Đề kiểm tra học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Quận Tây Hồ (Có đáp án)

1/6 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II QUẬN TÂY HỒ Năm học 2017-2018 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau 2 x 1 y 2 4 a) 3x2 26x 48 0 b) 6 x 1 2 y 2 2 Bài 2 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Lúc 7 giờ, một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 30 km. Ca nô nghỉ tại B 30 phút. Sau đó, ca nô ngược dòng với vận tốc riêng không đổi từ B về đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài 3 (2 điểm): Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d :1 y mx m ( m là tham số) a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt. b) Gọi xx12, lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B . Tìm các giá trị của m thỏa 22 mãn xx12 17. Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E , CF cắt BE tại H . a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn I nếu BAC 600 , AH 4 cm. c) Gọi AH cắt BC tại D .Chứng minh FH là tia phân giác của DFE . d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của O tại E , F và AH đồng quy tại một điểm. Bài 5 (0,5 điểm): Cho a 0;b 0và a22 b 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S ab 2(a b) 2/6 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (2 điểm): 13 5 x6 2 3 a) Ta có ' 13 3.48 25 13 5 8 x 33 8 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  6; 3 x1 b) Điều kiện: y2 a x 1 Đặt Điều kiện: a,b 0 b y 2 2a b 4 a 1 Hệ phương trình tương đương với (Thỏa mãn) 6a 2b 2 b 2 x 1 1 x2 (Thỏa mãn) y 2 2 y2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 2;2 Bài 2 (2 điểm) +) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h). Do vận tốc của dòng nước là 4 km/h nên ta có điều kiện x 4 . Vận tốc của ca nô khi chạy xuôi dòng là x 4 (km/h) Vận tốc của ca nô khi chạy ngược dòng là x 4(km/h). +) Do chiều dài giữa 2 bến A và B là 30 km nên 30 Thời gian để ca nô đi xuôi dòng là (h) x 4 30 Thời gian để ca nô đi ngược dòng là (h). x 4 +) Do ca nô nghỉ tại B 30 phút nên tổng thời gian ca nô cả đi lẫn về là: 11 giờ 30 phút – 7 giờ - 30 phút = 4 giờ. 3/ Ta có phương trình sau: 30 30 4 xx 44 30(x 4) 30( x 4) 4( x2 16) 30x 120 30 x 120 4 x2 64 4xx2 60 64 0 xx2 15 16 0 Giải phương trình trên ta được 2 nghiệm là x1 16 và x2 1. Đối chiếu với điều kiện của x ta chọn nghiệm x 16 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 16 km/h. Bài 3 (2 điểm) a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: x2 mx m 1 x2 mx m 10 (1) Có a 1; b m ; c m 1 m2 4 m 4 m 2 2 Để đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, phân biệt thì phương trình a 0 (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 2 m 2 m 20 Vậy với m 2 thì đường thẳng d cắt parabol P tại 2 điểm AB, . b) Với m 2 , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt xx12, . b x x m 12a Áp dụng định lý Viet ta có c x x m 1 12 a Theo đề bài 4/6 22 xx12 17 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 17 mm2 2 15 0 m 5 tm m 3 Vậy với m 5 hoặc m 3 thì hoành độ giao điểm của d và P thỏa mãn 22 xx12 17. Bài 4 (3,5 điểm): A I E F H B D O C a) - Xét O đường kính BC có: BEC 900 ; BFC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). => BE AC; CF AB . - Xét tứ giác AEHF có: AEH HFA 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. b) - Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Mà AEH HFA 900 AH => I là trung điểm của AH => AI 2 cm 2 - Xét I có: BAC 600 => sd EHF 2. sdBAC 1200 . 5/ .rn .00 .2.120 4 - Có: l ()cm EHF 18000 180 3 .rn2 . 0 .2 2 .120 0 4 S ()cm2 IEHF 36000 360 3 c) - Xét ABC có: BE AC; CF AB . Mà CF cắt BE tại H => AH BC tại D . - Xét tứ giác BFHD có: HFB HDB 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => tứ giác BFHDnội tiếp đường tròn. => HBD HFD (góc nội tiếp chắn HD ). -Tứ giác AEHF nội tiếp => HFE HAE (góc nội tiếp cùng chắn HE ). Mà HBD HAE (cùng phụ với ACB ). => HFE HFD => FH là tia phân giác của DFE . d) - Xét AEH vuông tại E có : I là trung điểm của AH => IE IH => IEH cân tại I => IEH IHE Mà BHD IHE (đối đỉnh); BHD ECO (cùng phụ với EBC ); ECO OEC ( OEC cân) => IEH OEC Mà OEC OEH 900 => IEH OEH 900 => OEI 900 => EI là tiếp tuyến của O tại E . Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của O tại F . Mà I là trung điểm của AH => Hai tiếp tuyến của O tại E , F và AH đồng quy Bài 5 (0,5 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương a 0;b 0ta được: 1 a22 b 2ab 1 2ab ab (1) 2 6 Ta có: a22 b 1 a b 22 2ab 1 a b 1 2ab a b 22 1 1 a b 2 a b 2 (2) 1 Từ 1 ,(2) ta có: S ab 2(a b) 2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: ab 2 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là S 2 2 tại ab 2 2