Đề kiểm tra học kì I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 − 2019 QUẬN ĐỐNG ĐA MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 90 phút. Bài 1. (2,0 điểm). 2 33 1) Tính giá trị của biểu thức: M =()1 − 3 − 3 12 + + 1 11 2) Giải phương trình: 9x− 9 − 1 = x − 1 Bài 2 (2,0 điểm) 2x − 1 2x+ 3 x + 9 x Cho biểu thức A = và B = − với x≥0; x ≠ 9 x − 3 x − 9 x + 3 1) Tính giá trị của A khi x = 25 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P = . Tìm giá trị nhỏ nhất của P B Bài 3 (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y=( m − 1) x − 4 ( d ) ( m ≠ 1) 1) Vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 2) Tìm m để ()d song song với đồ thị hàm số y= −3 x + 2 ( d1 ) 3) Tìm m để ()d cắt đồ thị hàm số y= x − 7 ( d2 ) tại một điểm nằm ở bên trái trục tung. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (;)OR đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Bx của ()O . Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc ()O (M khác A và B ) sao cho MA> MB . Tia AM cắt Bx tại C . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với ()O (D là tiếp điểm) 1) Chứng minh OC⊥ BD 2) Chứng minh bốn điểm OBCD,,, cùng thuộc một đường tròn 3) Chứng minh CMD
= CDA
4) Kẻ MH vuông góc với AB tại H . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất. Bài 5 (0,5 điểm) Cho x,, y z là các số dương thay đổi thỏa mãn: xy+ yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT=3 x2 + 3 y 2 + z 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (2,0 điểm). 2 33 1) Tính giá trị của biểu thức: M =()1 − 3 − 3 12 + + 1 11 2 33 M =()1 − 3 − 3 12 + + 1 11 33 M =1 − 3 − 3 4.3 + + 1 11 M =3 − 1 − 3.2 3 + 3 + 1 M =3 − 1 − 6 3 + 3 + 1 M = −4 3 2) Giải phương trình: 9x− 9 − 1 = x − 1 Lời giải 9x− 9 ≥ 0  9 x ≥ 9 Điều kiện: ⇔  ⇔x ≥ 1 x−1 ≥ 0  x ≥ 1 9x− 9 − 1 = x − 1 ⇔ 9( x − 1) − 1 = x − 1 ⇔3x − 1 − 1 = x − 1 ⇔3x − 1 − x − 1 = 1 ⇔2x − 1 = 1 ⇔4(x − 1) = 1 5 ⇔4x − 4 = 1 ⇔ 4 x = 5 ⇔ x = (thỏa điều kiện x ≥ 1) 4 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4 Bài 2 (2,0 điểm) 2x − 1 2x+ 3 x + 9 x Cho biểu thức A = và B = − với x≥0; x ≠ 9 x − 3 x − 9 x + 3 1) Tính giá trị của A khi x = 25 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Cho P = . Tìm giá trị nhỏ nhất của P B Lời giải 1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào A, ta có: 2 25− 1 A = 25− 3 2.5− 1 10 − 1 9 A = = = 5− 3 2 2 2) Rút gọn biểu thức B 2x+ 3 x + 9 x B = − x − 9 x + 3 2x+ 3 x + 9 x.() x − 3 B = − ()x+3() x − 3() x + 3() x − 3 2x+ 3 x + 9 − x + 3 x x + 6 x + 9 B = = ()x+3() x − 3() x + 3() x − 3 2 ()x + 3 x + 3 B = = ()x+3() x − 3 x − 3 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P A2 x− 1 x + 3 P = = : B x−3 x − 3 2x− 1 x − 3 P = ⋅ x−3 x + 3 ()2x− 1() x − 3 2x − 1 P = = ()x−3() x + 3 x + 3 2()x+ 3 − 7 2() x + 3 −7 − 7 P = = + =2 + x+3 x + 3 x + 3 x + 3 −7 − 7 Ta có: x≥0 ⇔ x + 3 ≥ 3 ⇒ ≥ x + 3 3 −7 − 7 ⇒P =2 + ≥ 2 + x + 3 3 −1 ⇒P ≥ 3 1 Vậy MinP = − khi x = 0 3 Bài 3 (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y=( m − 1) x − 4 ( d ) ( m ≠ 1) 1) Vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 2) Tìm m để ()d song song với đồ thị hàm số y= −3 x + 2 ( d1 ) 3) Tìm m để ()d cắt đồ thị hàm số y= x − 7 ( d2 ) tại một điểm nằm ở bên trái trục tung. Lời giải 1) Thay m = 2, ta được: y= x − 4 ( d ) Đồ thị hàm số y= x − 4 ( d ) là đường thẳng đi qua điểm (0;− 4) và điểm (4;0) y 3 2 1 y = x-4 O -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 -5 m −1 = − 3 2) (d )//( d1 )⇔ ⇔ m = − 2 −4 ≠ 2 Vậy (d )//( d1 ) khi m = −2 3) Phương trình hoành độ giao điểm của ()d và ()d2 : (m− 1) x − 4 = x − 7 ⇔mx − x −4 = x − 7 ⇔mx − x − x = −7 + 4 ⇔x( m − 2) = − 3 −3 ⇔x = (m ≠ 2) m − 2 Vì giao điểm của ()d và ()d2 nằm bên trái trục tung nên ta có: −3 x = < 0 m − 2 ⇔m −2 > 0 ⇔m > 2 Vậy m > 2 thì ()d cắt ()d2 tại một điểm nằm bên trái trục tung. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (;)OR đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Bx của ()O . Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc ()O (M khác A và B ) sao cho MA> MB . Tia AM cắt Bx tại C . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với ()O (D là tiếp điểm) 1) Chứng minh OC⊥ BD 2) Chứng minh bốn điểm OBCD,,, cùng thuộc một đường tròn 3) Chứng minh CMD
= CDA
4) Kẻ MH vuông góc với AB tại H . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất. Lời giải 1) Chứng minh OC⊥ BD x D C M A B O H Ta có: CD, CB là hai tiếp tuyến của ()O ⇒CD = CB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OD= OB = R ⇒OC là đường trung trực của đoạn thẳng DB ⇒OC ⊥ DB 2) Chứng minh bốn điểm OBCD,,, cùng thuộc một đường tròn x D C M A B O H Ta có: OB⊥ BC (vì BC là tiếp tuyến của ()O ) ⇒ ∆OBC nội tiếp đường tròn đường kính OC ⇒OBC,, cùng thuộc đường tròn đường kính OC (1) Tương tự, ta có: OD⊥ DC (vì DC là tiếp tuyến của ()O ) ⇒ ∆ODC nội tiếp đường tròn đường kính OC ⇒ODC,, cùng thuộc đường tròn đường kính OC (2) Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm OBCD,,, cùng thuộc một đường tròn đường kính OC 3) Chứng minh CMD
= CDA
x D C M A B O H Ta có: AMB
= 900 (vì ∆AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ) ⇒BM ⊥ AC Xét ∆ABC vuông tại B có BM⊥ AC Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: CM. AC= CB 2 Mà CD= CB() cmt nên CM. AC= CD 2 CM CD ⇒ = CD AC Xét ∆CMD và ∆CDA có: CM CD = ()cmt CD AC ACD
là góc chung Do đó: ∆CMD ∆ CDA(..) c g c ⇒CMD
= CDA
∽