Đề tài Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong phân tích đa thức thành nhân tử

1/ ĐỀ TÀI DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ********* 2/ĐẶT VẤN ĐỀ Thực hiện đôi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay thì người thầy phải tích cực hóa các hoạt động dạy học nhằm giúp học sinh rèn luyện, phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, hứng thú tìm hiểu, phát hiện và giải quyết vấn đề theo sự hướng dẫn của thầy cô giáo. Vì vậy mỗi thầy cô giáo cần lựa chọn phương pháp dạy học ỷong từng bài cụ thể sao cho -Đạt hiệu quả cao nhất theo mục tiêu bài dạy -Tương thích với nội dung -Phát huy được hứng thú, thói quen, kinh nghiệm của học sinh -Phù hợp với năng lực, điều kiện, thế mạnh ...của giáo viên -Phù hợp với điều kiện dạy học Là một giáo viên tham gia giảng dạy lâu năm bộ môn toán lớp 8, trong nhiều năm, tôi luôn trăn trở lựa chọn phương pháp dạy học như thế nào để nâng cao chất lượng của bộ môn . Đối với phân môn Đại số lớp 8 có nhiều đơn vị kiến thức nhưng chúng không rời rạc mà là một chuổi những mối liên quan, với từng đơn vị kiến thức nó có một phương pháp dạy học riêng.Với bản thân tôi nhận thấy ngoài những kiến thức cần đạt được thì việc “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là cần thiết nó vận dụng triệt để các kiến thức : Nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức, các hằng đẳng thức; Phân tích đa thức thành nhân tử nó vận dụng tối đa vào chương phân thức, giải phương trình, bất phương trình...Vì vậy việc vận dụng một phương pháp dạy học như thế nào để học sinh thực hiện tốt phân tích đa thức thành nhân tử theo tôi là quan trọng. Qua nhiều năm giảng dạy theo bản thân tôi, để giảng dạy cho học sinh nắm vững việc “ Phân tích đa thức thành nhân tử” tôi đã triển khai dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Tôi xin được trình bày những kinh nghiệm của bản thân qua đề tài: “Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong phân tích đa thức thành nhân tử”để giúp học sinh biết được thế nào là phân tích thành nhân tử, đối với từng bài tập cụ thể ta cần vận dụng những phương pháp như thế nào, làm thế nào để nhận dạng từng dạng bài tập, cách trình bày.. tôi đã có một số yêu cầu như sau * Đối với học sinh: -Nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với với phép cộng - Nắm vững nhân tử chung - Nắm vững các hằng đẳng thức - Sử dụng tốt quy tắc dấu ngoặc, quy tắ đổi dấu, tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân * Đối với giáo viên: -Tạo tình huống gợi vấn đề - Hướng dẫn học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề - Từ giải quyết vấn đề giúp học sinh biết cách trình bày lời giải hợp lý - Chú ý không chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn làm cho học sinh phát triển khả năng tiến hành những quá trình tương tự 3/ NỘI DUNG I/ Thực trạng ban đầu: P hần lớn học sinh hứng thú với bộ môn đại số nói chung và nói riêng cho học sinh khối lớp 8 nhưng khi thực hiện bài tập thì các em thường không làm tốt và lổi thường mắc phải của các em là không nắm vững các khái niệm, quy tắc,đặt dấu phép toán một cách tùy ý,... cho nên trong thời gian học về phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cảm thấy quá khó, không phân biệt được hạng tử, nhân tử,không biết nhóm các hạng tử là làm như thế nào,dùng khái niệm nào để nhóm, như thế nào là các hạng tử có nhân tử chung, không vận dụng tốt các hằng đẳng thức ...., không tìm thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau, không có một định hướng nào về phân tích đa thức thành nhân tử -Vấn đề đặt ra cho bản thân tôi là làm sao cho học sinh hứng thú hơn trong tiết học, cụ thể trong tiết học về phân tích đa thức thành nhân tử, làm thế nào để học sinh nhận biết được vấn đề đặt ra là phân tích đa thức thành nhân tử tức là phải làm gì và làm như thế nào để đạt được yêu cầu đó, tìm được tiếng nói chung của từng loại bài tập dạng này, tìm được mối liên hệ giữa dạng này với dạng khác.. Nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, tôi xin nêu lên một số biện pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong phân tích đa thức thành nhân tử, đại số khối lớp 8 - Giới hạn của đề tài này là chỉ trình bày các bài tập không quá hai biến và là những dạng bài tập có thể phục vụ cho tất cả đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng đại trà của mỗi lớp học. II/ Biện pháp chung: D ạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà học sinh là người chủ động trong qúa trình tìm hiểu, tích cực phát hiện và giải quyết vấn đề. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề giúp cho học sinh học cách khám phá, tức là rèn luyện cho học sinh cách phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học . Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là điều khiển học sinh hòa mình vào quá trình nghiên cứu vấn đề . Quá trình này có thể chia thành các bước: Bước 1/ Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề do giáo viên là người nêu ra tình huống có vấn đề bằng đàm thoại, bằng thuyết trình,.. sau đó giúp cho học sinh độc lập suy nghĩ phát hiện và tìm phương pháp giải quyết vấn đề Bước 2/ Giải quyết vấn đề. - Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới và cái cần giải quyết, tìm ra cách giải quyết vấn đề - Trình bày một cách giải quyết vấn đề Bước 3/ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Trình bày việc phát biểu vấn đề - Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp thực tế của lời giải, kiểm tra tính hợp lí hoặc tối ưu - Tìm hiểu khả năng ứng dụng - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ phép tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề... II/ Biện pháp cụ thể: Phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 gồm các phương pháp phân tích, bản thân tôi đã vận dụng phương pháp dạy học đặt vấn đề và giải quyết vấn đề trong giới hạn của đề tài là làm cho mọi đối tượng học sinh giải được các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đơn giản theo mục tiêu của tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ III như sau: Học sinh đã học xong các hằng đẳng thức đáng nhớ và đã được sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển hoặc từ một đa thức đã cho đưa về hằng đẳng thức, rõ ràng là học sinh đã phân tích được một đa thức thành nhân tử nhưng các em vẫn chưa được biết. Nói ngắn gọn là dạy học đặt và giải quyết vấn đề trong phân tích đa thức thành nhân tử - Giáo viên đưa ra tình huống thỏa mãn: Tồn tại một vấn đề mà học sinh chưa biết câu trả lời và cũng chưa biết một thuật giải nào ,để tìm câu trả lời gv làm cho học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề đặt ra và dưói sự hướng dẫn của giáo viên học sinh phát hiện nhận dạng vấn đề nẩy sinh và phát biểu được vấn đề cần giải quyết và cùng nhau tìm giải pháp . Như vậy khi học bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” tôi đã: Vận dụng các hằng đẳng thức đã học hãy viết đa thức sau thành tích các đa thức: x2 – y2 Sau khi học sinh đã trình bày, giáo viên đặt vấn đề: Với cách làm ở trên ta đã viết một đa thức thành tích các đa thức, việc làm này có tên gọi là gì và có bao nhiêu phương pháp để làm việc đó. Vào đề bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”. Khắc sâu khái niệm Phân tích đa thức thành nhân tử. Đặt vấn đề: Có bao nhiêu phương pháp Hãy vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng viết biểu thức sau thành tích : ab +ac Từ ab + ac = a(b + c) . Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phát hiện mhân tử chung và cách làm dẫn đến tên gọi của phương pháp là đặt nhân tử chung. Vào bài mới.Đặt vấn đề: Như vậy khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung ta cần phải có các bước suy nghĩ gì? Học sinh suy nghĩ và nêu ra cách giải quyết ( xác định nhân tử chung, đặt nhân tử chung, ) Đặt vấn đề với đa thức 5x + 5y các tương tự các em hãy phân tích thành nhân tử Học sinh sẽ giải quyết được vấn đề này( cho học sinh trình bày bài giải) Ở phần áp dụng: Trong các đa thức sau đa thức nào phân tích thành nhân tử được bằng phương pháp đặt nhân tử chung, mục đích là làm cho học sinh biết nhận dạng và giải quyết . a) 3xy – 6x2y + 12xy2; b) 2x2 - 4x + y; c) 3(x – y) - 2x(x – y); d) 2xy(x-3y) + x(3y –x) Qua câu d ta đã đặt vấn đề cần giải quyết Cho học sinh trình bày bài giải ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 3xy – 6x2y + 12xy2; b) 3(x – y) - 2x(x – y); c) 2xy(x-3y) + x(3y –x) Trong câu c hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề thông qua kiến thức cũ ( quy tắc đổi dấu) Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh, đưa ra nhận xét cụ thể . Chú ý khi phân tích đa thức thành nhân tử ta luôn ưu tiên phương pháp đặt nhân tử chung trước(nếu được) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức tôi đã: Đăt vấn đề: Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 -2x + 1 Vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung ? Vì sao Vào bài mới Sau khi đặt vấn đề như vậy học sinh sẽ có hướng suy nghĩ trong bài học này ta vận dụng kiến thức nào để phân tích đa thức thành nhân tử +Hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề đã đặt ra: -Đa thức đã cho có bao nhiêu hạng tử? - Dự đoán ta có thể vận dụng hằng đẳng thức nào? Vì sao - Học sinh nêu bài giải. Trong ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 4x + 4; b) x2 – 4; c) 1 – 8x3 Hướng dẫn như trên để học sinh giải quyết được vấn đề. Giáo viên nêu câu hỏi để khắc sâu phương pháp vận dụng hằng đẳng thức thích hợp. Một đa thức có bao nhiêu hạng tử thì có thể vận dụng bình phương một tổng, hiệu, … ?1 cách giải quyết như trên Trong mục 2 áp dụng , sau khi học sinh đọc kỹ đề toán; Đvđ: 3(x-y) chia hết cho 3 Hãy ví dụ một biểu thức chia hết cho 4, Như vậy để chứng minh (2n + 5)2 – 25 (nta phải làm gì? Sau khi phân tích thành nhân tử phải có nhân tử thõa mãn đk gì? Học sinh đã có hướng giải quyết. Vận dụng hđt nào để phân tích? Vì sao Học sinh giải quyết vấn đề. Giáo viên có thể đưa thêm bài tập: -x2 -4x – 4 Trong bài phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử: Trong kiểm tra bài cũ: Phân tích da thức sau thành nhân tử: a/ x2 – 3x b/ xy – 3y Nhận xét 2 đa thức sau khi phân tích thành nhân tử chung? - Hai đa thức đều có nhân tử (x – 3) Đvđ: Phân tích đa thức x 2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử +gv hỏi: Đặt nhân tử chung?; hằng đẳng thức/? vì sao? + vào bài mới. Ví dụ : Phân tích đa thức x 2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử Giáo viên nhắc lại quy tắc dấu ngoặc Hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề: - Dựa vào kiểm tra bài cũ các em có nhận xét ta làm như thế nào để phân tích đa thức này thành nhân tử? - Học sinh giải quyết bài toán như kiểm tra bài cũ. - Giáo viên khẳng định phân tích thành nhân tử như trên gọi là nhóm các hạng tử Đặt vấn đề có cách nhóm các hạng tử nào khác không, và có phải là cách nhóm nào cũng phân tích đa thức thành nhân tử dược hay không? - Học sinh thức hiện nhóm tùy thích, có thể xảy ra các trường hợp: 1/ (x2 – 3x) + ( xy – 3y) 2/ ( x2 + xy) – ( 3x + 3y) 3/ ( x2 – 3y) – (3x –xy) Trong mỗi trường hợp cho học sinh phân tích từng nhóm Học sinh giải quyết 1/ (x2 – 3x) + ( xy – 3y)= x(x-3) + y(x – 3) 2/ ( x2 + xy) – ( 3x + 3y)= x(x + y) – 3( x+ y) 3/( x2 – 3y) – x(3 – y) Đvđ: nhận xét , trong trường hợp vào thì ta tiếp tục phân tích đa thức thành nhân tử, trường hợp nào không? Giải quyết: cho học sinh như thế nào là nhóm thích hợp , và một đa thức có thể có nhiều cách nhóm thích hợp qua quá trình thực hiện. + Cho học sinh phân tích đa thức : 3x2 – 3xy – 5x + 5y 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 + Hs nêu phương pháp giải từng câu , giáo viên bằng đàm thoại nêu vì sao? học sinh trả lời Chú ý trong câu b, đặt nhân tử chung trước. - Để cho hs nhóm tùy ý , nêu một vài cách nhóm ? - Đvđ nhóm như trong ví dụ và câu a có được ? vì sao => Giải quyết: Nhóm để xuất hiện hằng đẳng thức Trong phần áp dụng cho học sinh thực hiên, thảo luận nêu ý kiến . Hướng dẫn hs rút ra nhận xét => thứ tự thực hiện Trong bài phân tích đa thức thành nhân tử bằng phối hợp nhiều phương pháp Đặt vấn đề: Kiểm tra bài cũ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x 2 – 2xy + y2 b/ 4x – 4y Ta đã vận dụng phương pháp nào trong từng bài? Đvđ: Vậy khi phân tích một đa thức thành nhân tử ta chỉ sử dụng đúng một phương pháp hay có thể vận dụng nhiều phương pháp ( nếu được). Chẳng hạn: Phân tích đa thức x 2 – 2xy + y2 +4x – 4y thành nhân tử. - Vào bài mới - Cho học sinh nhận xét đề bài kết hợp bài củ, các em hãy đề xuất hướng giải quyết. - Cho học sinh giải quyết từng bước và chỉ cụ thể ta đã dùng phương pháp nào? - Sau khi học sinh giải quyết xong, đặt câu hỏi: Ta đã dùng những phương pháp phân tích nào trong bài toán. Giáo viên => Phối hợp Trong ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 – 2xy + y2 – 9 Cho học sinh nhận xét, chỉ ra thứ tự phương pháp sử dụng - Hs thực hiện từng bước, để cho học sinh tự đưa ra cách nhóm của mình dù thích hợp hay không. - Hướng dẫn học sinh nhận xét, nhận dạng để phân tích Tương tự cách đặt và giải quyết vấn đề như trên cho các vío dụ còn lại Trong phần củng cố cần đặt vấn đề cho đa thức dạng ax2 + bx + c 4/KẾT QUẢ THỰC HIỆN Q ua thực tiễn dạy học bản thân tôi nhận thấy việc áp dụng phương pháp “Dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề trong phân tích đa thức thành nhân tử”trong đại số lớp 8 phát huy được tính tích cực hoạt động, chủ động , phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh trong tiết học. Đối với học sinh qua phương pháp dạy học này trong phân tích đa thức thành nhân tử làm cho họ sinh tự tin ở bản thân, rèn luyện tinh thần tự lập vượt qua khó khăn tìm ra ý tưởng để giải quyết tình huống, tạo cho học sinh có thói quen trình bày lời giải một cách hợp lý... Tuy vậy không có phương pháp dạy học nào là tối ưu mà phải do người thầy giáo vận dụng , phối hợp các phương pháp một cách hợp lý thì bài giảng mới mang lại hiệu quả cao. Qua đề tài này tôi muốn được trao đổi kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp , mong đóng góp một số ý kiến của mình trong việc đáp ứng của việc đổi mới phương pháp dạy học, tuy vậy việc thiếu sót trong đề tài này là không thể tránh khỏi. Rất mong sự đóng góp xây dựng của đồng nghiệp MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử a)–3xy + xy – 5xy b)2x(y – z) + 5y(z – y) c)10x(x + y) – 5(2x + 2y)y x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) y – 12xy + 3x 15x – 30 y + 20z x(y – 2007) – 3y(2007 - y) h)x + 6xy + 9y i) a – b k)(x – 3) - (2 – 3x) l) x – 3x + 3x - 1 m)a + b + c – 3abc (a + b + c) – a – b – c (x – 15) – 16 25 – (3 – x) (7x – 4) – ( 2x + 1) 9(x + 1) – 1 9(x + 5) – (x – 7) 49(y- 4) – 9(y + 2) 8x + 27y (x + 1) + (x – 2) 1 – y + 6xy – 12xy + 8x 2004 - 16 2/ Phân tích đa thức thành nhân tử x – 3xy + x – 3y 7x – 7xy – 4x + 4y x + 6x – y + 9 x + y – z – 9t – 2xy + 6zt xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz g)x + 3x – 9x – 27 h)x + 3x – 9x – 9 x – 3x + 3x – 1 – 8y i)x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) 5x - 45x 3xy – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy p) 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) q) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 8x(x + z) – y(z + 2x) – z(2x - y) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2 x + 4y x + x + 1 3/ Phân tích đa thức thành nhân tử x + x + 1 x + x + 1 x + x + 1 x + 4 x + 5x + 3x – 9 x + 9x + 11x – 21 x – 7x + 6 x - 5x + 8x – 4 x – 3x + 2 x – 5x + 3x + 9 x + 8x + 17x + 10 x + 3x + 6x + 4 x – 2x – 4 2x – 12x + 7x – 2 x + x + 4 x + 3x + 3x + 2 x + 9x + 26x + 24