Đề đề xuất thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2011 - 2012 môn Toán

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC. Chứng minh: PQ // IK. Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z . Tính HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1 (3,5đ) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 = 6.A(k) + 7.52k .19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n 0,5 0,75 0,75 1,0 0,5 Bài 2 (2,5đ) 1 Ta có: Vậy: n = 452 – 24 = 2001 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (3,0đ) Nhận xét rằng với mọi x,y ta có: Đặt ta được : Vì Do đó : 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 Bài 4 (3,0đ) Ta có Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. Ta có Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. Ta có Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0,5 1,0 1,0 0,5 Bài 5 (4,0đ) - Vẽ hình đúng - Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra: - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK 0,5 1,5 1,5 0,5 Bài 6 (4,0đ) A B C ha x Vẽ hình đúng Xét hai tam giác ABC và OBC ta có : SABC = (1) SOBC = (2) Từ (1)và (2) ta suy ra : Tương tự ta có : Từ đó tính được : =1 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0