Đề luyện thi đại học. số 5 môn toán – khối a. thời gian làm bài 180 phút

Trường thpt đề luyện thi đại học. số 5 bắc yên thành Môn Toán – Khối A. Thời gian làm bài 180 phút Câu I. (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (Cm). Khảo sát hàm số khi m = 3. Khi (Cm) cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m để hình phẳng giới hạn bởi (Cm) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau. Câu II. (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình: Câu III. (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Chứng minh đẳng thức: Câu IV. (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elíp (E): . Tiếp tuyến của (E) tại điểm M thuộc (E) cắt 2 trục tọa độ tại A và B. Tìm vị trí của M trên (E) để DOAB có diện tích nhỏ nhất. 2) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng và điểm A=(3;–3;2). Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua d. Câu V. (1 điểm) Cho DABC có diện tích S. Gọi ma, mb, mc; ha, hb, hc tương ứng là độ dài các trung tuyến và đường cao ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng: Biên soạn đề: Ths. Nguyễn Bá Thủy Đáp án đề luyện thi. số 5 Môn: Toán. Khối A – Thời gian làm bài 180 phút. Câu ý Nội dung Điểm I I.1) Với m =3 ta có hàm số Hs tự khảo sát. Đồ thị K/s: 0.75đ Đồ thị: 0.25đ I.2) Đặt t = x2. Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û PT có 2 nghiệm dương t phân biệt Û (*) Gọi x1 < x2 là các hoành độ dương của các giao điểm của (C) với Ox. Vì (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên ta chỉ cần tìm điều kiện để S1 = S với: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Oy, (C), Ox, x = x1. S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Ox, (C), x=x1, x=x2. Ta có: (1) vì x2>0 Lại do x2 là nghiệm phương trình nên (2) Giải hệ (1), (2) ta có: 0.25 0.25 0.5 II II.1) Giải phương trình: Điều kiện: Đặt , thay vào phương trình đã cho ta có: Û • t = 2 ị (thỏa mãn điều kiện) • t = –2x ị Vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 0.25 0.25 0.5 II.2) Giải phương trình: Phương trình đã cho Û • • (2) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 0.25 0.5 0.25 III III.1) Giải hệ phương trình: Điều kiện Hệ đã cho Û Û Vậy hệ có nghiệm (x;y) là (4;16) 0.25 0.25 0.5 III.2) Chứng minh đẳng thức. Có Lấy đạo hàm 2 vế ta có: Cho x =2 ta được: (1) Ta lại có: Lấy đạo hàm hai vế ta có: Cho x =2, ta có: (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. 0.25 0.25 0.25 0.25 IV IV.1) Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E): . Tiếp tuyến của (E) tại M ẻ(E) cắt 2 trục tọa độ tại A và B. Tìm vị trí của M trên (E) để DOAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình tiếp tuyến AB của (E) tại M(x0; y0) trên (E) là (d): d cắt Ox, Oy tại A, B tương ứng có tọa độ là ị Do Mẻ(E) ị (1) không đổi ị lớn nhất Û (2) Từ (1) và (2) ta có 4 điểm thỏa mãn là 0.25 0.25 0.5 IV.2) Trong không gian Oxyz cho và điểm A= (3;–3;2). Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua d. Mp(α) qua A vuông góc với d có phương trình: (x–3) – (y+3) – 2(z– 2) = 0 Û x – y – 2z – 2 = 0. D có phương trình tham số . Thay vào phương trình của (α) ta có: 2 + t + t + 2 + 4t – 2 = 0 Û ị d cắt (α) tại điểm B là điểm đối xứng với A qua d Û I là trung điểm AB Û . Vậy điểm B đối xứng với A qua d có tọa độ 0.25 0.25 0.25 0.25 V Chứng minh rằng: Theo công thức trung tuyến ta có: (1) Mặt khác: . Do đó: (2) Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2) ta có đpcm. 0.5 0.5