Đề tài Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong sách giáo khoa Hình học 11

I. Đặt vấn đề Tìm tòi và sáng tạo là những đức tính rất cần thiết của học sinh để có thể học tập tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng. Vì thế trong quá trình giảng dạy tôi luôn mong muốn bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề và tạo hứng thú học tập cho các em. Nếu có thói quen thường xuyên khai thác mỗi bài toán trong sách giáo khoa bằng việc đi tìm những lời giải khác nhau hoặc khai thác, tìm kiếm các kết luận mới từ hình vẽ của lời giải sẽ giúp ta có được nhiều kết quả thú vị. Qua đó nhằm phát hiện và bồi dưỡng năng lực toán cho học sinh. Chính ví thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: "Khai thác một hình vẽ để giải một số bài toán hình tứ diện trong SGK Hình học 11". II. Nội dung 1. Cơ sở lí luận Thông qua khai thác, tìm hiểu để rồi từ đó phát triển một bài toán sẽ giúp rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phân tích tổng hợp, trí tưởng tượng phong phú và óc sáng tạo cho học sinh. 2. Thực trạng của vấn đề. a) Thuận lợi: - Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội dung mới và phong phú hơn so với hình học phẳng. Nó rèn luyện cho học sinh trí tưởng tượng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đường từ tư duy trực quan sang tư duy trừu tượng. - Trong SGK Hình học 11 bài tập về hình tứ diện rất nhiều, tuy nhiên trong số đó có nhiều bài chỉ khác nhau về một đơn vị kiến thức nào đó. Những bài này nếu học sinh biết khai thác sẽ thấy chúng có mối liên hệ với nhau. b) Khó khăn - Môn hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, có kiến thức tốt về hình học phẳng - Trong hình học không gian có rất nhiều kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải nhớ, phải hiểu mới có thể vận dụng làm bài được. Chính điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong môn học này. 3. Biện pháp tiến hành Trong giảng dạy tôi luôn: - Tích cực làm mô hình hỗ trợ cho các bài giảng. - Tích cực ứng dụng CNTT vào các bài giảng - Lựa chọn các ví dụ minh hoạ sinh động, thực tế phục vụ cho bài giảng - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu sâu sắc mỗi bài toán, mỗi hình vẽ để có thể liên hệ tới các bài toán khác. Sau đây là một trong những hoạt động nhằm tạo hứng thú học tập, nghiên cứu của học sinh mà tôi đã làm: (ở dây là hoạt động hướng dẫn học sinh tìm hiểu một hình vẽ của lời giải một bài toán để có được các kết quả khác). Bài 1. (VD1 trang 85 SGK HH11 NC) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng: A B C D N M Hình 1 Giải * Cách giải của SGK Sử dụng quy tắc ba điểm , ta có , . Do và nên . Tương tự như trên, ta có . * Yêu cầu học sinh tìm một lời giải khác ? Gợi ý: "Từ giả thiết về hai điểm M, N và kết luận của bài toán ta nghĩ tới tính chất của đường trung bình trong tam giác và MN là đường trung bình đó." A B C D E N M Hình 2 Từ đó ta có cách giải khác như sau: Gọi E là đỉnh thứ ba của hình bình hành BCED.Khi đó N là tâm của hình bình hành BCED. Do M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BE, do đó MN là đường trung bình của tam giác ABE. Suy ra: (1) Sử dụng quy tắc 3 điểm, ta có (2) Mà BCED là hình bình hành nên (3). Từ (1), (2), (3) suy ra: Từ (1), (2), (3) suy ra: * Tiếp tục hướng dẫn học sinh khai thác các yếu tố của hình vẽ 2 Có được hình vẽ 2 rồi, không dừng lại ở đó, tìm hiểu thêm ta sẽ được nhiều kết quả khác. - Khai thác đường trung bình MN của tam giác ABE. Ta có MN song song với mp(ADE) mà mp này cũng song song với BC từ đó ta được lời giải bài toán khác sau đây: Bài 2. (Bài toán 1 trang 87 SGK HH11 NC) Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. A B C D E N M Hình 2 Giải sử dụng hình vẽ 2 Ta có BC // DE nên BC // (ADE), MN// AE nên MN // (ADE). Do đó mp(ADE) chứa đường thẳng AD và song song với các đường thẳng BC và MN. Từ đó suy ra ba đường thẳng BC, MN, AD cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ đồng phẳng. - Với việc tạo ra hình bình hành BCED, ta nhận thấy mối quan hệ giữa AC và BD, giữa AD và BC được tìm hiểu thông qua mối quan hệ giữa AC và CE, AD và DE thuận lợi hơn nhiều. Sau đây là một ví dụ. Bài 3. (VD1 trang 86 SGK HH11 CB) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: A B C D E N Hình 3 Giải. Sử dụng hình vẽ 3 Do BCED là hình bình hành nên Từ đó suy ra: (đpcm) A B C D E P N Hình 4 - Khai thác hai tam giác ACE và ADE. Hai tam giác ACE và ADE có chung cạnh AE. Gọi P là trung điểm của đoạn AE, nối C với P, nối D với P, nối P với N. Ta được hình vẽ 4. Ta nhận thấy PN//AB vậy quan hệ vuông góc giữa AB và CD đưa về quan hệ giữa PN và CD, mà PN là trung tuyến của tam giác CPD, do đó lại liên quan tới hai cạnh CP, DP là hai trung tuyến của hai tam giác ACE và ADE Khi đó ta có được lời giải các bài toán sau đây:. Bài 4. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC) Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc. (Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm) A B C D E P N Hình 4 Giải Không mất tính tổng quát giả sử tứ diện ABCD có và . Ta phải chứng minh Sử dụng hình vẽ 4 Có mà suy ra . Vậy tam giác ADE vuông tại D, mà DP là trung tuyến nên (1) Tương tự, mà suy ra . Vậy tam giác ACE vuông tại C, mà CP là trung tuyến nên (2). Từ (1), (2) suy ra do đó tam giác CPD cân tại P. Khi đó trung tuyến PN đồng thời là đường cao. Vậy (3) Trong tam giác ABE có PN là đường trung bình nên (4). Từ (3), (4) suy ra (đpcm) Bài 5. (Bài 20 trang 103 SGK HH11 NC) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các mệnh đề sau đây là tương đương. a) ABCD là tứ diện trực tâm. b) AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2. Ta sử dụng hình vẽ 4 như trên. Ta luôn có Khi đó (mà là trung tuyến của ) cân tại P (mà và lần lượt là hai đường trung tuyến của và ) (mà và ) . Tương tự như trên ta cũng có Vậy hai mệnh đề đã cho là tương đương. (đpcm) Giải - Trong hình vẽ 4 gọi M là trung điểm của AB, ta được hình vẽ 5 (dưới đây) lại khai thác đường trung bình MN của tam giác ABE ta thấy MN//AE vì thế mối quan hệ giữa MN với AB và CD đưa về mối quan hệ giữa AE với AB và CD, được thể hiện qua bài toán sau đây: Bài 6. (Bài 35 trang 118 SGK HH11 NC) Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không? A B C D E P N M Hình 5 Giải Ta sử dụng hình vẽ 5 ở bên. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có AC = BD, AD = BC nên AC = CE, AD = DE do đó tam giác ACE cân tại C và tam giác ADE cân tại D. Suy ra các trung tuyến CP và DP cùng vuông góc với AE. Suy ra Mà . Điều ngược lại cũng đúng, tức là nếu MN là đường vuông góc chung của AB và CD với M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD và AD = BC. Thật vậy, có các lập luận ở phần trên theo chiều ngược lại vẫn đúng, suy ra đpcm. Bài 7. (Bài 9 trang 96 SGK HH11 NC) Cho hình chóp tam giác S.ABC có và . Chứng minh rằng , , S A B C E P N M Hình 5' Ta sử dụng hình vẽ 5 '(ở bên). Chứng minh . Từ giả thiết suy ra ΔSAB = ΔSAC (c-g-c) => AB = AC mà ABEC là hình bình hành nên suy ra BE = CE từ đó suy ra ΔSBE = ΔSCE (c-c-c) => BP = CP (hai trung tuyến tương ứng) => ΔCPB cân tại P => trung tuyến PN đồng thời là đường cao => mà SA // PN => . Vẽ hình tương tự và chứng minh tương tự ta cũng được , (đpcm) Giải Bài 8. (Bài 8 trang 98 SGK HH11 CB) Cho tứ diện , có và . Chứng minh rằng a) ; b) Nếu gọi , lần lượt là trung điểm của và thì . và . A B C D E P N M Hình 5 Giải Sử dụng hình vẽ 5. a) Chứng minh tương tự như bài 7. b) Từ giả thiết ta có và là hai tam giác đều bằng nhau nên cân tại C, cân tại D mà * Sau đây là một số bài toán khác có thể giải được nhờ khai thác hình vẽ như đã nói ở trên: Bài 9. (Bài 8 trang 120 SGK HH11CB) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó. Bài 10. (VD3 trang 123 SBT HH11 CB) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. a) Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 11. (Bài 3.23 trang 139 SBT HH11CB) Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB=CD, AC=BD và AD=BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng và Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao? * Với việc tìm hiểu sâu sắc hình vẽ đã nêu ở trên tôi còn thấy khi làm một số bài tập về hình chóp có đáy là hình bình hành các em đã tìm ra nhiều lời giải hay. III. Kết luận Quá trình khai thác có thể chỉ là quá trình mò mẫm và dự đoán để rồi từ đó "điều chỉnh" thích hợp tìm ra lời giải của bài toán khác. Liên tục làm như vậy với các em học sinh lớp 11 tôi dạy trong những năm qua tôi nhận thấy: những học sinh từ trung bình khá trở lên, ngày càng say sưa học môn toán, tự mình tìm tòi được nhiều cách giải và bước đầu tự mình khai thác, phát triển bài toán, thấy được mối quan hệ kiến thức giữa các bài, các phần với nhau. Các em nắm kiến thức một cách chắc chắn hơn và có hệ thống, hạn chế tình trạng quên kiến thức. Do thời gian không nhiều và đây cũng chỉ là ý kiến của bản thân nên nội dung của đề tài này chắc chắn còn nhiều điều thiếu sót, rất mong được sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy cô giáo để giúp tôi có bài viết hoàn chỉnh hơn. Tác giả Lương Cao Vinh Tài Liệu tham khảo 1. SGK, SGV Hình học 11 2. SGK, SGV Hình học 11 Nâng cao 3. SBT Hình học 11 4. SBT Hình học 11 Nâng cao 5. Toán nâng cao Hình học 11, Tác giả Phan Huy Khải , NXB ĐHQG Hà Nội. Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Bản cam kết Kính gửi: Ban giám khảo chấm SKKN. Tôi là: Lương Cao Vinh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Tổ toán - Trường THPT Cộng Hiền. Tôi xin cam đoan rằng SKKN này là của cá nhân tôi. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Lương Cao Vinh Mục lục Trang I. Đặt vấn đề 1 II. Nội dung 1 1. Cơ sở lí luận 1 2. Thực trạng của vấn đề 1 3. Biện pháp 1 III. Kết luận 7 Tài liệu tham khảo 7 Bản cam kết 8