Đề luyện đội tuyển quốc gia môn Toán

Đề luyện đội tuyển quốc gia 2008-2009 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1 (3 điểm). Giải hệ phương trình: Bài 2 (2 điểm). Cho đa thức thoả mãn điều kiện nếu chia hết cho 107 thì x-y chia hết cho 107, với x,y nguyên. Chứng minh rằng m chia hết cho 107. Bài 3 (3 điểm). Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: Bài 4 (3 điểm). Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên. Bài 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC, trên 3 cạnh BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F tương ứng. Biết rằng tứ giác AFDE nội tiếp. Chứng minh rằng: Bài 6 (3 điểm). Cho dãy xác định bởi và Chứng minh rằng dãy hội tụ. Bài 7 (3 điểm). Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Đường kính BP của cắt tại C, đường kính BK của cắt tại D. Đường thẳng CD cắt tại S và cắt tại T. Chứng minh rằng BS=BT. --------------------------Hết--------------------------