Đề cương ôn tập học kì 1 – toán 11 (hai ban)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK I – TOÁN 11 (HAI BAN) PHẦN I - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH Chương I - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PT LƯỢNG GIÁC I. Hàm số lượng giác: 1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lượng giác * Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: - Các hàm số xác định với mọi - Hàm số: xác định với mọi - Hàm số: xác định với mọi Ví dụ 1: Tìm TXĐ của hàm số: a) b) . Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: * Phương pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lượng giác Chú ý: * Hàm số có TGT là: * Hàm số có TGT là: Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1) 2) 3) 4) 5) II. Phương trình lượng giác : 1. Phương trình lượng giác cơ bản : * Dạng 1: nghiệm tổng quát: Đặc biệt: * Dạng 2: nghiệm tổng quát: Đặc biệt: * Dạng 3: nghiệm tổng quát: Đặc biệt: * Dạng 4: nghiệm tổng quát: Đặc biệt: Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bài tập tương tự: giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. * Định nghĩa: Là phương trình có dạng trong đó t là một trong bốn hàm số lượng giác: * Cách giải: Bước 1: Đặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình; Bước 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t; Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện); Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản Þ nghiệm x Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) (Chú ý: ta có thể không đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác là như một ẩn). Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 2) Bài 2: (Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai) Giải các phương trình : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x: * Dạng phương trình: . (*) * Cách giải: Chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình: (**) Đặt . Khi đó (**) trở thành: là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải! Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 2) Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 4. Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x: * Dạng phương trình: (*) Bước 1: Nhận xét hay không là nghiệm của phương trình; Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho ta được phương trình” Bước 3: Giải phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho. Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát: (**) Ta biến đổi như sau: (**) . Đây là phương trình có dạng (*) Ví dụ: Giải các phương trình: 1) 2) Bài tập : Giải các phương trình sau 1) 4) 2) 5) 3) Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau: 1) 4) 2) 5) 3) 6) -------------------------------- CHƯƠNG II – ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT. 1. Vấn đề 1. Quy tắc đếm. 1.Quy tắc cộng : Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn của đồi tượng Y. Khi đó có m+n cách chọn một trong hai đối tượng ấy. 2.Quy tắc nhân : Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có m.n kết quả của hai hành động liên tiếp đó. Lưu ý : Hai quy tắc trên có thể mở rộng cho nhiều đối tượng (quy tắc cộng), hoặc nhiều hành động liên tiếp nhau (quy tắc nhân). Bài 1. Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn : Một bạn phụ trách quỹ lớp ? Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ ? Bài 2. Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có 3 mặt hàng : Bút, vở và thước; trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một bút, một vở và một thước ? Bài 3. Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn : Một quyển sách ? Ba quyển sách tiếng khác nhau ? Hai quyển sách tiếng khác nhau ? Bài 4. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ? Bài 5. Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ ? Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất : Là số chẵn và có hai chữ số. Là số lẽ và có hai chữ số. Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau. Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau. Bài 7. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho Hai người đó là vợ chồng. Hai người đó không là vợ chồng. Bài 8. Có 4 nam và 4 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẻ nhau ? Bài 9. Một học sinh có 10 bi đỏ khác nhau, 7 bi xanh khác nhau và 5 bi vàng khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi có màu khác nhau ? Bài 10. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không có đường nào được đi hai lần ? Bài 11. Một người vào một cửa hàng ăn. Người đó muốn chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 10 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả và 1 loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn của bữa ăn ? Bài 12. Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao : bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn bóng đá và 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao ? Bài 13. Số 360 có bao nhiêu ước số nguyên dương ? Bài 14. Trong 100.000 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số chứa một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5. Bài 15. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau ? 2. Vấn đề 2. Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp. *Hoán vị : Sắp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử khác nhau là : . *Chỉnh hợp : Lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là : . *Tổ hợp : Mỗi tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử khác nhau được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số các tổ hợp chập k của n phần tử là : Tính chất : ; . Bài 1. Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó ? Bài 2. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 4 sách Văn, 2 sách Toán và 6 sách Lí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn kề nhau ? Bài 3. Từ X={1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà 1 và 6 không đứng cạnh nhau ? Bài 4. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho : C ngồi chính giữa. A và E ngồi hai đầu ghế. Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang sao cho : Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau ? Các bạn nam ngồi liền nhau ? Bài 6. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho : Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau ? Bài 7. Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà lần mượn thứ hai không bạn nào phải mượn quyển đã đọc lần một ? Bài 8. Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho : Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà ? Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông ? Bài 9. Ba quả cầu được đặt vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách đặt, nếu : Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt) ? Các quả cầu đôi một khác nhau ? Bài 10. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành : Hai nhóm, một nhóm 7 người và nhóm kia 3 người ? Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người ? Bài 11. Một giá sách 4 tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có : Hai quyển sách ? Tám quyển sách ? Bài 12. Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Bài 13. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1 nam và ít nhất 1 nữ ? Bài 14. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm nằm trên đường tròn ? Bài 15. Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? Bài 16. Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ? Bài 17. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu : Ghế sắp thành hàng ngang ? Ghế sắp quanh một bàn tròn ? Bài 18. Trong một đa giác đều 7 cạnh kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh ? Bài 19. Tìm số các số nguyên dương gồm 5 chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó. Bài 20. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn 6 bi, trong đó : Có đúng 2 bi đỏ ? Số bi xanh bằng số bi đỏ ? Bài 21. Có 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bi mà không đủ 3 màu ? Bài 22. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B và 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ? Bài 23. Một tổ học sinh gồm 10 người trong đó có 2 nữ, 8 nam ngồi vào 10 ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi : Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau ? Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau để hai bạn nữ ngồi cạnh nhau ? 3. Vấn đề 3. Nhị thức Newtơn : . * Số hạng tổng quát (thứ k + 1) là : . Bài 1. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của : a) b) Bài 2. Tìm số hạng thứ 5 trong , mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần. Bài 3. Tìm số hạng thứ 13 trong khai triển : . Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khi triển : a) b) Bài 5. Biết hệ số của x2 trong khai triển của là 90. Tìm n. Bài 6. Trong khai triển của ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và n. *Bài 7. Trong khai triển , hệ số của x7 là – 9, và không có số hạng chứ x8. Tìm a và b. *Bài 8. Biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển. *Bài 9. a. Tìm hệ số của x8 trong khai triển của . b. Tìm hệ số của x4 trong khai triển của . c. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của 4. Vấn đề 4. Biến cố - Xác suất của biến cố : *Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của biến cố A là : Trong đó : là các kết quả thuận lợi của biến cố A. là số phần tử của không gian mẫu. *Lưu ý : -A, B xung khắc : . -A, B độc lập : . Bài 1. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. a.Mô tả không gian mẫu. b.Tính xác suất của các biến cố sau : A : “Xuất hiện mặt chẵn chấm”. B : “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. C : “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”. Bài 2. Từ một hộp chứa 3 bi trắng và 2 bi đỏ đôi một khác nhau, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a.Mô tả không gian mẫu”. b.Tính xác suất của các biến cố sau : A : “Hai bi cùng màu trắng”. B : “Hai bi cùng màu đỏ”. C : “Hai bi cùng màu”. D : “Hai bi khác màu”. Bài 3. Một con súc sắc được gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện. a.Mô tả không gian mẫu. b.Tính xác suất các biến cố sau : A : “Tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6”. B : “Số chấm lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ hai và thứ ba”. Bài 4. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất sao cho : a.Cả hai đều là nữ. b.Không có nữ nào. c.Ít nhất một người là nữ. d.Có đúng một người là nữ. Bài 5. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 20, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn : a.Ghi số chẵn. b.Màu đỏ. c.Màu đỏ và ghi số chẵn. d.Màu xanh hoặc ghi số lẻ. Bài 6. Xếp ngẫu nhiên 5 người a, b, c, d, e vào một cái bàn dài có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất để : 1.a và b ngồi 2 đầu bàn. 2.a và b ngồi cạnh nhau. Bài 7. Một hộp có 20 viên bi khác nhau gồm 12 bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tìm xác suất để : a.Cả 3 bi đều đỏ. b.Cả 3 bi đều xanh. c.Ít nhất 1 bi đỏ. Bài 8. Lớp 11A có 30 học sinh trong đó có 18 nam và 12 nữ. GVCN cần chọn ra 4 học sinh. Tính xác suất để : a.Bốn học sinh được chọn có số nam bằng số nữ. b.Bốn học sinh được chọn có đúng 1 nữ. c.Bốn học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ. Bài 9. Có 1 hộp A và B đựng các quả cầu khác nhau. Hộp A chứa 4 quả trắng và 3 quả xanh, hộp B chứa 3 quả trắng và 6 quả xanh. Chọn từ mỗi hộp ra 1 quả cầu. Tính xác suất để : a.Cả hai quả cùng trắng. b.Hai quả cùng màu. c.Hai quả khác màu. Bài 10. Nhân ngày lễ Valentin, bạn Hoa được tặng một bó hoa trong đó có 10 hoa hồng khác nhau và 8 hoa tigôn khác nhau. Bạn Hoa muốn chọn ra 10 bông hoa để cắm vào lọ. Tính xác suất để : a.Số hoa hồng bằng số hoa tigôn. b.Số hoa hồng không ít hơn 3 và không nhiều hơn 7. *Bài 11. Một đề trắc nghiệm môn Toán có 10 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó có 1 phương án đúng. Tính xác suất sao cho chọn đúng cả 10 câu. *Bài 12. Một hộp đựng 5 bi xanh khác nhau, 6 bi đỏ khác nhau và 4 bi trắng khác nhau. Lấy từ hộp ra một bi, xem màu và bỏ lại vào hộp; sau đó lại lấy tiếp 1 bi nữa, xem màu và bỏ lại vào hộp. Tính xác suất sao cho : a.Cả 2 lần lấy, 2 bi có màu giống nhau. b.Cả 2 lần lấy, 2 bi có màu khác nhau. ------------------------------- CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 1.Phương pháp quy nạp toán học : Phương pháp : Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi nN*, ta tiến hành các bước : -Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1. -Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên n=k, ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau (với nN*) : a. . b. . Bài 2. Chứng minh rằng : chí hết cho 7 với mọi nN*. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n3 ta có : . 2.Dãy số : a.Ba cách xác định dãy số : Liệt kê, cho bằng công thức số hạng tổng quát, cho bằng công thức truy hồi. b.Xét tính đơn điệu của dãy số : Phương pháp 1 : Xét hiệu . -Nếu A>0 với mọi nN* thì dãy số tăng. -Nếu A<0 với mọi nN* thì dãy số giảm. Phương pháp 2 :(dùng cho ban A) Nếu un>0 với mọi nN* thì lập tỉ số rồi so sánh với số 1. -Nếu >1 thì dãy số tăng ; -Nếu <1 thì dãy số giảm. c.Dãy số bị chặn : Phương pháp : -Nếu tồn tại số M sao cho thì dãy số bị chặn trên bởi M. -Nếu tồn tại số m sao cho thì dãy số bị chặn dưới bởi m. -Dãy số bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới, tức là tồn tại m, M mà . Lưu ý : Các dấu “=” nêu trên không nhất thiết phải xảy ra. Bài 1. Hãy viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau biết : a. b. c. Bài 2. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau : a. b. c. d. Bài 3. (nâng cao) Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau : a. b. Bài 4. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn : a. b. c. d. . Bài 5. Cho dãy số : . a.Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b.Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 3.Cấp số cộng : a.là CSC (hằng số), d là công sai. b.Các công thức cần nhớ : ; ; . 4.Cấp số nhân : a.là CSN (q là hằng số), q gọi là công bội. b.Các công thức cần nhớ : ; ; . Bài 1: Tìm CSC (tìm u1 và d) biết: a.CSC gồm 4 số hạng mà tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. b.CSC gồm 5 số hạng mà tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 45. c. Bài 2: Cho cấp số cộng biết : a. b. c. Tìm u1, d và tính u15, S34. Bài 3: Tính số hạng đầu và công sai d của cấp số cộng , biết: a. b. Bài 4: Tìm CSC có 8 số hạng biết tổng các số hạng bằng 44 và hiệu giữa số hạng cuối và đầu bằng 21. Bài 5: Cho CSN biết u1=-3, q= -2. Số -768 là số hạng thứ bao nhiêu? Bài 6: Tìm CSN gồm 5 số hạng. Tìm số hạng đầu và công bội của CSN, biết: a. b. c. Bài 7: Tìm CSN biết: a. b. c. Bài 8: Cấp số cộng có và a. Lập công thức số hạng tổng quát . b. Tính --------------------------------------------------- PHẦN II – HÌNH HỌC I. LÝ THUYẾT: - Nắm các khái niệm và các tính chất phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm, phép vị tự, phép đồng dạng. - Nắm vững các biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép đối xứng qua trục Ox, Oy, phép đối xứng tâm. - Nắm các định nghĩa, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng, của hai đường thẳng song song, của đường thẳng song với mặt phẳng. - Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, thiết diện. - Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đương thẳng đồng qui, hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng. * Chú ý: 1) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Trong mp tọa độ Oxy cho và điểm M(x; y). Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ , ta có: 2) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua các trục tọa độ. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) + Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox, ta có: + Gọi M’’(x’’; y’’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, ta có: 3) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm là gốc tọa độ. Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng tâm O, ta có: 4) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mpOxy cho điểm I(a; b), và điểm M(x; y). Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I, ta có: II. MỘT SỐ VÍ DỤ: 1. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3;1), đường thẳng d: x + 3y – 4 = 0 và đường tròn(C):(x – 2)2 + (y + 1)2 = 4. a) Tìm tọa độ ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O(-1;2) tỉ số k = -2 b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;-1). c) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ . Giải: Gọi A’(x’;y’) là ảnh của điểm A(3;1) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = -2 Ta có: Vậy A’(-9; 4) b) Gọi là ảnh của M qua phép ĐI Ta có: Khi đó d biến thành d’: 2 – x’ + 3(-2 – y’) – 4 = 0 Vậy d’: -x – 3y – 8 = 0 c) Gọi là ảnh của M qua phép Ta có: Khi đó (C) biến thành (C’): (x’-2 – 2)2 + (y’ + 3 + 1)2 = 4 Vậy (C’): 2. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thanh ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lược là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN). Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng(AMN). Giải: a) Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: * S chung * Trong mp(ABCD), gọi I là diểm chung của hai mp(SAD) và (SBC) Vậy b) Trong mp(SBI), gọi Trong mp(SAI), gọi Vậy c) Ta có: Vậy mp(AMN) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AMNK. 3. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA và SB, P là điểm nằm giữa B và C. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP). Giải: Xét hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có: S chung AD // BC Suy ra, giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song AD Xét hai mặt phẳng ( MNP) và (ABCD) có: P chung MN // AB (với và PQ //AB // MN) Suy ra, Vậy thiết diện của hình chóp khi căt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ. 4. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SC. a) Chứng minh SA // (MBD). b) Xác định thiết diện của hình chóp khi căt bởi mp(P) đi qua O và song song với AD và SC. Giải: Trong có MO là đường trung bình mp(P) đi qua O và song song với AD nên Gọi Mặt khác, (P) // SC nên: Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) là tứ giác HKIJ. III. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(-2; 1). Tìm ảnh của d và M Qua phép tịnh tiến theo vectơ . Qua phép đối xứng trục Ox, Oy và trục là đường thẳng d’: x + y - 1 = 0. Qua phép đối xứng tâm I(-1; 3). Qua phép quay tâm O góc 900. Qua phép vị tự tâm A(2; -2) tỉ số . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 8y + 5 = 0 Viết phương trình ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ Viết phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox, Oy? Viết phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng qua gốc toạ độ O? Viết phương trình ảnh của (C) qua phép vị tự  ? Bài 3. Trong mp Oxy, cho hai đường trón có phương trình Xác định tọa độ tâm vị tự của hai đường tròn trên. Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M, N lần lược là trung điểm của SB và SD. Lấy một điểm P trên cạnh SC sao cho SP = 3PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SAD). Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là điểm trên AC và AD, O là một điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của MN và (ABO). Tìn giao điểm của AO và (BMN). Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC, trên cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các đường thẳng CD và AD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD). Tìm thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB//CD, M là điểm di động trên cạnh SB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SBC). Tìm giao điểm N của SC với (ADM). Gọi I là giao điểm của AN và DM. Chứng minh I di động trên một đường thẳng cố dịnh. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N lần lược là trung điểm của SB và SC. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AMN). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy một điểm M và trong tam giác SCD lấy một điểm N. Tìm giao điểm của MN với (SAC). Tìm giao điểm của SC với (AMN). Xac định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AMN). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của DSAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.. Bài 11. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC). Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD co đáy là hình thang, AD//BC. Chứng minh BC // (SAD). M là điểm trên SA, xác định giao điểm N của SD và (MBC). Gọi E là giao điểm của MB và NC, F là giao điểm của AB và DC.Chứng minh S, E, F thẳng hàng. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là điểm trên SA. Xác định giao điểm N của SD và (MBC). Giả sử MB và NC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng Khi m di động trên SA thì I di động trên đường thẳng cố định. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SCD. Chứng minh EF // (SBC). Bài 18. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. Bài 19. Cho DABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và . Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và