Đề số 1 học sinh giỏi hóa 9

Đề số 1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện a2 + b2 =3. Chứng minh: a) Giải phương trình (x+1)(x2+2) + (x+2)(x2+1) = 2 b) Cho phương trình x2 – 2m(x-1) -1 = 0. Tìm tập hợp các giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = x12 + x22 . Chứng minh rằng số P=n3 + 5n chia hết cho 3 với mọi số nguyên n. Cho D ABC vuông tại A. Trên AB và AC ta lấy các điểm tương ứng M và N. Gọi P và Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và N xuống BC, biết AP = AQ.a) CMR: B, C N, M cùng nằm trên một đường tròn.b) Giả sử MN bằng bán kính đường tròn đi qua B, C, M, N. Tính é PAQ. Đề số 2 Giải hệ phương trình a) Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng của lập phương chữ số hàng chục với bình phương chữ số hàng đơn vị bằng chính số đó. b) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . Cho D ABC có é BAC không vuông. Gọi (O1 )là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi (O2) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn trên cắt nhau tại M.a) CMR: B, C, M không thẳng hàng. Ta kí hiệu (O) là đường tròn đi qua B, M, C.b) Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác é BAC với đường tròn ngoại tiếp D ABC và E là giao điểm thứ hai của AM với (O). CMR: đường thẳng DE đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC và các đường thẳng EB, EC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp D ABC.c) Giả sử é BAC = 600 . Gọi N là giao điểm của AM với BC.  CMR: Đề số 3 Cho các số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Tính tổng . a) Cho hai phương trình : x2 + 2x + a = 0 (1) và (1+a)(x2 + 2x +a) – 2(a – 1)(x2 + 1) = 0 (2). Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (2) vô nghiệm. b) Giải phương trình . Cho một hình lục giác lồi ABCDEF có AB // CF, BC // AD, CD // BE. Chứng minh rằng hai tam giác ACE và BDF có diện tích bằng nhau. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cùng tiếp xúc với đường thẳng d lần lượt tại các điểm A và B và cắt nhau tại hai điểm C và D ( D gần AB hơn ). Gọi (O’’) là đường tròn ngoại tiếp D ABC, M là giao điểm của CD với O’’.a) Chứng minh rằng : AMBD là hình bình hành.b) ký hiệu R và R’ lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng : R=R’. Đề số 4 a) Chứng minh rằng : nếu các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ a ≤ b+c b. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2xy + 3y2 = 24. Chứng minh rằng nếu phương trình x2 + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt thì các phương trình x2 + (p +2a)x + (q + ap) = 0 và 3 x2 + 2(p+a)x + (q+ap) = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a. Giải phương trình . a) Cho D ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cạnh BC (khác B và C). Đường thẳng đi qua M vuông góc với BC và cắt đường tròn (O) tại hai điểm P và Q, trong Q nằm trên cung BC chứa A. Đường thẳng đi qua M song song với QA và cắt AB tại và AC tại E và F. Chứng minh rằng : tứ giác AEPF nội tiếp.b) Cho nửa đường tròn đường kính AB. Ta xét đường tròn (O) tiếp xúc với đường kính AB tại M và tiếp xúc với nửa đường tròn tại N. Chứng minh rằng : khi đường tròn (O) thay đổi thì đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. Đề số 5 Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện Tính tổng . Giải hệ phương trình a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 5 y2 + 8 z2 biết rằng xy + yz + zx =1. b) Chứng minh rằng : nếu x, y là các số nguyên thì :P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phương. a) Trên đường kính AB=2R của nửa đường tròn ta dựng hình vuông MNPQ sao cho M, N nằm trên AB. Các đỉnh còn lại thuộc nửa đường tròn . Tính diện tích hình vuông đó. b) Cho é xOy và điểm A cố định trên cạnh Ox. Với mỗi điểm B thuộc Oy ta dựng đường tròn nội tiếp D OAB. Gọi M, N là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB và OB. Chứng minh rằng : khi điểm B thay đổi thì đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. Đề số 6 Chứng minh rằng nếu thì với abc ≠ 0, a2 – bc ≠ 0, c2 – ab ≠ 0, xyz ≠ 0. Cho D ABC. Trên cạnhAB và AC ta lấy lần lượt các điểm M, N. Gọi P là giao điểm của CM và BN. Tính diện tích D ABC biết rằng diện tích các tam giác PMB, PNC, PBC tương ứng bằng 1, 2, 3. a) Chứng minh rằng nếu phương trình x2 + px + q = 0 có nghiệm thì phương trình có nghiệm với mọi a.b) Giải hệ phương trình Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O).a) Chứng minh rằng nếu hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau thì độ dài các đaọn thẳng nối các tiếp điểm nằm trên hai cạnh đối của tứ giác bằng nhau.b) Chứng minh rằng nếu hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp điểm trên hai cạnh đối có đọ dài bằng nhau thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau.c) Tứ giác ABCD có hình dạng gì đặc biệt nếu hai hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp điểm là đường kính của đường tròn (O). Đề số 7 a)Tính giá trị biểu thức với b) Tìm các giá trị nguyên x thỏa mãn hệ bất phương trình : Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng : x2 + y2 = < 1. Giải hệ phương trình: