Đề tài Khảo sát tính đơn điệu của hàm số dựa trên tính chất của đồ thị hàm số bậc hai

Đề tài: KHẢO SÁT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA TRÊN TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI. I - Mục tiêu của phương pháp: Để khảo sát tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc tham số trong chương trình lớp 12 chúng ta thường dẫn đến bài toán so sánh một hay hai số với nghiệm của tam thức bậc hai,đây chính là trở ngại lớn đối với học sinh .Tuy nhiên chúng ta có thể dùng tính chất của đồ thị hàm số bậc hai để giải quyết.Điều này có ý nghĩa hơn khi chương trình phân ban bỏ hẳn định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai,và so sánh một số với nghiệm của tam thức bậc hai. Phương pháp này dễ hiểu vì các mệnh đề được suy ra từ tính chất của đồ thị hàm số bậc hai nên rất trực quan. Tuy nhiên điểm hạn chế của phương pháp này ở chỗ : Dấu đạo hàm của hàm số phụ thuộc dấu tam thức bậc hai.Vậy thì chỉ có hai loại hàm số (hạn chế trong chương trình hiện hành):Hàm số bậc ba,và hàm số hữu tỷ dạng bậc hai trên bậc nhất II - Nội dung của phương pháp : Cho hàm số y = g(x) = . Có đạo hàm: y' = f(x) = Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của tam thức bậc hai f(x). Tương tự hàm số y = g(x) tử và mẫu không có nghiệm chung).Ta cũng có dấu đạo hàm phụ thuộc dấu của tam thức bậc hai. Yêu cầu đặt ra là :xét tính đơn điệu của hàm số nói trên (phụ thuộc tham số) trên tập D. Dựa vào điều kiện đủ của tính đơn điệu của hàm số ,quy về giải bất phương trình bậc hai đúng với mọi x thuộc D. III - Phương pháp giải quyết vấn đề: Để xét tính đơn điệu của hàm số trên tập D.Ta thực hiện các bước sau: Bước 1:Viết điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên D; Bước 2: Giải bất phương trình bậc hai đúng với mọi x thuộc D; Để giải bất phương trình bậc hai này đúng với mọi x thuộc D,ta thực hiện lược đồ sau: Xét hệ số a của bất phương trình bậc hai dương hay âm. Đồ thị dạng tổng quát của hàm số bậc hai tương ứng (xem ở nhóm các đồ thị suy ra các mệnh đề). Nhận xét: f(x) là phần của đồ thị nằm trên trục hoành,kể cả giao điểm của đồ thị với trục hoành. f(x) là phần của đồ thị nằm dưới trục hoành,kể cả giao điểm của đồ thị với trục hoành Xác định "vị trí"của tập D trên trục hoành cho mọi trường hợp ở phần b) sao cho bất phương trình bậc hai đúng với mọi x thuộc D.(Phần này có ghi trong các mệnh đề được suy ra từ đồ thị có hình nào trong nhóm các đồ thị đưa ra).Sau đó gạch bỏ phần không thích hợp. Cần làm nổi bật :So sánh các điểm mút của của khoảng, nữa khoảng (là tậpD) với 1 số nằm giữa hai nghiệm-nên chọn -b/2a. Bước 3:Viết hệ bất phương trình được suy ra trong các ý ở bước 2. Bước 4: Kết luận lời giải,nhận xét ... Trong bài này tôi chỉ đưa ra trường hợp nhóm các đồ thị hàm số bậc hai có hệ số a>0. Từ đồ thị hàm số suy ra các mệnh đề (phương pháp đọc đồ thị), sau đó tôi đưa ra một ví dụ minh hoạ. Như vậy khi khảo sát tính đơn điệu của từng bài toán cụ thể, ta chỉ cần phác hoạ đồ thị.từ đó suy ra các mệnh đề tương ứng mà không cần phải học thuộc lòng. Các trường hợp còn lại tương tự. I_NHÓM CÁC ĐỒ THỊ SUY RA CÁC MỆNH ĐỀ H1 H2 H5 H3 H4 H6 H7 II_NHÓM CÁC MÊNH ĐỀ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MỆNH ĐỀ 1: Hàm số đồng biến trong g'(x)= f(x) ( Suy ra Từ H1&H2) Hoặc ( Suy ra Từ H3) Hoặc ( Suy ra Từ H4) MỆNH ĐỀ 2: Hàm số đồng biến trong ( Suy ra Từ H1&H2) Hoặc ( Suy ra Từ H5) MỆNH ĐỀ 3: Hàm số đồng biến trong g '(x)= f(x) ( Suy ra Từ H1&H2) Hoặc ( Suy ra Từ H6) MỆNH ĐỀ 4: Hàm số nghịch biến trong g'(x)= f(x) ( Suy ra Từ H7) Ví dụ minh hoạ: Cho hàm số y , tham số m. Định m để hàm số : a)Đồng biến trong (1 ; 3); b)Đồng biến trong ; b)Đồng biến trong ; d)Nghịch biến trong . Lời giải Ta có ; ; Hàm số đồng biến trong (1 ; 3) g'(x)= f(x)(Theo mệnh đề 1) Hoặc Vậy . Đáp số: Hàm số đồng biến trong (1 ; ) g '(x)= f(x) (Theo mệnh đề 2) Đáp số: Hàm số đồng biến trong (Theo mệnh đề 3) Đáp số: d ) Hàm số nghịch biến trongg '(x)= f(x)(Theo mệnh đề 4) . Đáp số: Sơn Bình, ngày 29 tháng 4 năm 2008 Xác nhận của hiệu trưởng Người viết Thái Văn Dương