Đề khảo sát chất lượng lớp 12, lần 3 - Năm 2013 môn: toán; khối: a và a1; thời gian làm bài: 180 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 3 - NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối: A và A1; Thời gian làm bài: 180 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 22 3 1 24 +−= mxxy (1), với m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . 3 4=m b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .2sin)cos2(sin2cos)cos1(3sin xxxxxx +=−+ Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình ).5(212)2(3)12(4 322 xxxxxx +=−−++ Câu 4 (1,0 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 3,0, 3 1 2 ==+ += xy x xy xung quanh trục hoành. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ '''. CBAABC có các đáy là tam giác đều cạnh 3a. Hình chiếu vuông góc của 'C lên mặt phẳng )(ABC là điểm D thỏa mãn điều kiện DBDC 2−= . Góc giữa đường thẳng 'AC và mặt phẳng )'''( CBA bằng .450 Tính theo a thể tích khối lăng trụ '''. CBAABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng 'BB và AD. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 521211 2 =+++++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .2 333 zyxP ++= II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) a. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có ),5;4( −B phương trình các đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A và trung tuyến kẻ từ B lần lượt là 073 =−− yx và .01 =++ yx Tìm tọa độ các điểm A và C biết diện tích tam giác ABC bằng 16. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho các đường thẳng ; 2 3 11 1:1 −==− zyxd ; 1 1 2 2 1 :2 −=−= zyxd . 11 2 2 3:3 zyxd =+=− − Tìm tọa độ điểm P thuộc 1d và điểm Q thuộc 2d sao cho đường thẳng PQ vuông góc với 3d và độ dài PQ nhỏ nhất. Câu 9.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 11 + +++ + z iz z iz là số thuần ảo. b. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho điểm ).2;32(M Viết phương trình chính tắc của elíp (E) đi qua M biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho điểm )2;3;1(K và mặt phẳng .03:)( =−++ zyxP Viết phương trình đường thẳng d đi qua K, song song với mặt phẳng )(Oyz và tạo với (P) một góc α có .2tan =α Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ).,( )log1(2)22(log)1(log )36(333.2 222 2 R∈ ⎩⎨ ⎧ +=+++ −=− + yx yxyx yxxyx ---------------------------- Hết -------------------------- Ghi chú: 1. BTC sẽ trả bài vào các ngày 18, 19/5/2013. Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại phiếu dự thi cho BTC. 2. Kỳ khảo sát chất lượng lần cuối năm 2013 sẽ được tổ chức vào chiều ngày 15 và ngày 16/6/2013. Đăng kí dự thi tại văn phòng trường THPT Chuyên từ ngày 18/5/2013. www.MATHVN.com 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 3 - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối A, A1; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khi 3 4=m hàm số trở thành .2 3 8 3 1 24 +−= xxy 1o. Tập xác định: R=D , y là hàm số chẵn. 2o. Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: .)2 3 8 3 1(limlim 42 4 +∞=+−= ±∞→±∞→ xxxy xx * Chiều biến thiên: Ta có ., 3 16 3 4' 3 R∈−= xxxy ⎢⎣ ⎡ ±= =⇔= 2 0 0' x x y ; ⎢⎣ ⎡ > 2 02 0' x x y ; ⎢⎣ ⎡ << −<⇔< .20 2 0' x x y Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )0;2(− và );2( ∞+ ; nghịch biến trên mỗi khoảng )2;( −−∞ và ).2;0( * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm ,0=x giá trị cực đại 2=CĐy ; hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 2−=x và ,2=x giá trị cực tiểu . 3 10−=CTy 0,5 * Bảng biến thiên: 3o. Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. 0,5 b) (1,0 điểm) Ta có ).3( 3 44 3 4' 23 mxxmxxy −=−= Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình 0'=y có 3 nghiệm phân biệt .0>⇔ m Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là )32;3(),2;0( 2mmBA −− và ).32;3( 2mmC − 0,5 Câu 1. (2,0 điểm) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ O khi và chỉ khi OCOBOA == 0)133)(1()32(32 222 =−+−⇔−+=⇔ mmmmmm ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ±−= == ⇔ . 6 213 0,1 m mm Kết hợp điều kiện 0>m ta có giá trị của m là . 6 213,1 +−== mm 0,5 Phương trình đã cho tương đương với xxxxxxxx cos2sin2sin2sin2coscos2cos3sin +=−+ .0)1sin)(cossin(cos sincos2cos sin3sin)sin2sincos2(cos2cos3sin =−−+⇔ +=⇔ +++=+⇔ xxxx xxx xxxxxxxx 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) * . 4 1tan0sincos ππ kxxxx +−=⇔−=⇔=+ xO 2 y 2 3 10− 2− x ∞− ∞+0 0 0 0 − − +'y y 3 10− ∞+ – 2 2 2 + ∞+ 3 10− www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 * ⎢⎢⎣ ⎡ +−= = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−=+ +=+ ⇔=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇔=− .2 2 2 2 44 2 44 2 1 4 cos1sincos ππ π πππ ππππ kx kx kx kx xxx Vậy nghiệm của phương trình là ππ kx +−= 4 , .,2 2 ,2 Z∈+−== kkxkx πππ 0,5 Điều kiện: . 2 1≥x Phương trình đã cho tương đương với )254(212)2(3 23 −+−=−− xxxxxx vì ⎢⎣ ⎡ +−=− =⇔ +−−=−−⇔ )1()12(2123 2 )12)(2(212)2(3 2 2 xxxx x xxxxxx 0,5 Câu 3. (1,0 điểm) Phương trình (1) tương đương với 02123)12(2 2 =−−+− xxxx .0212.312.2 2 =−−+−⇔ x x x x (2) Đặt .0,12 ≥−= t x xt Khi đó phương trình (2) trở thành , 2 10)2)(12(0232 2 =⇔=+−⇔=−+ ttttt .0≥t Suy ra ,3240482 ±=⇔=+− xxx thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là .324,324,2 −=+== xxx 0,5 Ta có .10 3 1 2 −=⇔=+ + x x x Thể tích V cần tính là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường 3,1,0, 3 1 2 =−==+ += xxy x xy xung quanh Ox. Suy ra ∫∫ −− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−++=+ += 3 1 22 3 1 2 2 d 3 2 3 21d 3 )1( x xx xx x xV ππ ( ) . 3 d2)3ln4( 3 d2|3|ln 3 1 2 3 1 2 1 3 2 ∫∫ −−− + −+=+−++= x x x xxx ππππ (1) 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) Tính . 3 d3 1 2∫ − + = x xI Đặt .tan3 tx = Khi 1−=x thì , 6 π−=t khi 3=x thì 3 π=t và . cos d3d 2 t tx = Suy ra . 6 3d 3 1 cos d3. )tan1(3 1 3 d 3 6 3 6 22 3 1 2 π π π π π ==+=+= ∫∫∫ −−− t t t tx xI Thay vào (1) ta được . 3 3)3ln4( 2ππ −+=V 0,5 Từ giả thiết ).(' ABCDC ⊥⇒ Vì )'''//()( CBAABC nên .45'))'''(,'())(,'( 0=∠==∠ ADCCBAACABCAC Sử dụng định lí cosin cho 7aADABD =⇒Δ 745tan' 0 aADDC ==⇒ . Suy ra thể tích lăng trụ . 4 219 4 3)3(.7.' 3 2 aaaSDCV ABC === Câu 5. (1,0 điểm) 0,5 'B A C B D 'C a3 045 'A www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 3 Vì '//' BBAA nên ADAADAAADBB '),'(),'( ∠=∠=∠ (1) Vì )(' ABCDC ⊥ nên ,16''''''')'''(' 2222 aACDCDAACDCCBADC =+=⇒⊥⇒⊥ .11''' 22 aDCDCCCAA =+== Suy ra . 77 1 '.2 '''cos 222 =−+=∠ ADAA DAADAAADA (2) Từ (1) và (2) suy ra . 77 1|'cos|),'cos( =∠= ADAADBB 0,5 Với hai số không âm a, b ta có .1111 baba +++≥+++ (1) Thật vậy, babababa +++++≥+++++⇔ 122)1)(1(22)1( ,11 baabba ++≥+++⇔ luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi 0=a hoặc .0=b Áp dụng (1) ta có zyxzyx 21211212115 22 +++++≥+++++= .2212 2 zyx ++++≥ Suy ra ,8222 ≤++ zyx hay . 2 4 2xzy −≤+ (2) 0,5 Câu 6. (1,0 điểm) Khi đó . 2 42)(2 32 333 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+≤++≤ xxzyxP (3) Chú ý rằng, từ (2) và x, y, z không âm ta có .220 ≤≤ x Xét hàm số 32 3 2 42)( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= xxxf trên ].22;0[ Ta có [ ].)16(2)12()2( 4 3 2 436)(' 22 22 2 xxxxxxxxxf −+−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= Với ]22;0[∈x ta có ⎢⎣ ⎡ = =⇔= .2 0 0)(' x x xf Từ 232)22(,24)2(,64)0( === fff suy ra ].22;0[,64)( ∈∀≤ xxf (4) Từ (3) và (4) ta có ,64≤P dấu đẳng thức xảy ra khi 4,0 === zyx hoặc .4,0 === yzx Vậy giá trị lớn nhất của P là 64, đạt được khi 4,0 === zyx hoặc .4,0 === yzx 0,5 .073:pt =−+⇒⊥ yxBCAHBC ),37;( ccCBCC −⇒∈ ).;73( aaAAHA +⇒∈ Suy ra trung điểm AC là . 2 73; 2 73 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−++ cacaM Do .08201 2 73 2 7301: =+−⇔=++−+++⇒=++∈ cacacayxBMM (1) 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Ta có 10 |1410|),(,410)312()4( 22 +==−=−+−= aBCAdAHcccBC .16|)75)(4(|. 2 1 =+−==⇒ acAHBCSABC (2) Từ (1) và (2) suy ra ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −− ⇒⎢⎢⎣ ⎡ =−= =−= . 5 73; 5 36, 5 2; 5 29 )1;2(),3;2( 5 36, 5 2 2,3 CA CA ca ca 0,5 Câu 8.a (1,0 điểm) )1;22;(),32,,1( 21 ++⇒∈++⇒∈ qqqQdQpppPdP . Suy ra ).22;22;1( −+−++−−+−= qpqpqpPQ 0)22(1)22(1)1(20.33 =−+−+++−+−+−−⇔=⇒⊥ qpqpqpPQudPQ 02 =++−⇔ qp hay .2+= qp 0,5 A B H C M www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 4 Suy ra .2727)3(245122)6(9 22222 ≥++=++=+++= qqqqqPQ Suy ra 33min =PQ khi 3,1 −=−= qp hay ).2;4;3(),1;1;0( −−−− QP 0,5 Giả sử yixz += và điểm biểu diễn số phức z là ).;( yxM Ta có . )1( )1(22)(2 1|| 2)(||2 11 22 22 2 2 yx ixxyx zzz izzizzz z iz z iz ++ ++++=+++ +++++=+ +++ + 0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) 11 + +++ + z iz z iz là số thuần ảo ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≠ =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠++ =++⇔ ).0;1();( 4 1 2 1 0)1( 02)(2 2 2 22 22 yx yx yx xyx Vậy tập hợp điểm M là đường tròn 4 1 2 1 2 2 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + yx bỏ đi điểm ).0;1(− 0,5 Phương trình chính tắc của ).0(1:)( 2 2 2 2 >>=+ ba b y a xE .1412)( 22 =+⇔∈ baEM (1) .164 2 190 2221 0 21 =−⇒=⇒==⇒=∠ baccFFMOMFF (2) 0,5 Câu 7.b (1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy ra .1 824 :)( 8 24 22 2 2 =+⇒⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = yxE b a 0,5 Phương trình .0:)( =xOyz Giả sử d có vtcp ).0(),;;( 222 ≠++ cbacbaud Ta có 0.1 0. )()2;3;1( )//( =⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ∉⇔ a nu OyzK Oyzd Oyzd hay .0=a Suy ra );;0( cbud và ).1;1;1(Pn 0,5 Câu 8.b (1,0 điểm) Do 00 900 ≤≤α nên từ . 3 2sin2tan =⇒= αα Mà 22.3 ||))(,sin( cb cbPd + += .00)( 3 2 .3 || 2 22 ≠=⇔=−⇔= + +⇒ cbcb cb cb Chọn ).1;1;0(1 =⇒== ducb Suy ra phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += = .2 3 1 : tz ty x d 0,5 Điều kiện: ⎩⎨ ⎧ >+ >−> .01 0,1 xy yx Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với xxyyx 6.3333.2 21 +=+ ++ .1333)32(3)32( 11 +=⇔=⇔+=+⇔ ++ xyxyxxyx Phương trình thứ hai của hệ tương đương với .2)1)(1(2log)1)(1(log 2222 yxyxyxyx =++⇔=++ 0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) Từ đó ta được ⎩⎨ ⎧ =−− >+=⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ >+=⇔ ⎩⎨ ⎧ =++ >+= 01 01 21 01 2)1)(1( 01 22 xx xy yxy xy yxyx xy ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −=−= +=+= ⇔ . 2 53, 2 51 2 53, 2 51 yx yx 0,5 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com