Đề tài Biện luận phương trình bằng đồ thị

A. phương pháp I) Biện luận phương trình bằng đồ thị: 1) Cho phương trình: F(x, m) = 0 (1), m là tham số. ã Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2) ã Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đường (C): y = f(x) và đường thẳng D: y = g(m) ã Số hoành độ giao điểm của (C) và D là số nghiệm của phương trình (1) 2) Chú ý: a) Đường thẳng D có ba dạng sau: ã D: y = g(m) ị D là đường thẳng // trục Ox ã D: y = kx + m ị D là đường thẳng có hệ số góc k ã D: y = m(x - x0) + y0 ị D là đường thẳng quay quanh một điểm cố định A(x0; y0) b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện a Ê x Ê b ã Ta chỉ vẽ đường (C): y = f(x) với x ẻ [a; b] ã Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [a; b] c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận để tìm m. II) Đồ thị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. 1) Dạng tổng quát: ã Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối ã Dựa vào định nghĩa: để bỏ giá trị tuyệt đối ã Viết hàm số về dạng được cho bởi nhiều công thức ã Khảo sát hàm số ứng với từng công thức. ã Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số. 2) Các điều cần nhớ: ã Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các trục toạ độ. Cơ sở của nó là các nhận xét sau đây: ° Hai điểm (x; y) và (x; -y) đối xứng nhau qua trục hoành. ° Hai điểm (x; y) và (-x; y) đối xứng nhau qua trục tung. ° Hai điểm (x; y) và (-x; -y) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. ° Đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành. 3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = Ta có: y = = ã Vẽ đồ thị (C): y = f(x) ã Đồ thị (C1) gồm 2 phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ³ 0) ° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox. b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = Ta có y = = ã Vẽ đồ thị (C): y = f(x) ã Đồ thị (C2) gồm 2 phần: ° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) ° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy. c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: Ta có: Û (Do đó được coi là hàm đa trị của y theo x) ã Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) ã Đồ thị (C3) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành. ° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox. d) Dạng đồ thị của hàm số: y = Ta có: y = = ã Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = ã Đồ thị (C4) gồm hai phần: ° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ³ 0 ° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành. e) Dạng đồ thị (C5) của hàm số: y = ã Các bước làm tương tự như phần d) ã Chú ý: g(x) ạ 0. f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = Ta có: y = = ã đồ thị (C6) gồm hai phần: ° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ³ 0 ° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0 ã Mở rộng: Vẽ đồ thị hàm số: y = ° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu. g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = ã Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) ã Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f() ã Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = . Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau: y = f(x) ị y = f() ị y = B. các bài tập mẫu: Bài số 1: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 - 2x2 - 1 b) Với những giá trị nào của m thì phương trình: = log2m có 6 nghiệm phân biệt? Giải: ã TXĐ: D = R. Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. ã Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = 4x3 - 4x y' = 0 Û 4x(x2 - 1) = 0 Û Bảng xét dấu y': x - -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-; -1) (0; 1) Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1; 0); (1; +) ã Cực trị: ° Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = ±1 và yCĐ = -2 ° Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và yCĐ = -1 ã Giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận. ã Tính lồi lõm và điểm uốn: y" = 12x2 - 4 = 0 Û x = ± ị y = - x - - + y" + 0 - 0 + Đồ thị hsố lõm lồi lõm Bảng biến thiên: x - -1 - 0 1 + y' - 0 + + 0 - - 0 + y + CT U1 - CĐ U2 - CT + ã Vẽ đồ thị: ° Giao với trục Ox: y = 0 ị x4 - 2x2 - 1 = 0 ị x = ± ° Giao với trục Oy: x = 0 ị y = -1 ° Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng ° Các điểm khác: (±2; 7) (±1; -2) b) Phương trình: có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm số: y = cắt đường thẳng y = log2m tại 6 điểm phân biệt ã Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = Ta có: y = Vậy đồ thị (C1) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) ứng với f(x) ³ 0 có nghĩa là phân đồ thị nằm phía trên trục Ox ° Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía dưới trục hoành. ° Vẽ đường thẳng D: y = log2m; D // Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng log2m Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đường thẳng D cắt đồ thị (C1) tại 6 điểm Û 1 < log2m < 2 Û 2 < m < 4 KL: Vậy phương trình: có 6 nghiệm phân biệt Û 2 < m < 4 Bài số 2: Cho hàm số: y = f(x) = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f1(x) = (Vẽ hình riêng) c) Dùng đồ thị (C1) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn [-1; 2] của phương trình: (*) (ĐH QG HN - 1999) Giải: a) ã TXĐ: D = R \ {1} ã Sự biện thiên: ° Chiều biến thiên: y' = -, "x ẻ D ị hàm số luôn nghịch biến với "x ạ 1. ° Cực trị: Hàm số không có cực trị. ° Giới hạn: ị đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng ị đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang ã Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 ã Vẽ đồ thị: ° Giao với trục Ox: (0; 0) ° Giao với trục Oy: (0; 0) ° Các điểm khác: (2; 4); ; (3; 3); Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Suy ra đồ thị (C1): y = Ta có y = Nhận xét: Đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng ã Đồ thị (C1) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy. ° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy ã Chú ý: ° Lấy đối xứng cả đường tiệm cận đứng qua trục Oy ta được đường thẳng x = -1. Vẽ đồ thị (C1): c) Ta có: Û Û Û (*) với Vì nếu thì m - 2 - m = -2 = 0 (Vô lý) ị phương trình không có nghiệm bằng ±1 Số nghiệm của phương trình (*) ẻ [-1; 2] là số hoành đô giao điểm của đồ thị (C1) với đường thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x ẻ [-1; 2] Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả: ã Nếu m < 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm đơn. ã Nếu 0 < m < 4 thì phương trình (*) vô nghiệm ã Nếu m = 0 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép ã Nếu m > 4 thì phương trình (*) có 1 nghiệm đơn Bài số 3: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x b) Từ đó suy ra đồ thị (C1) của hàm số: Giải: a) ã TXĐ: D = R ã Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1) y' = 0 Û Xét dấu y': x - -1 1 + y' - 0 + 0 - Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) Hàm số nghịch biến trên (-; -1) ; (1; +) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 1 ị yCĐ = 2 Hàm số đạt cực đại tại xCT = -1 ị yCT = -2 ° Giới hạn: ị đồ thị không có tiệm cận. ° Tính lồi lõm và điểm uốn: y" = -6x ; y" = 0 Û x = 0 ị y = 0 Bảng xét dấu y" x - 0 + y" + 0 - Đồ thị h.số Lõm Đ.uốn O(0; 0) Lồi ° Bảng biến thiên: x - -1 0 1 + y' - 0 + + 0 - y + CT -2 0 Đ.U 2 CĐ - ã Vẽ đồ thị: ° Giao với Ox: ° Giao vơi Oy: (0; 0) Các điểm khác: (-2; 2); (2; -2) (1; 2); (-1; -2) Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn O(0; 0) làm tâm đối xứng. b) Vẽ đồ thị: Ta có: Đồ thị hàm số (C1) gồm 2 phần: ã Phần đồ thị của (C) nằm phía trên trục hoành ã Phần đối xứng của phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox qua trục Ox Bài số 4: ĐHKT QDân - 1999 Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x - 1)2 = 2m Giải: Ta có y = x - 4 + a) ã TXĐ: D = R\{-2} ã Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y ' = 1 - y' = 0 Û (x + 2)2 = 9 Û Lập bảng xét dấu y': x - -5 -2 1 + y' + 0 - - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -5); (1; +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-5; -2); (-2; 1) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -5 và yCĐ = -12 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1 và yCT = 0 ° Giới hạn: ị x = -2 là phương trình của đường tiệm cận đứng ị y = x - 4 là phương trình đường tiệm cận xiên ã Bảng biến thiên: x - -5 -2 1 + y' + 0 - - 0 + y - -12 CĐ - + 0 CT + ã Vẽ đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0); ; (-5; -12); và nhận giao điểm I(-2; -6) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Ta có: (*) Û (*), x ạ -2 ã Nếu x = -2 thì (*) Û 9 = 2m Û m = ã Nếu x ạ -2 thì số nghiệm của phương trình (*) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y = và đường thẳng y = 2m ã Vẽ đồ thị (C1): y = Ta có: y = = Vậy đồ thị (C1) gồm 2 phần: ã Phần đồ thị (C) ứng với x > -2 ã Phần đồ thị đối xứng của đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox ã Đường thẳng y = 2m là đường thẳng song song trục Ox cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2m Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả: ã Nếu 2m < 1 Û m < thì phương trình (*) vô nghiệm ã Nếu m = thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép ã Nếu thì phương trình (*) có 2 nghiệm đơn ã Nếu m = 6 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn ã Nếu m > 6 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt Bài số 5 ĐHY Dược TPHCM - 93 Cho (Cm) là đồ thị hàm số: y = Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1. Từ đó suy ra đồ thị (C) của hàm số: y = Giải: ã Với m = -1 ta được y = ã TXĐ: D = R\{-1} ã Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = 2 - y' = 0 Û Bảng xét dấu y': x - -2 -1 0 + y' + 0 - - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2); (0; +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; -1); (-1; 0) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -2 và yCĐ = -9 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và yCT = -1 ° Giới hạn: ị x = -1 là phương trình đường tiệm cận đứng = 0 ị y = 2x + 3 là phương trình đường tiệm cận xiên ã Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + y' + 0 - - 0 + - -9 CĐ - + -1 CT + ãVẽ đồ thị: Giao với trục Ox: (1; 0) và Giao với trục Oy: (0; -1) đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = Ta có: y = Vậy đồ thị (C) của hàm số gồm 2 phần: ã Phần đồ thị (C-1) ứng với x ³ 1 ã Phần đối xứng của đồ thị (C-1) ứng với x < 1 qua trục hoành Bài số 6: ĐH Mở HN - 99 Cho hàm số: y = x + 1 + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Vẽ đồ thị (C*) của hàm số y = c) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: = m Giải: ã TXĐ: D = R\{1} ã Sự biến thiên: y' = ° Chiều biến thiên: y' = 0 Û x2 - 2 = 0 Û Bảng xét dấu y': x - 0 1 2 + y' + 0 - - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; 0); (2; +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1); (1; 2) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0 và yCĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2 và yCT = 4 ° Giới hạn: ị x = 1 là phương trình đường tiệm cận đứng = 0 ị y = x + 1 là phương trình đường tiệm cận xiên ã Bảng biến thiên: x - 0 1 2 + y' + 0 - - 0 + y - 0 CĐ - + 4 CT + Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox và Oy: (0; 0) Đồ thị đi qua các điểm khác: ; ; (2; 4) Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Giao với trục Ox và Oy: (0; 0) b) Vẽ (C*): y = (*) ã Với x > -1 thì (*) có dạng: y1 = x + 1 + Vậy đồ thị là phần của (C) tương ứng với x ³ -1 ã Với x < -1 thì (*) có dạng: y2 = -x -1 + ° TXĐ: D = (-; -1) ° Sự biến thiên: y2' = -1 - < 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; -1) Cực trị: Hàm số không có cực trị Giới hạn: ị y = -x - 1 là đường tiệm cận xiên ° Bảng biến thiên: x - -1 + y' - y + - Đồ thị (C2) là nhánh (b). Vậy đồ thị (C*) gồm hai phần: ã Phần đồ thị (C1) ã Phần đồ thị (C2) c) phương trình: = m có ba nghiệm phân biệt Û đồ thị (C*) cắt đường thẳng d: y = m tại 3 điểm phân biệt ã Vẽ đường thẳng D: y = m, với D là đường thẳng // Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m ã Nhìn vào đồ thị ta thấy: đường thẳng D cắt (C*) tại ba điểm phân biệt Û KL: Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi Bài số 7: ĐH SP HN - Khối B - 2001 Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số: y = c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: - 3 + m = 0 Giải: a) ã TXĐ: D = R ã Sự biến thiên: ° Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 12x + 9 y' = 0 Û x2 - 4x + 3 = 0 Û Xét dấu y' x - 1 3 + y' + 0 - 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-; 1) ; (3; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3) ° Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 1; yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 3; yCT = 0 ° Giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận ° Tính lỗi lõm và điểm uốn: y" = 6x - 12 y" = 0 Û x = 2 ị y = 0 Xét dấu y": x - 2 + y" - 0 + Đồ thị lỗi trên khoảng (-; 2) Đồ thị lõm trên khoảng (2; +) Đồ thị có điểm uốn là I(2; 2) ã Bảng biến thiên: x - 1 2 3 + y' + 0 - - 0 + y - 4 CĐ 2 U 0 CT + ã Vẽ đồ thị: Giao với Ox: (0; 0), (3; 0) Giao với Oy: (0; 0) Đồ thị nhận giao điểm I(2; 2) làm tâm đối xứng Các điểm khác: (-1; -16), (4; 4), (2; 2) b) Vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = ã Vẽ đồ thị (C2): y = = Ta có = Đồ thị (C2) gồm hai phần: ° Phần đồ thị (C) ứng với x ³ 0 ° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy ã Vẽ xong đồ thị (C2) thì vẽ đồ thị (C1) Vậy đồ thị (C1) chính là đồ thị (C2) và đồ thị (C1) ứng với f(x) ³ 0 "x c) Số nghiệm của phương trình: - 3 + m = 0 (*) là số hoành độ giao điểm của đồ thị (C1) của hàm số y = với đường thẳng D: y = 3 - m là đường thẳng // Ox Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả sau: ã Nếu 3 - m 3 thì phương trình (*) vô nghiệm ã Nếu 3 - m = 0 Û m = 3 thì phương trình (*) có 3 nghiệm kép ã Nếu 0 < 3 - m < 4 Û -1 < m < 3 thì phương trình (*) có 6 nghiệm phân biệt ã Nếu 3 - m = 1 Û m = -1 thì phương trình (*) có 2 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn ã Nếu 3 - m > 4 Û m < -1 thì phương trình (*) có 2 nghiệm đơn c. các bài tập tự giải: Bài1: ĐH kỹ thuật công nghệ năm 1997 Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đó suy ra đồ thị (C1) của hàm số: y = (Vẽ hình riêng) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: = 2m bằng đồ thị Bài2: ĐHSP Vinh - Khối A,B - 2001 Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 - (1 + m) - m - 1 = 0 Bài3: Cho hàm số: y = -x4 + 3x2 - 5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Suy ra đồ thị hàm số: c) Biện luận số nghiệm phương trình: -x4 + 3x2 - 5 + m = 0 Bài4: Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Dùng đồ thị biện luận phương trình: Bài5: Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm x ẻ (-4; 3) của phương trình: = 2m + 1 Bài6: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Từ đó suy ra đồ thị: y = c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: = -m +1