 2x + m biết (d) đi qua A(1 ; 4) 2/ (d) : y = ax - 1 biết (d) đi qua M(2 ; - 3) . 3/ (d) qua hai điểm : A(1 ; 2) và B(- 3 ; 5) 4/ (d) qua A(1 ; 0) và // (d') : y = 4x + 7 5/ (d) vuông góc với (d') : y = - x + 3 và (d) qua M(5 ; - 7) . 6/ (d) qua gốc toạ độ và tạo với chiều dương của trục hoành góc 600 . 7/ (d) qua M(- 2 ; - 1) và tạo với đường thẳng y = 3 góc 450 . Bài 4 : 1/ Tìm m để hàm số y = (m - 1)x + 2m + 3 đồng biến trên R . 2/ Điểm M(1 ; 2) thuộc đồ thị hàm số nào sau đây a/ y = 3x + 4 b/ y = ỳ x - 1ỳ + 3 c/ y = 2 ỳ x - 1ỳ + 3 x + 1ỳ - 4 3/ Tìm m để hàm số y = (1 - m2)x + 3 nghịch biến trên R . Bài 5 : Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau đây a/ y = 2x - 1 và y = x b/ y = - 3x + 2 và y = 2x + 7 c/ y = 5x + 1 và y = 5x - 7 VI . Hàm số bậc hai A . Lý thuyết 1. Dạng của hàm số bậc hai : Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c . Trong đó : ã x gọi là biến ã y gọi là hàm số ã a , b , c gọi là các hệ số (a ; b ; c ẻ R và a ≠ 0 ) 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c ã Tập xác định : D = R ã Sự biến thiên Bảng biến thiên a > 0 a < 0 x - Ơ + Ơ y + Ơ + Ơ y x - Ơ + Ơ y y - Ơ - Ơ + Hàm số nghịch biến trên (- Ơ ; ) + Hàm số đồng biến trên ( ; + Ơ) + Hàm số đồng biến trên (- Ơ ; ) + Hàm số nghịch biến trên ( ; + Ơ) ã Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c + Giao của đồ thị với trục tung : x = 0 ị y = c . Điểm M(0 ; c) + Giao của đồ thị với trục hoành : y = 0 Û ax2 + bx + c = 0 (*) ( Giải phương trình (*) tìm x ) + Đỉnh I + Trục đối xứng : x = . + Ngoài ra ta có thể lấy thêm các điểm phụ bằng cách cho x = x0 ị y = y(x0) . Khi đó đồ thị qua điểm (x0 ; y(x0)) + Vẽ đồ thị qua các điểm trên và đúng hình dạng của bảng biến thiên , đồ thị phải đối xứng với nhau qua đường thẳng x = . a > 0 a < 0 * Chú ý + Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có tên gọi là Parabol viết tắt (P) . + Với a > 0 thì bề lõm của (P) hướng lên trên . + Với a < 0 thì bề lõm của (P) hướng xuống dưới . 2. Giao điểm của Parabol với các đường 2.1. Giao điểm của (P) với đường thẳng Cho (P) : y = ax2 + bx + c và đường thẳng (d) : y = Ax + B ã Hoành độ các giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = Ax + B Û ax2 + (b - A)x + c - B = 0 (*) ã Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M ; N có toạ độ : M(x1 ; Ax1 + B) ; N(x2 ; Ax2 + B) N . M . ã Nếu (*) có một nghiệm x0 thì (d) cắt (P) tại một điểm M0(x0 ; Ax0 + B) . Khi đó ta nói (P) và (d) tiếp xúc nhau hay (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm M0 . M0 . ã Nếu (*) vô nghiệm x0 thì (d) không cắt (P) . 2.2. Giao của hai Parabol Cho hai Parabol (P) : y = ax2 + bx + c và (P') : y = a'x2 + b'x + c' ã Hoành độ các giao điểm của (P) và (P') là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c' Û (a - a')x2 + (b - b')x + c - c' = 0 (*) ã Số nghiệm của (*) là số giao điểm của hai Parabol . 3. Biến đổi đồ thị hàm bậc hai Bài toán: Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có đồ thị (C) . Từ (C) hãy nêu cách vẽ đồ thị các hàm số sau : a/ y = - f(x) = - (ax2 + bx + c) (C1) b/ y = f(ỳ xỳ) = ax2 + bỳ xỳ + c (C2) c/ y = ỳ ax2 + bx + cỳ (C3) Giải a/ y = f(x) = ax2 + bx + c (C) y = - f(x) = - (ax2 + bx + c) (C1) ã Vẽ đồ thị (C) ã Vẽ (C1) bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục hoành . (C) (C1) (C) b/ y = f(x) = ax2 + bx + c (C) y = f(ỳ xỳ) = ax2 + bỳ xỳ + c (C2) ã Vẽ đồ thị (C) ã Nhận xét : Hàm số y = f(ỳ xỳ) = ax2 + bỳ xỳ + c là hàm số chẵn nên đồ thị (C2) đối xứng với nhau qua trục tung . ị Cách vẽ (C2) từ (C) như sau : + Bước 1 : Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung . Đặt là (C') + Bước 2 : Lấy đối xứng (C') qua trục tung Đặt là (C'') Khi đó (C2) = (C') ẩ (C'') (C) (C2) c/ y = f(x) = ax2 + bx + c (C) y = ỳ ax2 + bx + cỳ (C3) ã Vẽ đồ thị (C) ã Nhận xét : y = ỳ ax2 + bx + cỳ ³ 0 nên toàn bộ đồ thị (C3) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành ị Cách vẽ (C3) từ (C) như sau : + Bước 1 : Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành . Đặt là (C') + Bước 2 : Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành . Đặt là (C'') Khi đó (C3) = (C') ẩ (C'') (C) (C3) B . Phần bài tập Bài 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau : 1/ y = 2x2 + 3x - 5 3/ y = 2x2 + x + 1 5/ y = - 2x2 + 3x 2/ y = x2 - 3x 4/ y = - x2 - 2x + 3 6/ y = - x2 + x - 1 Bài 2 : Tìm toạ độ các giao điểm của các đường sau 1/ (P) : y = 3x2 + x + 1 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 2/ (P) : y = x2 -5x + 6 và trục hoành . 3/ (P) : y = x2 + x + 1 và đường thẳng (d) : y = - x 4/ (P) : y = - x2 +3x - 1 và đường thẳng (d) : y = x + 2 5/ (P1) : y = x2 + 5x + 1 và (P2) : y = - x2 + 2x + 6 . 6/ (P1) : y = 2x2 - 3x + 5 và (P2) : y = x2 - x + 4 . Bài 3 : Tìm các hàm số bậc hai trong các trường hợp sau 1/ y = 2x2 + bx + 3 biết hoành độ đỉnh của đồ thị là x = - . 2/ y = ax2 + 4x - 1 biết đồ thị hàm số qua điểm M(1 ; 2) . 3/ y = ax2 + bx - 4 biết đồ thị hàm số qua điểm M(1 ; - 3) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 . 4/ y = 3x2 + bx + c biết đồ thị có đỉnh I . 5/ y = ax2 + 4x + c biết đồ thị có trục đối xứng là x = - 2 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 . 6/ y = ax2 + bx + c biết đồ thị hàm số qua điểm M(1 ; - 2) , N(0 ; - 1) và P(- 2 ; -17) . 7/ y = ax2 + bx + c biết đồ thị hàm số qua điểm M(1 ; ) và có đỉnh I . Bài 4 : Cho hàm số y = x2 + 3x - 4 có đồ thị là (C) . 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C) . 2/ Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm x để hàm số nhận a/ Giá trị dương b/ Giá trị âm c/ Giá trị bằng 0 . 3/ Từ (C) hãy suy ra cách vẽ và vẽ đồ thị các hàm số sau : a / y = - x2 - 3x + 4 (C1) b/ y = x2 + 3ỳ xỳ + 4 (C1) c/ y = ỳ x2 + 3x - 4 ỳ (C3) ----------------- Hết -----------------