Đề luyện thi học sinh giỏi 12 cấp tỉnh – năm 2008-2009 ( thời gian 180 phút )

Đề4 Đề luyện thi học sinh giỏi 12 cấp tỉnh – năm 2008-2009 ( thời gian 180 phút ) Bài 1) Với giá trị nào của m phương trình có nghiệm : (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0 Bài 2) Chứng minh ; x . Bài 3 : giải hệ Bài 4: (3 điểm) Với hai đường thẳng MN, PQ chộo nhau trong khụng gian, kớ hiệu d(MN,PQ) và (MN,PQ) lần lượt là khoảng cỏch và gúc giữa hai đường thẳng MN, PQ. a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) thỡ trong ba số: cotg(AB,CD); cotg(AC,BD); cotg(AD,BC) cú một số bằng tổng hai số cũn lại. b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) và (AB,CD) = (AC,BD) =(AD,BC) thỡ nú là hỡnh chúp tam giỏc đều./. Đáp án 1) (2đ) (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). ĐK: x ³ 0; Đặt t = , t ³ 0. 0,5 (1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 m = (2) 0,5 Xét f(t) = , t ³ 0 f/(t) = ; f/(t) = 0 0,5 Bảng biến thiên t 0 2 + à 0,5 f/(t) 0 + f(t) 3 2 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thoả mãn t ³ 0 . 0,5 2)(2đ) (1). ; x . (1) tgx.sin2x - x3 > 0. Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 > 0 ; x . 0,5 f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2. f//(x) = 2tgx. + 4sinx.cosx - 6x = + 2sin2x - 6x f///(x) = 0,5 = = = 0,5 => f//(x) đồng biến trên => f//(x) > f//(0) = 0 , 0,5 => f/(x) đồng biến trên => f/(x) > f/(0) = 0 , 0,5 => f(x) đồng biến trên => f(x) > f(0) = 0 , 0,5 3) (2đ) Ta có (1) 0,5 Xét f(t) = , t f/(t) = . 0,5 => f/(t) đồng biến trên . Khi đó từ (1/) => x = y. 0,5 C1 A C D B1 D1 Bài 4: (4 điểm) Cõu a ( 2 đ) A1 Dựng hỡnh hộp ngoại tiếp tứ diện AC1BD1B1DA1C. Giả thiết d(AB,CD) = d(AC,BD)=d(AD,BC) suy ra cỏc mặt của hỡnh hộp cựng diện tớch S. Đặt a = AB, a1 = CD, AC = b, BC = b1, AD = c, BC = c1, AD1 = z, AC1 = y, AB1 = x. Từ hỡnh bỡnh hành AC1BD1 ta cú: B a2 + a21 = 2(y2 + z2) ; cos(AB,CD)= cos(AB,CD)= Chỳ ý: S = dtAC1BD1 = a1a.sin(AB,CD). Do đú: cotg(AB,CD) = Tương tự: cotg(AC,BD) = ; = Nếu x Ê y Ê z thỡ cotg(AB,CD) + cotg(AC,BD) + cotg(AD,BC) = cotg(AD,BD). Cỏc trường hợp khỏc cũng cú kết quả như thế. Cõu b ( 2đ) Từ cỏc kết quả cõu a/ nếu thờm (AB,CD) = (AC,BD) =(AD,BC) thỡ cotg(AB,CD) = cotg(AC,BD) = cotg(AD,BC) = 0. Suy ra cỏc cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuụng gúc đụi một. Lỳc này ta cũng cú: Suy ra {a, a1}= {b, b1}= {c, c1}. Vỡ vậy phải cú ớt nhất một mặt của tứ diện ABCD là một tam giỏc đều. Từ đú ABCD là hỡnh chúp tam giỏc đều.