Đề tài Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10

Phần thứ nhất. Mở đầu. I. Lý do chọn đề tài. Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong chương trình toán THPT và có nhiều ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức được đưa vào lớp 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) trong " chương IV - Bất Đẳng Thức, Bất phương Trình " với số tiết không nhiều ( 03 tiết theo phân phối chương trình và 03 tiết tự chọn đối với chương trình Ban KHTN ). Tuy nhiên, học sinh lớp 10 được kế thừa kiến thức về bất đẳng thức từ ở chương trình THCS ( từ lớp 7 ). Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa đại số 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng, không biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm được các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học...trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều hướng giải nhưng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng ở không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhưng chỉ tại một chut thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy. Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ...và cả trên thư viện toán điện tử ..vv..Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức. Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm. Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy - học toán lớp 10 ở trường THPT Lê Lai, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao, bồi dưỡng học sinh ban KHTN. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về " Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". II. Nhiệm vụ của đề tài. Đề tài nêu và giải quyết một số vấn đề sau: 1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức. 2). Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. 5). Những sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức. 6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc - Thanh Hoá. 7). Những kết quả đạt được. Kết luận. III. Đối tượng nghiên cứu. Một số kinh nghiệm " Dạy học chứng minh bất đẳng thức đại số nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 trường THPT Lê Lai ". IV. Phương pháp nghiên cứu. 1). Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài. 2). Phân tích và tổng hợp. 3). Tổng kết thực nghiệm. 4). Thống kê. phần thứ hai nội dung chương I cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , B A - B > 0. .Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. .Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. .Nếu ta có: A > B C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương. .A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. .A ≥ B là A > B hoặc A = B. .A ≠ B cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c a > c. Tính chất 2: a > b a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương > . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương > . Hệ quả: a > b ≥ 0: ≥ . Tính chất 8: a > b, ab > 0 < . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n > . 0 n < . III. Các hằng bất đẳng thức. 1) Dấu " = " xảy ra . 2) . Dấu " = " xảy ra . 3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra 4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn: Dấu " = " xảy ra > 0. Dấu " = " xảy ra Dấu " = " xảy ra > 0. Dấu " = " xảy ra Dấu " = " xảy ra 5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng. . Bất đẳng thức côsi. Cho n số dương Ta có: Dấu " = " xảy ra . Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Cho hai bộ số: và Ta có: Dấu " = " xảy ra Chương II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp 10 ( trong 03 tiết học theo phân phối chương trình và 03 tiết học theo chủ đề tự chọn bám sát nâng cao, còn lại hướng dẫn thêm cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm ) nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mổi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau: . Lập hiệu số: A - B. . Chứng tỏ A - B ≥ 0. . Kết luận A ≥ B. B. Ví dụ. 1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức: a) b) > 0. Giải: a) Ta có: Do đó: b) Ta có: . = . = = Do đó: . Với a, b, c > 0. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1. Giải: Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 ) = . Dặt , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y≥ 0. Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1. II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. A ≥ B A ≥ B ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B. B. Ví dụ 1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức: a) . b) > 0. Giải: a) .( bất đẳng thức đúng ). Vậy b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó: , ( bất đẳng thức đúng ). Vậy Với x, y > 0. 2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: . ( 1 ). . Vì ab > 0. . ( Vì a + b = 1 ). ( Vì a + b = 1 ). ( 2 ). Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh. C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: Với a, b > 0. m > n > . Với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rỏ các điều kiệ ấy khi biến đổi tương đương. III. phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem phần II. Chương I ). B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: > . Giải: Do > 1 ( 1 ). Bình phương hai vế: > 1 > 1 ( 2 ). Mặt khác: . ( 3 ). Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: > 1. Suy ra: > ( 4 ). Bình phương hai vế của ( 4 ): > . ( 5 ). Mặt khác: . ( 6 ). Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: > . Suy ra: > . 2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức: Giải: Ta có: Dấu " = " xảy ra áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: ( 1 ). Tương tự : ( 2 ). ( 3 ). Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được: IV. Phương pháp làm trội A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: > ( Với > 1 ). Giải: Ta có: > Tương tự: > .................. Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: > Giải: Ta có: > = = Suy ra đpcm. V. Phương pháp phản chứng. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho Chứng minh rằng: Giải: Giả sử > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được: > 4. ( 1 ) Mặt khác ta có: Mà: 2 ( giả thiết ), do đó ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ). Vậy phải có 2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có: < 0; < 0; < 0. < 0 < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm ) VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số. A. Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với > 0. Chứng minh rằng: a) Nếu < thì: < . b) Nếu thì: Bài toán 2. Với > 0. Chứng minh rằng: a) b) c) * Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: < 2. Giải: Vì là ba cạnh của một tam giác nên < , theo bài toán 1a) ta có: < ( 1 ). tương tự: < ( 2 ). < ( 3 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có: < 2. Ví dụ 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Vì > 0 > 0 và > 0. Theo bài toán 2b) ta có: đpcm. 3.Ví dụ 3. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Vì > 0 > 0; > 0; > 0. Theo bài toán 2c) ta có: đpcm. VII. Phương pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối. A.Kiến thức cần nhớ. Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) . Dấu " = " xảy ra khi . b) . Dấu " = " xảy ra khi . Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu thì: Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi . Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) 2) Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: . Giải: Từ bài toán 1a) ta có: . * Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng: . 2. Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng: . Giải: Đặt x= , ta có: ( theo bài toán 2 ). Ta được: = . Vì và cùng dấu. . ( đpcm ). 3. Ví dụ 3. cho Chứng minh rằng: Giải: Vì: . Mà: . Suy ra: . Theo bài toán 1) ta có: . Vậy: . VIII. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. A. Kiến thức cần nhớ. Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ): 1) . 2) . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x+ y≥ . Giải: áp dụng bài toán 1) ta có: . 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: . Giải: áp dụng bài toán 2) ta có: IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng. A. Phương pháp. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X = và Y = hoặc X = và Y = với là đa thức, phân thức mà các biểu thức có chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: . ( 1 ) Ta có: (vì > 0 ). . ( bất đẳng thức luôn đúng ). Vậy ( 1 ) được chứng minh ! Tương tự . ( 2 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: . Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: . ( 1 ) Ta có ( 1 ) Vậy ( 1 ) đúng. Tương tự . ( 2 ) . ( 3 ) Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm. X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: > 0. Giải: Gọi A là vế trái của bất đẳng thức. Cách 1. * Nếu thì A > 0. * Nếu x 0. Vậy ta có đpcm. Cách 2. A = . * Nếu , mà > 0. Nên A > 0. * Nếu x 0, còn > 0. Nên A > 0. 2. Ví dụ 2. Cho , thoả mãn: . Chứng minh rằng: . Giải: Xét hai trường hợp: 1) . 2) Trong ba số có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả sử < 1. Ta có . XI. Phương pháp đổi biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc dẫ biết cách giải * Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng . ( h là hằng số, là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi biến , sau đó biểu diễn theo sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007) + ( x + 2009 ) 2. Giải: Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 )+( x + 2009 )= ( y - 1 )+( y + 1 ) = . * Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát : bằng cách đặt . 2. Ví dụ 2. Cho .Chứng minh rằng: . Giải: Đặt . Do Ta có: Dấu " = " xảy ra . 3. Ví dụ 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: . Giải: Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c. Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0. Suy ra Vậy . = . XII. Phương pháp sắp thứ tự các biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi vai trò các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến, giúp tim lời giải dễ dàng hơn. Lưu ý rằng 1) Các biến tham gia trong bài toán hoán vị vòng quanh mà giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 2) Các biến tham gia trong bài toán có vai trò như nhau, nghĩa là nếu hoán vị tuỳ ý mà giả thiết và bất đảng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xắp xếp trật tự các biến ( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ). B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng: . Giải: Vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử: 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1. Do đó: . ( 1 ). Mặt khác: . Mà nên Do đó: . ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm. 2. Ví dụ 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: . Giải: * Nhận xét: Khi hoán vị vòng quanh thì bất đẳng thức cần chứng minh không đổi. Giả sử là số nhỏ nhất tức là . Ta có: Vậy ta được đpcm. XIII. Phương pháp quy nạp toán học. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi . ta có thể vận dụng phương pháp quy nạp toán học. Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học: 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi . 2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi . Chứng minh bất đẳng thức đúng khi 3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi nguyên dương. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: > , với mọi nguyên dương. Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là: > , ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với . Ta có: > > . Vậy bất > với mọi nguyên dương. 2. Ví dụ 2. Cho . Chứng minh rằng: , với mọi nguyên dương. Giải: Với , ta có , hiển nhiên đúmg. Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là: .Ta có: Mà: cùng dấu nên . Do đó: . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. XIV. Phương pháp phân tích số hạng. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có dạng , khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn hệ thức . Từ đó dễ dàng thấy rằng: . Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: < 1. Giải: Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: . Vậy ta có: < 1. ( đpcm ). 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: < 1. Giải: Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: . Ta có: < 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. XV. Phương pháp véc tơ và hình học. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất: 1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c. 2). Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin. 3). , dấu đẳng thức xảy ra > 0 ( tức cùng hướng ). 4). , dấu đẳng thức xảy ra khi ( tức cùng phương ) B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho > 0. Chứng minh rằng: > . Giải: B Xét tam ∆ ABC có A = 1v, AB = , AC = . Theo định lý Pitago ta có: BC = AB + AC = BC = ∆ ABC có AB + AC > BC > . A C 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,luôn có: . Giải: Nhận xét: .. Mà . đpcm Chương III. Một số bài toán chọn lọc. Trong quá trình dạy - học chương trình mới lớp 10 môn toán ( chương trình chuẩn và chương trình nâng cao ), phần bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức, tôi thường dùng tài liệu tham khảo đào sâu môn toán là cuốn sách " Phương pháp giải toán đại số - Chủ biên : Lê Hồng Đức - NXB Hà Nội " . Ngoài ra còn tham khảo thêm cuốn " Sai lầm thường gặp & các sáng tạo trong giải toán - Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn - NXB Hà Nội " và các chuyên đề bất đẳng thức trong các số báo toán tuổi thơ, báo toán tuổi trẻ ...Thông qua các chuyên đề và bài tập vận dụng, những tài liệu này đã cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải. Tuy nhiên, để giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo tốt hơn, đòi hỏi giáo viên phải bổ sung thêm một số phương pháp và bài tập vận dụng. Dưới đây là một số bài tập mà tôi đã chọn lọc bổ sung vào các bài tập trên nhằm đạt được mục đích đó. Bài 1. Chứng minh rằng: a) . b) . c) . d) . Hướng dẫn: a) . Dấu " = " không xảy ra nên ta có đpcm. b) Đặt y = x + 3. c) VT biến đổi được: . d) . Bài 2. Chứng minh rằng: a) . b) . c) . d) . Hướng dẫn: a) Nhân cả hai vế với 2, biến đổi tương đương. b) Biến đổi tương đương đưa về: . c) VT bằng: . d) Chứng minh bài toán phụ: với > 0 thì: . áp dụng bài toán trên với: . Bài 3. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: a) Chứng minh: . b) Chứng minh bài toán phụ: . Bài 4. Cho đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: a) Chứng minh: . Mà: . b) Sử dụng hằng đẳng thức: . Bài 5. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: Chứng minh bài toán phụ: . Bài 6. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) . a) CMBĐT riêng: . b) CMBĐT riêng: . Bài 7. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) 2 < < 3. c) . d) . Hướng dẫn: a) BĐT côsi ( hoặc biến đổi vế trái ). b) CM bài toán phụ: Cho > 0, > . Chứng minh rằng: < . c) Đặt x = a + b; y = c + a; z = a + b với x, y, z > 0 . d) Đặt x = b + c + d, y = c + d + a, z = d + a + b, t = a + b + c; Với x, y, z, t > 0. Bài 8. Chứng minh rằng: a) > . b) < . Hướng dẫn: a) . b) < . Bài 9. Cho > 0. Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: CMBĐT riêng: . Bài 10. Cho thoả mãn . Chứng minh rằng: a) . b) . c) . d) . Hướng dẫn: c) CM: (1 - a )( 1 - b )( 1 - c ) ≥ ( 1 - a - b )( 1 - c ). d) Xét . Bài 11. Cho là độ dài ba cạnh của một tam giac. Chứng minh rằng: a) < . b) . c) > . d) > . Hướng dẫn: a) Dễ dàng CM được: < . b) biến đổi tương đương. c) Ta có: a + b + c > 2c.... d) biến đổi tương đương. Bài 12. a) cho thoả mãn > 36. Chứng minh rằng:> . b) Cho thoả mãn > 0 và 0. Hướng dẫn: a) Biến đôit tương đương về: > 0. b) Từ GT biến đổi được: > > 0. Bài 13. a) cho > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng: . b) Cho > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: a) . ( ý b - tương tự ). Bài 14. Cho thoả mãn . Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: Từ GT . Biến đổi VT được: Bài 15. Cho 0 < < 1. Chứng minh rằng ít nhất có một bất đqẳng thức sau là sai: >1; > 2; > 1; > 3. Hướng dẫn: ( CM bằng PP phản chứng ). Bài 16. Giả sử hệ phương trình sau có nghiệm: Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: Từ hệ phương trình, ta có: . áp dụng tính chất: ....Ta được đpcm. Bài 17. ( ĐH Huế ) Giải phương trình: . Hướng dẫn: ( Xem chương IV - ứng dụng của bất đẳng thức ) Sử dụng BĐT cosi để đánh giá hai vế của phương trình. Chương IV. ứng dụng của bất đẳng thức. Bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại số, giải phương trình,... Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi người thầy và học sinh phải biết phân dạng bài toán, nắm vững các phương pháp, xây dựng các thuật toán,... I. Giải toán cực trị đại số. A. Kiến thức cần nhớ. 1. Để tìm GTNN ( GTLN ) của biểu thức A(x) trong tập hợp D ta làm như sau: * Chứng minh A(x) ≥ m ( hoặc B(x) ≤ M ) với m ( hoặc M ) là hằng số. * Chỉ ra A(a) = m, ( Hoặc B(b) = M ) với a D ( hoặc b D ). * Kết luận GTNN của A là m ( hoặc GTLG của B là M ). 2. Khi giải một bài toán cực trị đại số cần căn cứ vào dạng của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp. Các dạng toán tìm cực trị thường gặp là: * Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. * Hàm đa thức * Hàm phân thức. * Các bài toán mà các biến có điều kiện ràng buộc. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Tìm GTNN của hàm số: . ( Bài này có nhiều cách sử dụng BĐT, tôi chỉ trình bày một cách chứng minh ). Giải: Chứng minh bài toán phụ: . Dấu " = " xảy ra . áp dụng bài toán trên ta có: . Dấu " = " xảy ra . Vậy . 2. Ví dụ 2. Tìm GTLN của hàm số: , với . Giải: Biến đổi: . áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số không âm gồm 3x và ba số 1-x, ta được: . Vậy . 3. Ví dụ 3. Cho Tìm Max của . Giải: Ta có: . . . . Vậy, Max . II. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số. A. Kiến thức cần nhớ. Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn. Các bài toán này rất độc đáo đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý. Bước đầu làm quen với phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần ghi nhớ các điều sau: 1) Để giải phương trình f(x,y,...,z) = 0, ta có thể chứng minh f(x,y,...,z) ≥ 0 hoặc f(x,y,...,z) ≤ 0 và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu đẳng thức. 2) Có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi chứng minh ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. ( ĐHNN Hà Nội - 99): Giải phương trình:. Giải: Điều kiện . Nhận xét rằng: VT = . Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 . 2. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: . Giải: Điều kiện . Nhận xét rằng: VT = . ( vì ). Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 . Vậy nghiệm của bất phương trình là . 3. Ví dụ 3. Giải hệ : Giải: Do cùng dấu, nên từ . Sử dụng bất đẳng thức cosi ta có: . và . Do đó VT(1)≤VP(1). Dấu " = " xảy ra khi x = 2, thoả mãn (2). Vậy, nghiệm của hệ là x = 2. 4. Ví dụ 4. Giải phương trình: . (1) Giải: Nhận thấy x = 2, hoặc x = 3 thoả mãn phương trình (1). . Nếu . Vậy phương