Đề tài Hệ thức lượng trong các tam giác

A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978. Giới tính: Nữ. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa. Điện thoại: 0613 951729. Chức vụ: Giáo viên. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học. Năm nhận bằng: 2000. Chuyên ngành đào tạo: Toán học. KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán. Số năm kinh nghiệm: 11 năm. B. Đề tài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, trong một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận. Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/ 1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi, rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học. Đó cũng là lý do mà tôi chọn viết chuyên đề này. Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Người viết chuyên đề Đặng Thị Hồng Vân II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ KIẾN THỨC CẦN NẮM: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH; gọi BH, CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên cạnh huyền BC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, CH = b¢, BH = c¢. Ta có các hệ thức sau: A c b c’ b’ h H C B ; b.c = a.h a ; ; ; ; ; ; HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b B A C c b a Định lý côsin: Định lý sin: (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC, gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Ta có: Công thức tính diện tích: ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ) ( với ; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ) (công thức Hê rông) B. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến AM = 2 và BN = 3. Tính các cạnh của tam giác ABC . C A B N M Giải Vì ABC vuông tại A, nên: BC = 2AM = 4 Ta có: BN2 = AB2 + AN2 9 = AB2 + 36 = 4AB2 + (1) Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2 16 = AB2 + AC2 (2) Từ (1)và (2), ta được: AB = và AC = Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và EM là đường cao của tam giác EBC. Chứng minh rằng: Giải A C B E D F M a) = = = = = (đpcm) b) = = = = (đpcm) Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a, BC = 4a, . Tính AB, CD và AC. Giải A B D C H Vẽ DH ^ BC ( H Î BC) Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên: D BCD vuông tại D, nên: = Þ DH = Þ AB = DH = Ta lại có: Þ CD = 2a Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: AC = Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: Giải A B H C K I Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI Tam giác vuông BKC có: Þ HI = BK (1) Ta lại có: (2) ( HI là đường cao của tam giác vuông AHC) Từ (1) và (2) Þ Þ Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với nhau. Chứng minh rằng: Giải A B a a C H h Do DABC ~ DA’B’C’, nên: sina = cosa = Þ Vậy: Do DABC ~ DA’B’C’, nên: sina = cosa = Þ Vậy: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc(D AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau: AD = 4, DC = 5 AD = 1, BD = Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có , đường cao AH = 6. Tính HB, AB và AC. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số . Tính độ dài các cạnh. Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng và . Tính các cạnh góc vuông và đường cao AH . Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC. Chứng minh rằng: . Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn. Gọi AA’là đường cao hạ từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.. Chứng minh: tanB. tanC = Chứng minh: HG // BC tanB.tanC = 3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và  = Tính BC theo a và . Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp ABC . CM: Giải A B C H a) = = b) Ta có: BC = 2BH = 2a Diện tích ABC là S = Mặt khác: S = p.r Do đó: r = = = = (đpcm) Bài 2: Cho góc . Từ điểm M trong góc , ta dựng MA Ox và MB Oy. Biết AB = 5. Tính OM. Giải O y x M A B 600 5 Vì MA Ox và MB Oy Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM Do đó OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM Áp dụng định lý sin cho OAB, ta có: Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: Giải A C D B Áp dụng định lý côsin cho DACD, ta có: Áp dụng định lý côsin cho DBC, ta có: = ( vì AB = DC và cosD = -cosA ) Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cho AB = c, AC = b; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và là độ dài đường phân giác trong của góc A. Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa . Chứng minh rằng: . Giải A B la C M D Ta có: Û Û Û Û (đpcm) Ta có: Û Þ = = Ta có: Û Û Û Û (đpcm) Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2. Gọi M là trung điểm của AB. Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Giải Xét tam giác ABC, ta có: = Þ CM = Mặt khác Þ = Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có: Þ Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là : ; 2x + 1; Tìm x để tồn tại tam giác như trên Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 1200. Giải Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là: Û Û x > 1 Vậy: Khi x = 1 thì tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán. Đặt a = b = c = 2x + 1 Ta có: cosA = = = Þ Â = 1200. Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh a = 9, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC tại D sao cho AD = DC, cosC = . Đặt AD = x. Tính b, c theo x. Suy ra giá trị của b và c. Giải Đường tròn tâm O nội tiếp DABC và tiếp xúc với cạnh BC tại D, nên: x = - c Þ b – c = 2x – a Þ b – c = 2x – 9 (1) Vì AD = CD, nên DADC cân tại D Mà DH là đường trung tuyến (H là trung điểm của AC) Þ DH ^ AC Tam giác CDH vuông tại H, có: cosC = Þ Þ b = (2) Thay (2) vào (1), ta được c = 9 - Áp dụng định lý‏‎ côsin cho DABC, ta có: Û Û Û Û Vậy: b = 4 và c = 7. Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện , ta luôn có : trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài đường cao hạ xuống cạnh c. Giải Diện tích của tam giác: S = Vì a + b > c, nên < (1) Mặt khác: Do đó: (2) Từ (1) và (2) suy ra : Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông trong đó S là diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và . Giải Ta có Þ p – a = p – b = p – c = Do đó: p(p – a)(p – b)(p – c) = ... = ... = . = . = = = = = S2 Vậy: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết: ; b = ; c = ; b =; c = Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 7, c = 8. Chỉ áp dụng định lý côsin một lần, chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn. Bài 3: Cho tam giác ABC . Tính độ dài AC, biết: , AB = 6, BC = 10.  = 600 , AB = 8, BC = 13. Bài 4: Cho tam giác ABC, biết  = 1200 , cạnh BC = 13 và AB + AC = 15. Tính AB và AC. Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của AB. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác OMC. Bài 6: Tính góc  của tam giác ABC, biết ba cạnh của nó thỏa: Bài 7: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, D, N. Biết AN = 2, CN = 3, . Tính các cạnh của tam giác. Bài 8: Gọi B là điểm cố định nằm trong (O,R). Hai dây AB và CD di động luôn qua P và vuông góc với nhau. CMR: AC2 + BD2 = const CMR: PA2 + PB2 +PC2 + PD2 = const Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh OI = Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , hai cạnh góc vuông là b và c. M là một điểm trên cạnh BC sao cho . CMR: Bài 10: Cho tam giác ABC có , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp ACI. Bài 11: Cho tam giác ABC có các đường cao , , . Tính diện tích tam giác ABC. Bài 12: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và trung tuyến AM = . Chứng minh rằng: Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi a là góc tạo bởi hai đường chéo AC và BD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD là S = AC.BD.sina. Nêu kết quả trong trường hợp AC và BD vuông góc nhau. Bài 14: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có: Bài 15: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của ba cạnh của tam giác ABC. Tam giác ABC là tam giác gì nếu: Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác. Chứng minh Bài 17: Cho tam giác ABC có cosA = . Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho , DA = 6, BD = . Tính chu vi tam giác ABC. Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh: Bài 19: Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC thỏa hệ thức: thì tam giác ABC là tam giác đều (trong đó là các đường cao kẻ từ A, B, C và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC). SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Bài 1: Cho tam giác ABC . CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC Giải VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC = R(sin2A + sin2B + 2sinC.cosC) = R(2sin(A +B).cos(A – B) + 2sinC.cosC) = R(2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC) = 2RsinC[cos(A – B) - cos(A + B)] = -4RsinC.sinA.sin(-B) = 4RsinC.sinA.sinB Bài 2: Cho tam giác ABC . CMR: (a - b)cot + (b - c)cot + (c - a)cot = 0 Giải Áp dụng định lý sin, ta có: (a - b)cot = 2R(sinA - sinB)cot = 4Rcos. sin. = 4Rsin. sin. = 4R.sin. = 2R(cosB – cosA) (1) CM tương tự: (b - c)cot = 2R(cosC – cosB) (2) (c - a)cot = 2R(cosA – cosC) (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra: (a - b)cot + (b - c)cot + (c - a)cot = 2R(cosB – cosA + cosC – cosB + cosA – cosC) = 0 (đpcm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ABC. CMR: Bài 2: Cho ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại . CMR: với S, S’ là diện tích ABC và A’B’C’ . Bài 3: Cho ABC, có: Tính . Chứng minh: . Bài 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: ------------------------------- LỊCH SỬ CỦA HERON ( Thế kỷ I - II sau công nguyên) Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày sinh và ngày mất. Các công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật lý học thì quá phong phú về nội dung cũng như nhiều về số lượng tới mức mà người ta thường xem ông là một tác gia bách khoa trong lĩnh vực này. Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập được huấn luyện theo kiểu Hy Lạp. Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính hữu dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự pha trộn giữa Hy Lạp và phương Đông. Ông quan tâm đến việc xây dựng một nền móng khoa học cho kỹ thuật và cho trắc địa. Các công trình của Heron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công trình Metrica) và cơ học. Các công trình về hình học nói đến các vấn đề đo lường còn các công trình về cơ học thì mô tả các thiết bị cơ học rất khéo léo (công trình Pneumatica, Dioptra và Catotrica). Công trình quan trọng nhất của Heron là "Metrica" về hình học gồm ba quyển và được tìm thấy ở Constantinple bởi R. Schone vào năm 1896. Quyển I nói về việc đo diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, các tứ giác đặc biệt khác nhau, các đa giác đều , vòng tròn và các cung tròn, ellip, diện tích các hình trụ, hình nón, hình cầu và đới cầu Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được một công thức nổi tiếng để tính diện tích một tam giác theo ba cạnh S = trong đó p = . Heron còn đưa ra cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số nguyên không chính phương. Quyển II của Metrica nói về cách tính thể tích các hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu, các đới cầu. Quyển III nói về cách chia một số diện tích và thể tích các thành phần theo các tỉ số cho trước.