Đề tài Hình thành phương pháp giải toán cho học sinh

Mở đầu Đất nước ta đang từng bước hội nhập với thế giới trên mọi lĩnh vực như kinh tế, chính trị, khoa học kĩ thuật, giáo dục để phục vụ cho công nghiệp hoá, hiện đại hoá xã hội cần một nguồn nhân lực có tri thức khoa học hiện đại, những người thợ có tay nghề vững vàng trước nhu cầu đó ngành giáo dục đã có sự chuyển mình to lớn như thay đổi chương trình, mục tiêu giáo dục và đặc biệt là sự đổi mới về phương pháp dạy học. Dạy học là dạy cách tìm ra chân lý chứ không phải là sự truyền đạt chân lý. Dạy học phải làm bùng lên ngọn lửa không phải là chất đầy vào cái thùng rỗng vì vậy, môn toán cũng như các môn học khác xuất phát từ vị trí riêng của mình, phối hợp với các hoạt động trong nhà trường có nhiệm vụ hoàn thành mục tiêu giáo dục. “Hình thành phương pháp giải toán cho học sinh” không những là mục tiêu quan trọng của môn học nó còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, qua đó hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ quý báu có ý nghĩa thiết thực trong cuộc sống. Vì thế với người thầy cùng với giải toán là hình thành phương pháp giải toán cho học sinh. Công việc vốn đã khó nay càng trở nên khó khăn hơn khi mà số giờ luyện tập đã giảm đi đáng kể. Có nhiều con đường hình thành phương pháp giải toán cho học sinh trong thực tế giảng dạy của mình, tôi nhận thấy con đường phân tích lựa chọn cách giải phù hợp cho mỗi bài toán không chỉ có tác dụng hình thành cho học sinh phương pháp giải những bài toán cùng loại mà còn hình thành phương pháp tổng quát để giải quyết những bài toán khác, những vấn đề khác của toán học. Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải kể cả cách giải hay và độc đáo, việc lựa chọn một cách giải phù hợp có tính chất quyết định trong việc hình thành phương pháp giải toán cho học sinh. Do vậy tôi viết đề tài này trên cơ sở phân tích một số ví dụ trong đại số và giải tích để trao đổi với đồng nghiệp cùng đúc rút kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu quả của các tiết luyện tập góp phần quan trọng vào việc hình thành phương pháp giải toán cho học sinh. Nội Dung: Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện: 5a + 4b + 6c = 0 chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Bài giải: (đây là cách giải đã được viết trong nhiều tài liệu) + Với a = 0 Ta có b = -c phương trình đã cho trở thành: -c ( - 1) = 0. * c = 0 phương trình có nghiệm với mọi x. * c ≠ 0 phương trình có nghiệm: x = + Với a ≠ 0: xét f(x) = ax2 + bx + c Từ giả thiết suy ra f(2) + 4f() + f(0) = 0 Û af(2) + 4af() + af(0) = 0. Đẳng thức này chứng tỏ ít nhất 1 trong 3 hạng tử: af(2); af(); af(0) là số âm. vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Từ 2 trường hợp trên suy ra điều phải chứng minh. Bình luận: Lời giải trên vừa chi tiết, rõ ràng không chỉ rèn luyện học sinh kĩ năng biến đổi mà còn rèn luyện cho học sinh khả năng diễn đạt, lập luận giải và biện luận phương trình Hạn chế của nó: chứa đựng biến đổi mẹo mực chẳng hạn như việc tách: 5a + 4b + 6c = f(2) + 4f() + f(0) , và đặc biệt là chưa hình thành được cho học sinh phương pháp giải loại toán này. Học sinh thật khó mà bắt chước cách giải bài toán đó để giải một bài toán tương tự chẳng hạn: Bài 1 *: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện: 37a + 10b + 18c = 0: chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Phân tích: Nếu a = 0 phương trình có nghiệm: x0 = .(kể cả khi nó có vô số nghiệm và có nghiệm duy nhất) .Vậy thì nếu nó là phương trình bậc hai có nghiệm thì chỉ có thể có nghiệm kép hoặc 2 nghiệm phân biệt, chúng có liên quan gì tới x0 = ? Phải chăng chúng từ: x0 = rồi rời xa về 2 phía? Vì thế ta xét: af() = a( + + c) Û af()= (4a + 6b + 9c) Û af() = (4a - .5a) . úaf()= - < 0 thật tuyệt vời! Với một suy luận lô gic như vậy ta tìm thấy số x0 = hết sức tự nhiên nó sinh ra trong hoạt động học tập của học sinh lại có lợi cho mục đích chứng minh phương trình có nghiệm vì af(x0) < 0. (Kết quả này dễ suy ra từ định lý về dấu của tam thức bậc hai.Trước đây là một định lý được trình bày trong sách giáo khoa). Bây giờ ta sẽ giải lại 2 bài toán trên theo cách đó. Bài toán 1. f(x) = ax2 + bx + c + a = 0 phương trình đã cho có nghiệm x = . + a ≠ 0: af () = - < 0 vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Từ 2 trường hợp trên ị ĐPCM. Bài 1*. f(x) = ax2 + bx + c + a = 0 Dễ thấy phương trình có nghiệm x = + a ≠ 0: Ta có: af() = a( + + c) ú af()= (25a + 45b + 81c) ú af()= (25a - 37a) = - < 0 vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Từ 2 trường hợp trên ị ĐPCM. Kết luận: Bằng cách phân tích và lựa chọn lời giải phù hợp như trên,ta đã hình thành cho học sinh một phương pháp tốt để giải 1 lớp các bài toán cùng loại không chỉ tốn ít thời gian và sức lực lại phù hợp nhận thức của số đông học sinh nhờ đó mà kích thích được tính tích cực chủ động ,sáng tạo của học sinh và cuối cùng là học sinh có được tư duy linh hoạt và 1 phương pháp giải toán. Bài toán 2 (Ví dụ 4 – sách giáo khoa trang 127 – Giải tích 12). chứng minh rằng: ≤ *Bài giải:(theo sgkgt-12 ) Trên đoạn: [ ta có: Vậy : 2( (Đpcm) Bình luận : Lời giải trên đã sử dụng tính chất 8 – sgk giải tích 12 : ‘hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] : m ≤ f(x) ≤ M với x ẻ [a ;b] thì: m(b - a) ≤ ’ Lời giải chỉ cho người học kết quả: x ẻ [] mà không cho học sinh phương pháp giải loại toán này. Chúng ta đều hiểu rằng đường đi dẫu có xa thì đi tắt cũng phải là người thuộc đường mới đi được. Học sinh sẽ không khỏi băn khoăn tại sao lại nghĩ ra cách thêm bớt như vậy ? Nếu thay bằng hàm số khác thì sao ? Hoặc dẫu có biết cách thêm bớt để đi đến kết quả : m f(x) M thì liệu kết quả cuối cùng có được như mong đợi không?.... Phân tích: Từ giả thiết f(x) liên tục trên đoạn [a;b] gợi cho ta nghĩ tới hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó vậy thì 2 số M, m chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b] đến đây thì hướng giải quyết bài toán đã trở nên rõ ràng: ta đi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: f(x) = trên đoạn [; ] rồi áp dụng tính chất đã nêu. Có nhiều cách để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 hàm số dưới đây tôi xin giới thiệu cách dùng đạo hàm. Bài giải: Xét hàm số: f(x)= trên đoạn [; ] f’(x) = > 0 vậy hàm số luôn luôn đồng biến trên đoạn [; ] và (ĐPCM) Kết luận: Từ chỗ phân tích và lựa chọn cách giải phù hợp như trên đã hình thành cho học sinh một phương pháp giải loại bài toán này một cách rõ ràng và bền vững, giúp học sinh hứng thú và tự tin hơn khi phải giải quyết những vấn đề tương tự. Ví dụ 4: Cho x > 0 và y > 0 : x3 +y3 = x – y. CMR : x2 + y2 < 1 (1) Nhận xét : Từ giả thiết ta thấy có thể tạo ra sự cân bằng về bậc cho các hạng tử trong bất đẳng thức bằng cách nhân vào vế trái với : x – y,vế phải với x3 + y3. Bài giải : Từ giả thiết => x3 + y3 > 0. (1)ú (x2 + y2)( x- y) < 1 ( x3 + y3 ). ú x3 + xy2- yx2 – y3 < x3 + y3. ú y(2y2 – xy +x2) > 0. ú y[ > 0 luôn đúng vì y > 0. Ví dụ 5 Giả giử phương trình : x3 – x2 +ax +b = 0 luôn có ba nghiệm thực phân biệt. CMR : a2 + 3b > 0.(*) Nhận xét : Bây giờ ta sẽ khai thác giả thiết của bài toán để tìm cách cân bằng các hạng tử trong bất đẳng thức . Bài giải: Gọi x,y,z là ba nghiệm thực phân biệt của phương trình,theo định lý Viet ta có: (*)ú a2 > -3b. ú (xy +yz + zx )2 > 3xyz. ú (xy + yz + zx )2 > 3xyz.1 ú (xy + yz + zx )2 > 3xyz.(x + y + z ). ú (xy – yz )2+(yz – zx)2+ (zx – xy)2 > 0 (1). Ta luôn luôn có : ú (xy – yz )2+(yz – zx)2+ (zx – xy)2 (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : Do x,y,z phân biệt nên : (x-z)(y-x)(z-y) . Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z = 0,(mô thuẫn).Suy ra không xảy ra đẳng thức ở (2) nên (1) được chứng minh. *Kết luận : Qua những ví dụ vừa nêu ta thấy : bằng cách lựa chọn cách giải phù hợp cho bài toán 3 ta không chỉ hình thành cho học sinh một phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về dạng tích,mà còn hình thành cho hoc sinh một phương pháp tổng quát hơn  "Phương pháp cân bằng bậc" có những ứng dụng to lớn trong việc giải phương trình, hệ phương trình,chứng minh bất đẳng thức,góp phần quan trọng vào việc phát triển tư duy,khả năng tự học,tự nghiên cứu cho học sinh. C. Kết luận -Phõn tớch lựa chọn cỏch giải phự hợp cho mỗi bài toỏn cú tỏc dụng to lớn trong việc “Hỡnh thành phương phỏp giải toỏn cho học sinh” . Nú phự hợp với mọi đối tượng học sinh giỳp cỏc em chiếm lĩnh phương phỏp giải toỏn từ đú cú tư duy sỏng tạo, linh hoạt khả năng tự học tự nhiờn cứu. - Trong quỏ trỡnh giảng dạy của mỡnh theo cỏch đú tụi thấy học sinh học tập chủ động và tớch cực hơn nhiều và cú được một phương phỏp giải toỏn bền vững từ đú biết vận dụng sỏng tạo, linh hoạt vào cỏc bài tập khỏc, cỏc vấn đề khỏc. Chứng kiến sự tiến bộ và tinh thần hăng say học tập của học sinh tụi rất hạnh phỳc luụn cố gắng hết mỡnh. Tuy nhiờn do kinh nghiệm và trỡnh độ cũn hạn chế đõy đú ở bài này bài kia chỗ này chỗ khỏc tụi vẫn gặp khú khăn trong việc phõn tớch lựa chọn cỏch giải phự hợpcho từng bài toỏn vỡ thế qua đề tài này tụi mong rằng cụng tỏc bồi dưỡng giỏo viờn cần được thực hiện thiết thực, hiệu quả hơn. Việc viết sỏng kiến kinh nghiệm cũng cần chỳ trọng đến phạm vi ỏp dụng, trỏnh hàn lõm để giỳp chỳng tụi cú thờm kinh nghiệm gúp phần thiết thực nhằm nõng cao chất lượng dạy và học. Tụi xin chõn thành cảm ơn Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa , sách tham khảo môn Toán. Tạp chí “Toán học và tuổi trẻ”. Phương pháp dạy học môn toán – Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ NXB GD.