Đề tài Hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác

Chuyên đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác A/ đặt vấn đề Trong chương trình toán phổ thông lượng giác là một phần kiến thức rất quan trọng và có ứng dụng rộng rãi cho các môn học khác. Đặc biệt trong các kì thi vào ĐH - CĐ và THCN thì lượng giác là một phần không thể thiếu trong các đề thi. Chính vì vậy học tốt phần lượng giác là một nhiệm vụ rất quan trọng của học sinh THPT. Nhưng học như thế nào và trình bày bài tập như thế nào thì quả là một công việc rất phức tạp đối với các học sinh mới bước đầu đi nghiên cứu môn lượng giác. Trên cơ sở kinh nghiệm một số năm giảng dạy cho các học sinh của mình tôi mạnh dạn nêu ra một số cách học lượng giác mà theo tôi thì có thể giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong các kì thi. Trong chuyên đề này tôi có đưa ra các dạng Toán cơ bản cùng với đó là trình bày một số phương pháp giải mà tôi cho là tối ưu. Ngoài ra tôi còn đi phân tích một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải các bài Toán lượng giác và có đưa ra nhưng sáng tạo cũng như những phát hiện giúp công việc giải Toán được chính xác và nhanh gọn. B/ Nội dung Vấn đề 1: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số Để tìm TXĐ, ta dựa vào các quy tắc sau: y = xác định khi g(x) ≠ 0 y = xác định khi f(x) ≥ 0 y = xác định khi g(x) > 0 Xét tính chẵn lẻ: i) Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ: D đối xứng (nghĩa là: "x ẻ D ị - x ẻ D) thì ta xét tính chắn lẻ như sau: Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ Nếu thì hàm số y = f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ ii) Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ không đối xứng thì hàm số y = f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ. iii) Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ đối xứng và thì hàm số y = f(x) vừa chẵn, vừa lẻ. Bài 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau: a) y = b) y = c) y = tan( - 3x) d) y = tanx - 2 cotx Bài 2: Tìm TXĐ của các hàm số sau: a) y = b) y = c) y = d) y = Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) f(x) = tanx - 5sinx b) f(x) = c) f(x) = cot5x.tan4x.sinx d) f(x) = tan(4x + ) Vấn đề 2: Tìm GTLN, GTNN. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác Để tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác ta cần lưu ý một số tính chất sau: -1 ≤ sinx ≤ 1, -1 ≤ cosx ≤ 1 với "x ẻ Trong khoảng (0; ) thì sinx < tanx Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3sinx + 4cosx - 2 Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = trên đoạn Vấn đề 3: Phương trình lượng giác cơ bản Các phương trình lượng giác cơ bản: cosu = cosv Û u = v + k2p hoặc u = - v + k2p (kẻ ) sinu = sinv Û u = v + k2p hoặc u = p - v + k2p (kẻ ) tanu = tanv Û u = v + kp (v ≠ ) cotu = cotv Û u = v + kp (v ≠ ) Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin3x = - b) sin(2x - 150) = c) sin( + 100) = - d) sin4x = Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin2x = b) sin(3x + ) = sin( - x) c) cos(2x + ) + cos(x - ) = 0 d) sin( - x) = cos(2x + ) Bài 3. Giải các phương trình lựợng giác sau: a) cos(x + 3) = b) cos(3x - 450) = c) cos(3x + ) = - d) (2 + cosx)(3cos2x - 1) = 0 Bài 4. Giải các phương trình lượng giác sau: a) tan(2x + 450) = - 1 b) cot(x + ) = c) tan() = tan d) cot( + 200) = Bài 5. Giải các phương trình sau: a) tan(x - ) = tan( - x) b) cotx = cot(2x - ) c) tanx + tan3x = 0 d) tan2x.tan3x = 1 Bài 6. Giải các phương trình sau: a) b) c) tan(2x + 600).cos(x + 750) = 0 d) (cotx + 1).sin3x = 0 Bài 7. Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng bằng nhau: a) y = cos(2x - ) và y = cos( - x) b) y = sin(3x - ) và y = sin(x + ) c) y = tan(2x + ) và y = tan( - x) d) y = cot3x và y = cot(x + ) Bài 8. Giải các phương trình sau (Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích). a) sin3x - cos2x = 0 b) sin(x + ) = cos3x c) sin(3x - ) + cos(3x + ) = 0 d) cos = - cos(2x - 300) e) tanx. tan2x = - 1 f) cot2x.cot3x = 1 Bài 9. Tìm TXĐ của hàm số sau: y = Bài 10. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho: a) sin2x = - với 0 < x < p b) cos(x - 5) = với - p < x < p c) tan(2x - 150) = 1 với - 1800 < x < 900 d) cot3x = - với - < x < 0 Bài 11. Biểu diễn nghiệm của mỗi phương trình sau trên đường tròn lượng giác: a) cos2x = cosx b) sin( + x) = sin(2x - ) Bài toán mở rộng: Biện luận theo tham số nghiệm thuộc (α; β) của các phương trình lượng giác cơ bản. Phương pháp: Giả sử với phương trình: sinx = m. Ta có thể sử dụng hai cách sau: Cách 1: Bước 1: Biểu diễn (α; β) trên đường tròn lượng giác thành cung Bước 2: Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục cosin, khi đó số giao điểm của nó với cung là số nghiệm thuộc (α; β) của phương trình. Cách 2: Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = sinx, lấy trên (α; β) Bước 2: Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số giao điểm của nó với phần đồ thị hàm số y = sinx là số nghiệm thuộc (α; β) của phương trình. Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng: Phương trình cosx = m, với lưu ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục sin. Với các phương trình tanx = m và cotx = m ta chỉ có thể sử dụng cách 2. Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm thuộc của phương trình: sinx = m Vấn đề 4: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (Trong đó x là một hàm số lượng giác). Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2cos2x + 3cosx + 1 = 0 b) 3sin2x - 5sinx - 2 = 0 c) cos2x + sinx - 1 = 0 d) Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 3sin22x + 7cos2x - 3 = 0 b) 6cos2x +5sinx - 7 = 0 c) cos2x - 5sinx - 3 = 0 d) cos2x + cosx + 1 = 0 e) 6sin23x + cos12x = 14 f) 4sin4x + 12cos2x = 7. Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 3cot2(x + ) = 1 b) tan2(2x - ) = 3 c) 7tanx - 4cotx = 12 d) cot2x + ( - 1)cotx - = 0 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) cos4x - 3cos2x + 3 - 1 = 0 b) c) sin2(2x - ) + 4cos( - 2x) + 3 = 0 d) Bài 5. Giải và biện luận phương trình sau: sin2x - (m + 1)sinx + m = 0 (m là tham số) Vấn đề 5: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Dạng: a.sinx + b.cosx = c (1) (Trong đó a2 + b2 > 0) Vấn đề 6: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Các dạng phương trình khác thường gặp.