Đề luyện thi đại học. số 4 môn toán – khối a. thời gian làm bài 180 phút

Trường thpt đề luyện thi đại học. số 4 bắc yên thành Môn Toán – Khối A. Thời gian làm bài 180 phút Câu I. (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (Cm). Khảo sát hàm số khi m = –2. Tìm m để hàm số có cực trị. Câu II. (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: Câu III. (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d: 3x – 4y +1 =0 và cách d một khoảng bằng 1. 2) Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1) và D(4; 1; 0). Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. 3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, biết trung tuyến AA’ của đáy ABC có độ dài 3a và cạnh bên bằng . Tính độ dài cạnh đáy và thể tích hình chóp. Câu IV. (2 điểm) 1) Tính tích phân . 2) Chứng minh rằng "nẻN Câu V. (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: . Chứng minh rằng: Biên soạn đề: Ths. Nguyễn Bá Thủy Đáp án đề luyện thi. số 4 Môn: Toán. Khối A – Thời gian làm bài 180 phút. Câu ý Nội dung Điểm I I.1) Với m =–2 ta có hàm số: (Hs tự khảo sát) Đồ thị: K/s: 0.75đ Đồ thị: 0.25đ I.2) Ta có Hàm số có cực trị Û PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û Mở rộng:. 0.25 0.25 0.5 II II.1) Giải phương trình: (1) Điều kiện: 1+sin2x ≠ 0 Û . Khi đó (1) Û (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm là 0.25 0.25 0.5 II.2) Giải hệ phương trình: Điều kiện:. Khi đó hệ đã cho Û Từ (b) ị Thay vào (a) ta được pt ị x =2. Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2;1) và (2;–2) .25 0.25 0.25 0.25 III III.1) Viết pt đường thẳng D // d: 3x – 4y +1 =0 và cách d một khoảng bằng 1. Do D//d: 3x – 4y + 1 = 0 nên D có phương trình: 3x – 4y + c = 0. Khoảng cách từ D đến d bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến D. Cho x = 1, thay vào phương trình của d ta có y = 1 ị A(1; 1) ẻd. Và ta có khaỏng cách từ A đến D là: Từ giả thiết ị . Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn là D1: 3x – 4y + 6 = 0 và D2: 3x – 4y – 4 = 0. 0.25 0.25 0.25 0.25 III.2) Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. + Ta có Vậy không đồng phẳng nên ABCD là một tứ diện. + Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình dạng: với (*) Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ: Từ (3), (4) ị 8a – 12c = 20 (5) Từ (2), (4) ị 8a = –16 Û a =–2, thay vào (5) ta có c = –3. Thay a, c vào (4) ị b = 1, tiếp tục thay a, b, c vào (1) được d = –3. Vậy a =–2; b =1, c=–3, d=–3 t/m (*)ị Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình: 0.25 0.25 0.25 0.25 III.3) Hình chóp tam giác đều S.ABCD, có trung tuyến AA’ của đáy ABC có độ dài 3a và cạnh bên bằng . Tính độ dài cạnh đáy và thể tích hình chóp Gọi x là độ dài cạnh đáy hình chóp thì ta có AB = x, ị Vậy độ dài cạnh đáy hình chóp là Vì S.ABC là chóp đều nên nếu gọi O là tâm của đáy ABC thì SO^(ABC) và ta có: ị (đvtt) 0.25 0.25 (Hình: 0.25) 0.25 IV. IV.1) Tính tích phân . Đặt . Đổi cận x = 0 ị t =1; x= ị t =2. Ta có: 0.25 0.5 0.25 IV.2) Chứng minh: , "nẻN Ta có: ị ị Mặt khác Vậy ta có đpcm. 0.25 0.25 0.5 V Cho a, b, c>0 t/m: . Chứng minh rằng: (1) Cách 1. (1) Û Và . Theo BĐT Bunhiacopski ta có: ị Tương tự ta có: Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều trên ta có: Cách 2. Nhân 2 vế của BĐT (1) với abc>0 ta có: (2) áp dụng BĐT BCS ta có: ị . Tương tự C1 ta có đpcm. Cách 3. Xét . áp dụng BĐT: Ta có đpcm. Cách 4. áp dụng BĐT Mincopski: Cho là k bộ số thực bất kì, ta có: 0.25 0.25 0.25 0.25