Đề cương ôn tập Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán 9

TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 PHẦN I – ĐẠI SỐ A. Kiến thức cần nhớ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa. A có nghĩa khi A 0 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. AA2 b. AB A. B ( A 0; B 0) AA c. (AB 0; 0) B B d. ABABB2 ( 0) e. ABABAB 2 ( 0; 0) ABABAB 2 ( 0; 0) A 1 f. AB( AB 0; B 0) BB AAB i. (B 0) B B CCAB() k. (AAB 0; 2 ) AB AB 2 CCAB() m. (ABAB 0; 0; ) AB AB 2 3. Hàm số y = ax + b (a 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đ•ờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hàm số y = ax2 (a 0) - Tính chất: + Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x 0. + Nếu a 0. - Đồ thị: Đồ thị là một đ•ờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0). + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía d•ới trục hoành. 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét đ•ờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d') (d) và (d') cắt nhau  a a' (d) // (d')  a = a' và b b' (d)  (d')  a = a' và b = b' 6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong. Xét đ•ờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P) (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm Hocmai.vn (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung 7. Phương trình bậc hai. Xét ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn = b2 - 4ac ' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu > 0 : Ph•ơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > 0 : Ph•ơng trình có hai nghiệm phân biệt: phân biệt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a Nếu = 0 : Ph•ơng trình có nghiệm kép : - Nếu ' = 0 : Ph•ơng trình có nghiệm kép: b ' x x b 1 2 x x 2a 1 2 a Nếu < 0 : Ph•ơng trình vô nghiệm - Nếu ' < 0 : Ph•ơng trình vô nghiệm 8. Hệ thức Viet và ứng dụng. - Hệ thức Viet: 2 Nếu x1, x2 là nghiệm của ph•ơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) thì: b S x x 12a c P x. x 12 a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải ph•ơng trình: x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện S2 - 4P 0) + Nhẩm nghiệm của ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì ph•ơng trình có hai nghiệm: c x1 = 1 ; x2 = a Nếu a - b + c = 0 thì ph•ơng trình có hai nghiệm: c x1 = -1 ; x2 = a 9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình B•ớc 1: Lập ph•ơng trình hoặc hệ ph•ơng trình B•ớc 2: Giải ph•ơng trình hoặc hệ ph•ơng trình B•ớc 3: Kiểm tra các nghiệm của ph•ơng trình hoặc hệ ph•ơng trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận B. Cỏc dạng bài tập Dạng 1: Rỳt gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A  Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các b•ớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) 2 Hocmai.vn - Đư a bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có) - Trục căn thức ở mẫu (nếu có) - Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia.... - Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Dạng 2: Bài toỏn tớnh toỏn Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.  Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a  Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x). - Thay x = a vào biểu thức rút gọn. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán : Chứng minh đẳng thức A = B  Một số phư ơng pháp chứng minh: - Phư ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa. A = B  A - B = 0 - Phư ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A1 = A2 = ... = B - Phư ơng pháp 3: Phư ơng pháp so sánh. A = A1 = A2 = ... = C A = B B = B1 = B2 = ... = C - Phư ơng pháp 4: Phư ơng pháp tư ơng đư ơng. A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*) (*) đúng do đó A = B - Phư ơng pháp 5: Phư ơng pháp sử dụng giả thiết. - Phư ơng pháp 6: Phư ơng pháp quy nạp. - Phư ơng pháp 7: Phư ơng pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B  Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a a a ... a 1 2 3 n n a .a .a ...a (với a .a .a ...a 0 ) n 1 2 3 n 1 2 3 n Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 a3 ... an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với mọi số a1; a2; a3; ; an; b1; b2; b3; bn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1b1 a2b2 a3b3 ... anbn (a1 a2 a3 ... an )(b1 b2 b3 ... bn ) a1 a2 a3 an Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ... b1 b2 b3 bn  Một số ph•ơng pháp chứng minh: - Phư ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B  A - B > 0 - Phư ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp 2 A = A1 = A2 = ... = B + M > B nếu M 0 3 Hocmai.vn - Phư ơng pháp 3: Phư ơng pháp tư ơng đư ơng A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*) (*) đúng do đó A > B - Phư ơng pháp 4: Phư ơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C và C > B A > B - Phư ơng pháp 5: Phư ơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tư ơng đư ơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B. - Phư ơng pháp 6: Phư ơng pháp sử dụng giả thiết. - Ph ơng pháp 7: Ph ơng pháp quy nạp. ' ' ' ' ư b ưb b b -x 1Ph ư ơng pháp 8x2: Ph ư ơng pháp dùng biểu thứcx1 phụ. x2 2a 2a a a Dạng 5: Bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai b ' x x Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0b (a 0) 1 2 x x  2 aCác phương pháp giải: 1 2 a - Phư ơng pháp 1: Phân tích đư a về phư ơng trình tích. - Phư ơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai x2 = a x = a - Phư ơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac + Nếu > 0 : Phư ơng trình có hai nghiệm phân biệt: ; + Nếu = 0 : Phư ơng trình có nghiệm kép + Nếu < 0 : Phư ơng trình vô nghiệm - Phư ơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ' > 0 : Phư ơng trình có hai nghiệm phân biệt: ; + Nếu ' = 0 : Phư ơng trình có nghiệm kép + Nếu ' < 0 : Phư ơng trình vô nghiệm - Phư ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. 2 Nếu x1, x2 là nghiệm của phư ơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) thì: b x x 1 2 a c x .x 1 2 a Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì ph•ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).  Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng 4 Hocmai.vn a. Trư ờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử a = 0  m = m0 ta có: (*) trở thành ph•ơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**) + Nếu b 0 với m = m0: (**) có một nghiệm x = -c/b + Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: (**) vô định  (*) vô định + Nếu b = 0 và c 0 với m = m0: (**) vô nghiệm  (*) vô nghiệm b. Tr•ờng hợp a 0: Tính hoặc ' + Tính = b2 - 4ac Nếu > 0 : Ph•ơng trình có hai nghiệm phân biệt: b b b' ' b' ' x x x x 1 2a 2 2a ; 1 a 2 a b Nếu = 0 : Ph•ơng trình có nghiệm kép : ' x x b 1 2 x x 2a Nếu < 0 : Ph•ơng trình vô nghiệm1 2 a + Tính ' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ' > 0 : Ph•ơng trình có hai nghiệm phân biệt: ; Nếu ' = 0 : Ph•ơng trình có nghiệm kép: Nếu ' < 0 : Ph•ơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận trên. Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.  Có hai khả năng để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. Hoặc a = 0, b 0 2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt. a 0 a 0  Điều kiện có hai nghiệm phân biệt hoặc ' 0 0 Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.  Điều kiện có một nghiệm: a 0 a 0 a 0 hoặc hoặc ' b 0 0 0 Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép. a 0 a 0  Điều kiện có nghiệm kép: hoặc ' 0 0 Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. 5 Hocmai.vn a 0 a 0  Điều kiện có một nghiệm: hoặc ' 0 0 Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.  Điều kiện có một nghiệm: hoặc hoặc Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.  Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: 0 ' 0 c hoặc c P 0 P 0 a a Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm d•ơng.  Điều kiện có hai nghiệm d•ơng: 0 ' 0 c c P 0 hoặc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.  Điều kiện có hai nghiệm âm: 0 ' 0 c c P 0 hoặc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.  Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu. 2 Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1.  Cách giải: a 0 2 - Thay x = x1 vào ph•ơng trình (*) ta có: ax1 + bx1 + c = 0 m b 0 - Thay giá trị của m vào (*) x1, x2 P - Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 = x1 a 0 a 0 2 Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để ph•ơng trình bậc hai ax + bx + ' c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm0 x 1 , x 2 0thoả mãn các điều kiện: 2 2 a. x1 x2  b. x1 x2 k 1 1 2 2 3 3 c. n d. x1 x2 h e. x1 x2 t x1 x2 6 Hocmai.vn  Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*) Theo định lí Viet ta có: b x x S (1) 1 2 a c x .x P (2) 1 2 a a. Tr•ờng hợp: x1 x2  b x1 x2 Giải hệ a x1, x2 x1 x2  Thay x1, x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*) 2 2 2 b. Tr•ờng hợp: x1 x2 k (x1 x2 ) 2x1 x2 k b c Thay x1 + x2 = S = và x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k Tìm đ•ợc giá trị của m thoả mãn (*) 1 1 c. Tr•ờng hợp: n  x1 x2 nx1.x2  b nc x1 x2 Giải ph•ơng trình - b = nc tìm đ•ợc m thoả mãn (*) 2 2 2 d. Tr•ờng hợp: x1 x2 h  S 2P h 0 2 Giải bất ph•ơng trình S - 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*) 3 3 3 e. Tr•ờng hợp: x1 x2 t  S 3PS t Giải ph•ơng trình S 3 3PS t chọn m thoả mãn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng.  Ta có u và v là nghiệm của ph•ơng trình: x2 - Sx + P = 0 (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải ph•ơng trình (*) ta tìm đ•ợc hai số u và v cần tìm. Nội dung 6: Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh Bài toán1: Giải ph•ơng trình trùng ph•ơng ax4 + bx2 + c = 0  Đặt t = x2 (t 0) ta có ph•ơng trình at2 + bt + c = 0 Giải ph•ơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 vô nghiệm vô nghiệm 2 nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm 1 nghiệm d•ơng 2 nghiệm đối nhau 4 nghiệm 2 nghiệm d•ơng 2 cặp nghiệm đối nhau 7 Hocmai.vn 1 1 Bài toán 2: Giải ph•ơng trình A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  Đặt x = t  x2 - tx + 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vào ph•ơng trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Giải ph•ơng trình ẩn t sau đó thế vào = t giải tìm x. 1 1 Bài toán 3: Giải ph•ơng trình A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  Đặt x = t  x2 - tx - 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vào ph•ơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 1 Giải ph•ơng trình ẩn t sau đó thế vào x = t giải tìm x. x Bài toán 4: Giải ph•ơng trình bậc cao  Dùng các phép biến đổi đ•a ph•ơng trình bậc cao về dạng: + Ph•ơng trình tích + Ph•ơng trình bậc hai. Nội dung 7: Giải hệ phương trỡnh ax by c Bài toán: Giải hệ ph•ơng trình a'x b' y c'  Các ph•ơng pháp giải: + Ph•ơng pháp đồ thị + Ph•ơng pháp cộng + Ph•ơng pháp thế + Ph•ơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: Giải phương trỡnh vụ tỉ Bài toán 1: Giải ph•ơng trình dạng f (x) g(x) (1) g(x) 0 (2)  Ta có f (x) g(x)  2 f (x) g(x) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1) Bài toán 2: Giải ph•ơng trình dạng f (x) h(x) g(x) 8 Hocmai.vn  Điều kiện có nghĩa của ph•ơng trình f (x) 0 h(x) 0 g(x) 0 Với điều kiện trên thoả mãn ta bình ph•ơng hai vế để giải tìm x. Nội dung 8: Giải phương trỡnh chứa dấu giỏ trị tuyệt đối. Bài toán: Giải ph•ơng trình dạng f (x) g(x) g(x) 0  Ph•ơng pháp 1:  2 2  f (x) g(x)  Ph•ơng pháp 2: Xét f(x) 0 f(x) = g(x) Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)  Ph•ơng pháp 3: Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x) Nội dung 9: Giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)  Ph•ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn. - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: 2n y = M - [g(x)] , n Z y M Do đó ymax = M khi g(x) = 0 - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: 2k y = m + [h(x)] k Z y m Do đó ymin = m khi h(x) = 0  Ph•ơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.  Ph•ơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức. Nội dung 10: Cỏc bài toỏn liờn quan đến hàm số * Điểm thuộc đồ thị Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA;yA). Hỏi (C) có đi qua A không?  Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng ph•ơng trình của (C) A (C)  yA = f(xA) Dó đó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A. Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A. * Sự tương giao của hai đồ thị Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự t•ơng giao của hai đồ thị  Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của ph•ơng trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung. - Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau. - Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung. - Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung. * Lập phương trỡnh đường thẳng 9 Hocmai.vn Bài toán 1: Lập ph•ơng trình của đ•ờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) và có hệ số góc bằng k.  Ph•ơng trình tổng quát của đ•ờng thẳng (D) là : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có ph•ơng trình của (D) Bài toán 2: Lập ph•ơng trình của đ•ờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)  Ph•ơng trình tổng quát của đ•ờng thẳng (D) là : y = ax + b yA axA b (D) đi qua A và B nên ta có: yB axB b Giải hệ ta tìm đ•ợc a và b suy ra ph•ơng trình của (D) Bài toán 3: Lập ph•ơng trình của đ•ờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đ•ờng cong (C): y = f(x)  Ph•ơng trình tổng quát của đ•ờng thẳng (D) là : y = kx + b Ph•ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đ•ợc b và suy ra ph•ơng trình của (D) Bài toán 3: Lập ph•ơng trình của đ•ờng thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) k và tiếp xúc với đ•ờng cong (C): y = f(x)  Ph•ơng trình tổng quát của đ•ờng thẳng (D) là : y = kx + b Ph•ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đ•ợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***) Từ (**) và (***) a và b Ph•ơng trình đ•ờng thẳng (D). PHẦN II – HèNH HỌC A. Kiến thức cần nhớ 1. Hệ thức l•ợng trong tam giác vuông. 2 2 b = ab' c = ac' A 2 h = b'c' b c ah = bc h 2 2 2 c' a = b + c B b' 1 1 1 H C a h2 b2 c2 2. Tỉ số l•ợng giác của góc nhọn. 0 < sin < 1 0 < coss < 1 sin cos tg cot g sin2 + cos2 = 1 cos sin 10