Đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 10 cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

MỤC LỤC Mục Trang I. Lý do chọn đề tài 2 II. Cơ sở lí luận 2 1. Đặt vấn đề 2 2. Các biện pháp thực hiện 2 III. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài 3 1. Thuận lợi 3 2. Khó khăn 3 IV. Nội dung đề tài 3 1. Một số kiến thức liên quan 3 2. Nội dung 4 3. Bài tập rèn luyện 13 V. Kết quả 14 VI. Bài học kinh nghiệm 14 VII. Kết luận 15 VIII. Tài liệu tham khảo 15 Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thức mới đối với các em học sinh. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai lực thành phần Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bài toán tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các em yêu thích môn Hình học. Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn lúng túng khi gặp các bài về dạng này. Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quát. Do đó tôi đã trình bày đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG II. CƠ SỞ LÍ LUẬN Đặt vấn đề: Trong các đợt thi đại học, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí không thể học tiếp. Lí do vì sao? Phải chăng các em không chú ý học? Đó không phải là lý do chính, quan trọng là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là: + Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tư duy của các em. + Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập để nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng. 2. Các biện pháp thực hiện: Để giải quyết những vấn đề trên tôi đề xuất giải pháp sau: + Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề. Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy: * Có nhiều cách trình bày giải khác nhau. * Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao. * Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác. III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. 1.Thuận lợi: - Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tính chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học. - Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế. - SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ. - Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập. Khó khăn: - “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bày bài giải. - Các bài tập trong SGK còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS. IV. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Một số kiến thức liên quan: Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng: + M là trung điểm của đoạn thẳng AB +M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có: Tính chất trọng tâm của tam giác: + G là trọng tâm tam giác ABC + Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: . Điều kiện hai vectơ cùng phương: cùng phương , (R). Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng sao cho , (R). Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho . Nếu không cùng phương mà thì m = 0 và k = 0. Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước. Có hai hướng giải: + Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm. + Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n. 2. Nội dung : Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10. Đề bài: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ . * Với ý thứ nhất: phân tích vectơ theo hai vectơ . GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Nêu các hướng giải? GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ có thể phân tích thành tổng của hai vectơ không cùng phương nào? TL: . GV: Gọi một em lên bảng làm bài . Khi HS hoàn thành bài giải trên bảng, ta bắt đầu sửa lời giải: C A B M K G Bài giải: Cách 1: Theo quy tắc ba điểm ta có: , mà (vì MK là đường trung bình của tam giác ABC). Do đó: Hay . GV: Còn cách nào phân tích vectơ theo hai vectơ nữa không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào? Cách 2: Ta có: Để rèn luyện tư duy của HS, GV cho nhận xét về vị trí của điểm M và K? Từ đó suy ra cách giải 3. Cách 3: Vì M, K lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC và BC, ta có: Hay . GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào? Cách 4: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC. Theo qui tắc ba điểm, ta có: . Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ? Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: (1). Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC. Ta có: Theo qui tắc ba điểm: Do đó (1) (2) Vì không cùng phương nên từ (2) Vậy . Sau khi hướng dẫn HS các cách giải và trình bày ý thứ nhất, GV cho các em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất. * Làm tương tự với ý thứ 2 và 3: phân tích vectơ theo hai vectơ GV :Gọi HS trình bầy cách giải và ghi kết quả. * * . Để học sinh luyện khả năng khái quát. GV có thể hỏi: có một công thức nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước không? Cho HS làm bài toán sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ , . HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán Bài giải: Ta có: GV: Có nhận xét gì khi k = – 1? Nếu k = – 1 thì ta có . Đúng với tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới: Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ , . GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài toán 1; để áp dụng được công thức của bài toán 1 ta làm thế nào? Bài giải: Ta có: Nếu áp dụng theo bài toán 1 thì phải đưa về tức là k = . Khi đó . GV: Như vậy từ hai bài toán trên ta có những nhận xét gì? - Nếu thì với điểm A bất kì ta có: (*) - Nếu thì với điểm A bất kì ta có (**) GV: Gọi HS lên bảng HS làm bài tập áp dụng. Ví dụ 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho . Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ và . Bài giải: Áp dụng công thức (*), ta có: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ và . Bài giải: - Áp dụng công thức (**), ta có: Do đó: . Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian. Từ hai bài toán trên, ta có thể lật ngược vấn đề là: Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ? Để giải quyết vấn đề đó ta xét bài toán sau: Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi tồn tại các số sao cho Bài giải: M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng (điều kiện 3 điểm thẳng hàng) (đặt ) các số xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học) Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho HS làm thêm các bài tập. Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho . a) Phân tích vectơ theo hai vectơ b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích theo hai vectơ . GV: Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt. B M C D N A G Bài giải: a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có: ; ABCD là hình bình hành nên: Vậy Do đó: b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có: Vậy, * Ta có thể tổng quát, mở rộng Bài tập 1 bằng các câu hỏi sau: c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ và m, n. d) Xác định m để AI đi qua G. Với câu c) HS có thể dễ dàng tìm ra lời giải Giải c) :Theo qui tắc 3 điểm, ta có: . Từ giả thiết : . Mà Vậy GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm phân biệt thẳng hàng ? Giải d: Theo kết quả câu b, ta có: ; Theo kết quả câu c, ta có: Để AI đi qua G thì cùng phương Suy ra: Vậy với và thì AI đi qua G. Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ . Chứng minh MN đi qua trọng tâm G. GV: gọi HS vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a. Chú ý tìm cách gọn nhất. A B C M N G Bài giải: a) Ta có: . GV: Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G? TL: MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng. GV: Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì? Từ đó suy ra cách giải câu b. b) Theo kết quả câu a. ta có: Suy ra: hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G. Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt là các điểm thoả . a) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ; b) Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ; c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa . Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ . d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng. GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**) Gọi HS lên bảng trình bày bài giải. Chú ý cách giải ngắn gọn. A B C I J D E F Bài giải: a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có: -Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết suy ra Vậy theo công thức (**), ta có: . b) Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo qui tắc 3 điểm: Ta được kết quả: . GV: Với câu c) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của đề bài thì vectơ có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí nhất ? TL : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa có dạng giả thiết của bài toán 1 hoặc 2. c) Ta có: . GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ? Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì? nhận xét hệ số của trong trường hợp này bằng nhau; Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ , rồi từ đó suy ra hai hệ số của chúng bằng nhau. d) Ta có : K nằm trên IJ Ba điểm A, K, D thẳng hàng (1) Từ giả thiết D là trung điểm của BE, ta có: Từ (1) và (2) suy ra: . Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho thì ba điểm A, K, D thẳng hàng. Ngoài việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương giúp các em làm các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta còn thấy nó được ứng dung trong một số bài toán có nội dung vật lý như bài tập sau: Bài tập 4: Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân ở đỉnh C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 5N. Hỏi có những lực nào tác động vào bức tường tại hai điểm B và C? 5N C A B GV: Gọi HS nhận xét lực sinh ra bởi vật treo tại điểm A có thể phân tích thành những lực thành phần nào? Theo qui tắc nào? C A B Bài giải: Theo hình vẽ Tại điểm A có lực kéo hướng thẳng đứng xuống dưới với cường độ 5N. Ta có = + với 2 vectơ vàlần lượt nằm trên hai đường thẳng AC và AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên và . Vậy có một lực ép vuông góc với bức tường tại điểm C và một lực kéo bức tường tại điểm B theo hướng với cường độ . Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, GV mở rộng thêm: phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương không chỉ giúp các em làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng mà nó còn được áp dụng trong không gian ở lớp 11; điều đó được thể hiện qua bài tập sau: Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . a. Hãy biểu diễn vectơ theo hai vectơ ; b. Gọi P, Q, I lần lượt là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng. D C P N A B Q Ÿ I M Bài giải: a. Lấy điểm O bất kì, ta có: . Tương tự: . Suy ra: b. Làm tương tự câu a. Ta có: Vậy Suy ra 3 điểm P, Q, I thẳng hàng. Sau khi học và hoàn thành các bài tập, giáo viên cho một số bài tập để các em rèn luyện, có thể giới thiệu cho các em một số tài liệu tham khảo hoặc những bài toán hay và tổng quát để các em tham khảo và thử sức của mình. 3. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác D là điểm đối xứng của B qua G. Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ và . Bài 2: Cho hình vuông ABCD. E là trung điểm của CD. Hãy phân tích theo hai vectơ và . Bài 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: . a. Hãy tính theo hai vectơ và . b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bởi . Tìm điểm H thuộc AD sao cho ba điểm M, H, N thẳng hàng. Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. F là trung điểm cạch CD. E là điểm xác định bởi . a. Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ và . b. Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ theo hai vectơ và . c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số . Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi D và I là các điểm xác định bởi các đẳng thức vectơ: . a. Phân tích vectơ theo hai vectơ và . b. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng. c. Gọi M là trung điểm của AB. Hãy xác định điểm N trên AC sao cho ba đường thẳng AD, BC, MN đồng quy. Bài 7: Cho điểm M nằm trên đường thẳng AB, N nằm trên đường thẳng CD sao cho . Chứng minh rằng: Gợi ý: Từ biến đổi về biến đổi về Suy ra điều cần chứng minh. V. KẾT QUẢ Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh đẳng thức vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em không còn lúng túng và kết quả bài kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt. Cụ thể: Kết quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút và 15 phút của ba lớp 10 như sau: Lớp Trước khi thực hiện giải pháp Sau khi thực hiện giải pháp Bài 15 phút Bài 45 phút Bài 15 phút Bài 45 phút 10A8 75 % 68 % 85 % 82 % 10A10 70 % 63 % 83 % 87 % 10D1 63 % 53 % 78 % 80 % VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để nâng cao chất lượng môn toán nói chung và phần Hình học nói riêng, cần có sự phối hợp giữa thầy và trò. Thầy hướng dẫn, gợi ý, trò phân tích tìm hiểu, để tìm hướng đi. Sau mỗi bài học và giờ luyện tập giáo viên cho các em rút ra những vấn đề cơ bản của bài học hoặc những dạng bài đã làm, dạng tổng quát (nếu có), có thể mở rộng bài toán theo những hướng khác nhau và cho thêm bài theo từng dạng để các em hình thành kỹ năng giải của từng dạng toán. Điều quan trọng nhất vẫn là sự cố gắng học tập của các em. Không ai có thể thay thế cho các em được. Bản thân các em phải xác định đúng động cơ học tập, có ý thức tự giác, ham học hỏi, có tinh thần vượt khó, xây dựng cho mình phương pháp học tập khoa học, học kỹ lý thuyết trước khi làm bài tập. Bên cạnh đó là sự gần gũi với học sinh, để các em không ngại khi cần trao đổi những vấn đề mình chưa hiểu. Hãy cố gắng khơi dậy sự tự tin trong mỗi em học sinh, ta sẽ tạo điều kiện cho các em đạt tới nhiều đỉnh cao trong học tập. VII. KẾT LUẬN Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là dạng bài phong phú và đa dạng. Từ một bài toán đơn giản trong SGK ta đã thấy có nhiều cách trình bày lời giải, ở mỗi cách đều có thể nêu ra hướng tư duy để dẫn đến cách giải đó. Từ bài toán với các giá trị cụ thể, ta có thể rút ra bài toán tổng quát, mở rộng bằng cách sử dụng kết quả của nó để làm bài dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng. Với nội dung đề tài trên, tôi đã thực hiện trong thời gian khoảng 3 tiết đối với ba lớp 10A8, 10A10 và 10D1 vào các giờ tự chọn và bước đầu tạo được hứng thú cho học sinh. các em đã thể hiện được khả năng tư duy, phát triển khả năng sáng tạo. Tuy nhiên thời gian dành cho phần học này còn ít, các em luyện tập không được nhiều, do đó việc hướng dẫn các em cách học, phương pháp giải bài tập là rất quan trọng. Tri thức là vô hạn, trên đây chỉ là một ví dụ nhỏ về cách hướng dẫn học sinh lớp 10 phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Do thời gian làm có hạn nên tôi chưa khai thác hết được các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý chân tình của quý thầy cô và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn! VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất bản giáo dục, năm 2006. Toán nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2003. Tìm tòi các lời giải khác nhau của bài toán Hình Học 10 như thế nào? – PGS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội - 2008. Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu, Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản Đà Nẵng - 2002. Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005 Biên Hoà, ngày 25 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Thị Quyên