Đề tài Minh bất đẳng thức phương pháp chứng

Phòng giáo dục và đào tạo huyện đông sơn Trường THCS Đông Hoà ----™&˜---- Đề tài : minh bất đẳng thức Phương pháp chứng Người thực hiện : Nguyễn Trung Thanh Tổ : KHTN Năm Học : 2008 - 2009 Phòng giáo dục và đào tạo huyện đông sơn Trường THCS Đông Hoà ----™&˜---- Đề tài : minh bất đẳng thức Phương pháp chứng Người thực hiện : Nguyễn Trung Thanh Tổ : KHTN Mở đầu Lí do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Phạm vi đề tài Dự kiến kết quả của đề tài Nội dung I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức II. Một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dựa vào định nghĩa Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp dùng phương pháp phản chứng Phương pháp dùng quy nạp toán học Phương pháp đổi biến Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết Phương pháp tam thức bậc hai Thực nghiệm sư phạm Kết luận Tài liệu tham khảo a. Mở Đầu 1.Lí do chọn đề tài Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng và tất cả các nghành công nghiệp then chốt như dầu khí,viễn thông,hàng không.......đều không thể thiếu toán học và ngày càng gắn bó với toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng của toán học để lại hiệu quả to lớn cho đồi sống xã hội Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học . Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và dạy giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc,hệ thống bài tập, sử dụng phương pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển tư duy cho học sinh. Đồng thời qua việc học toán , học sinh cần được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức các thao tác tư duy để giải các bài toán đặc biệt giải toán “ Bất dẳng thức “ . Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trường THCS là: Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác phân tích đè tài,mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được Học sinh thừơng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít không liền mạch phương pháp giải hạn chế, vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toán khó như cực trị,giải phương trình rất hạn chế. Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy ở trường THCS tối đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ. 2. Mục đích nghiên cứu 2.1- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán iúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đén bất dẳng thức : 2.2 - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo,giúp học sinh tự giải được một số bài tập 2.3 - Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học . 2.4 - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập . 2 .5 - Thông qua việc giải các bài tập về bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. 3 . Nhiệm vụ của đề tài 3.1 - Trong đề tài này để đưa ra một số kiến trhức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS 3. 2 – Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để làm bài tập 3.3 - Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp 3.4 - Chọn lọc hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho từng phương pháp giải, cách biến đổi. 3.5 - Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải cực trị, một số phương trình dạng đặc biệt . 4 . Phạm vi đề tải Phát triển năng lực phải tư duy cho học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9 5 . Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối học kì, cuối năm, kì thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3. Phương pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản đưa ra các phương pháp giải bài tập ứng dụng , sai lầm hay gặp bài tập tự giải, 6 . Dự kiến kết quả của đề tài Khi chưa thực hiện đề tài này, học sinh chỉ giả được một số bài tập về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về BĐT . nếu thực hiện đề tài này thì học sinh có hướng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn , tự giải quyết được các bài tập BĐTcó dạng tương tự , hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán về BĐT B . nội dung I. Một số kiến thức cơ bản về BĐ T 1) Định nghĩa : Cho 2 số a và b ta nói : a lớn hơn b , kí hiệu a > b a – b > 0 a nhỏ hơn b , kí hiệu a a – b < 0 2 ) Các tính chất của bất đẳng thức - a > b b < a - Tính chất bắc cầu : a > b , b > c => a > c - Tính chất đơn điệu của phép cộng : a > b => a + c > b + c - Cộng từng vế hai bất dẳng thức cùng chiều được BĐT mới cùng chiều với hai BĐT đă cho : a > b , c > d => a +c > b + d Chú ý : Không được trừ từng vế hai BĐT cùng chiều 2.5 - Trừ từng vế hai bát đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ => a – c > b - d 2.6 - Tính chất đơn điệu của phép nhân a , Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương a > b , c > 0 = > ac > bc b , Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều bất đẳng thức: a > b , c ac < bc 2.7 – Nhân từng vế hai bất đẳng thucs cùng chiều mà hai vế không âm 2.8 - Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 => an > b n a > b an > b n với n lẻ | a | > | b | an > b n với n chẳn 2.9 – So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Với m > n > 0 thì a > 1 => am > a n a = 1 => am = a n 0 am < a n 2.10 - Lấy nghịch đảo và đổi chiều bất đẳng thức có hai vế cùng dấu a > b , a.b > 0 => Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt ( a > b ) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt ( a ≥ b ) . Trong các tinh chất nêu trên nhiều tinh chất dấu ( > ) hoặc ( <) có thể thay bởi dấu ( ≥ ) hoặc ( ≤ ) 3) Các hằng bất đẳng thức cần nhớ 3.1, a2 ≥ 0 , - a2 ≤ 0 xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 3.2, | a | ≥ 0 dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 3.3, - | a | ≤ a ≤ | a | dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 3.4, | a + b | ≤ | a + b | dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 3.6, | a + b | ≥ | a + b | dấu “ = ” xảy ra khi ab > 0 hoặc |a| ≥ | b | Chú ý : Một số bất đẳng thức quan trọng ( ví như bộ đề ) a2 + b2 ≥ 2ab 2. hay ( a + b )2 ≥ 4ab ( BĐT côsi) 3. với a,b > 0 4. với ab > 0 5. ( ax + by )2 ≤ ( a2 + b2) (x2 + y2) . Bất đẳng thức Bunhiacôpki II.một số phương pháp chứng minh bất đẳng thứ trong đại số Phương pháp dùng định nghĩa Cơ sơ toán học Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A – B và chứng tỏ A – B > 0 ( A < B ) ta xét hiệu A – B và chứng tỏ A – B < 0 ) 1.2 Ví dụ minh hoạ VD1 ) Chứng minh rằng ( x -1) (x – 2)(x – 3)(x – 4) -1 với Giải : xét hiệu ( x -1)(x -2 )(x -3 )(x-4) +1 = ( x2 – 5x + 4) ( x2 – 5x + 6) +1 Đặt x2 – 5x + 5 = y biểu thức trên bằng ( y - 1)( y + 1) + 1 = y2 0 với ( x -1)(x -2 )(x -3 )(x-4) +1 0 với ( x -1) (x – 2)(x – 3)(x – 4) -1 với VD2 : Chứng minh 2 với ,y Giải: Xét hiệu 2 với "x,y. Vậy 2 với ,y VD3:Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực không âm thì dấu “=” xẩy ra a = b Giải: Xét hiệu với => dấu “ =” xẩy ra a = b 1.3 Bài tập tự giải Chứng minh các BĐT sau 1. với 2. với 3. với 4. Cho a + b = c + d chứng minh rằng c2+ d2 + cd 5 . (a,b,c ) 6. Với ab thì Phương pháp dùng các tinh chất của BĐT 2.1 Cơ sở toán học: xuất phát từ một BĐT đã biết rồi dùng các tinh chất đã biết của BĐT để suy ra BĐT phải chứng minh. 2.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a+ b > 1 chứng minh rằng a4 + b4 > Giải : Ta có a + b > 1 => a2 + 2ab + b2 > 1 Mặt khác (a – b)2 = a2 - 2ab - b2 ³ 0 =>2(a2 + b2)>1 =>a lại có (a2 - b2)2 = a4 - 2a2b2 + b4 ³0 suy ra 2 a4 + b4 > VD2 : cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng Giải: Xét với a+b-c>0 , b+c-a>0 áp dụng BĐT : với x, y > 0 . Ta có Tương tự ta có Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên rồi chia cả vế cho 2ta được Dấu “ =” xảy ra a = b = c VD3:   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì Giải: Phân tích hướng dẫn : Gọi A là vế trái của BĐT ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới rạng phương pháp làm trội Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C ( A < C ) rồi chứng minh rằng C < B ( C đóng vai trò trung gian) Ta có với Do đó A < Đặt C = Ta lại thấy Nên C = C = Vậy A < ( đpcm). VD4 : Cho x,y,z . chứng minh ( x + y)(y + z)(z + x) Giải: Ta có Suy ra ( x + y)(y + z)(z + x) dấu “ = ” xảy ra khi x = y =z 2.3. Chú ý : khi sử dụng tính chất của BĐT ta cần tránh các sai lầm sau 1. 2. 5. ( nhân từng vế 2 BĐT mà chưa biết hai vế có không âm hay không ) Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chua biết hai vế không âm a > b => a2 > b2 4. Khử mẫu mà chua biết dấu của chúng 5. Lấy nghịch đẩo hai vế và đổi chiều BĐT mà chua biết hai vế cùng dấu: a > b => 6. Khi làm trội mội biểu thức đôi khi phai chi biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội trong từng nhóm.tTa xét ví dụ sau chứng minh rằng với thì :1+ Giải: Gọi vế trái cả bất đẳng thức trên là A ta có A= ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng phân số lớn hơn trong nhóm ta được 2.4 - Bài tập tự giải Chứng minh các BĐT sau: 1 - 2. a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 3. Cho a + b = 1. Chứng minh a4 + b4 ≥ 4. 3- Phương pháp biến đổi tương đương 3.1 - Cơ sở toán học: Để chứng minh BĐT: A ≥ B ta biến đổi tương đương (dựa vào tính chất của bất đẳng thức). A ≥ B Û ....... Û C ≥ D Và cuối cùng đạt được BĐT đúng hoặc hiển nhiên là C ≥ D vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A ≥ B 3.2 - Ví dụ minh họa: VD1: Chứng minh x2 - x + 1 > 0 "x Giải: Ta có x2 - x + 1 > 0 (1) Û x2 - x + (2)"x BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng VD2: Chứng minh rằng "a, b, c, d, e ẻR thì a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e) (1) Giải: Ta có BĐT (2) Û 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 ≥ 4ab + 4ac + 4ad + 4ae Û (a2 - 4ab + 4b2) + (a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + e2) Û (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 ≥ 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng VD3: Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y Ta có (a2 + b2) (x2 + y2) ≥ (ax + by)2 (1) Dấu "=" xảy ra Û Giải: Ta có (1) Û a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2 Û a2x2 - 2axby + b2x2 ≥ 0 Û (ay - bx)2 ≥ 0 (2) BĐT (2) đúng "a, b, x, y nên BĐT (1) đúng "a, b, x, y và dấu "=" xảy ra ay = bx Û VD4: Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh rằng: (1) Giải: Ta có (1) Û Û Û Û Û 2 ≥ 8 ab (vì ab > 0) Û 1 ≥ 4ab Û (a + b)2 ≥ 4ab ( vì a + b = 1) Û (a - b)2 ≥ 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu "=" xảy ra Û a = b = VD5: Chứng minh: với a, b > 0 Giải: (1) Û 4 (a3 + b3) ≥ (a + b)3 Û 4 (a +b) (a2 - ab + b2) ≥ (a + b) (a +b)2 Û 4 (a2 - ab + b2) ≥ (a2 + b2 + 2ab) (vì a + b > 0) Û 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0 Û3 (a - b)2 ≥ 0 (2) BĐT (2) đúng nên BĐT (1) được chứung minh 3.3 - Chú ý: - Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên các dấu tương đương ( Û) thay bằng các dấu kéo theo (ị). Thật vậy nếu (1) ị (2) mà BĐT (2) đúng thì chưa thể kết luận được BĐT (2) đúng hay không. - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện. Chẳng hạn a2> b2 Û a > b với a, b > 0; m > n Û am>an với m, n ẻZ, a > 1 Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương 3.4 - Bài tập tự giải: 1. So sánh 2 số A = và B = (Không dùng máy tính) 2. Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thỏa mãn xy Ê 1 thì 3. Chứng minh rằng: 4.Chứng minh rằng với x > 1 ta có: 5. Cho a > 0, b > 0, chứng minh rằng: 6. Chứng minh rằng: "a, b, c, ẻ R a, a4 + b4 ≥ a3b + ab3 b, a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc + ca 4- Phương pháp phản chứng 4.1- Cơ sở toán học Gọi mệnh đề cần phải chứng minh là luận đề "A ị B". Phép toán mệnh đề cho ta Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận cảu nó. Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau: 1- Dùng mệnh đề phản đảo: 2. Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết 3- Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau 4- Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với 1 điều đúng 5- Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của 4.2 - Ví dụ minh họa VD1: Cho a2 + b2 Ê 2. Chứng minh rằng: a + b Ê 2 Giải: Giả sử a + b > 2 Û a2 + b2 + 2ab > 4 Mặt khác a2 + b2 - 2ab ≥0 ị 2 (a2 + b2) > 4 ị a2 + b2 > 2 (trái với giả thiết) Vậy a + b Ê 2 VD2: Cho a, b, x, y liên hệ bởi a + b = 2 xy Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 BĐT sau là đúng x2 ≥ a; y2 ≥ b Giải: Giả sử ị x2 + y2 - 2xy < 0 ị (x - y)2 < 0. Vô lý Vậy có ít nhất 1 trong 2 BĐT đã cho là đúng. VD3: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng cả 3 số a, b, c đều dương Giải: Vì abc > 0 nêu trong 3 số a, b, c, có ít nhất một số dương (giả sử ngược lại cả 3 số đều âm ị abc < 0 vô lí) Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0 mà abc > 0 ị bc > 0 ị b, c cùng dấu Nếu b 0 ị b + c < - a ị (b + c)2 < - a(b + c) ị b2 + c2 + 2bc < - ab - ac Û ab + ac < - b2 - c2 - 2bc Û ab + ac + bc < - b2 - c2 - bc <0 ị ab + ac + bc 0) Vậy b > 0, c > 0 ị Cả 3 số a, b, c > 0 4.3 - Chú ý: Với những bài toán chứng minh BĐT có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của BĐT để biến đổi lập luận. 4.4 - Bài tập tự giải: 1. Cho a > b > 0 và Chứnh minh rằng không thể có a < 1, b <1 2. Cho a, b, c thỏa mãn: 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng: Có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là sai a(1- b) > b(1 - c) > c (1-a) > 5- Phương pháp quy nạp toán học 5.1 - Cơ sở toán học Nội dung của phương pháp này là tiền đề quy nạp toán học Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n - Nếu mệnh đề đúng với n= 1 - Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k ẻ N) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 Thế thì mệnh đề đúng với một số nguyên dương. Như vậy để chứng minh 1 mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành 3 bước. Bước 1: Chứng minh T(1) đúng (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1) Bước 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng. Ta chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng Bước 3: Kết luận mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương n 5.2 - Một số ví dụ minh họa VD1: Chứng minh rằng với x > - 1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx Trong đó n là số nguyên dương bất kỳ Giải: Với n = 1 ta có bất đẳng thức đúng 1 + x > 1+ x Giả sử BĐT đúng với n = k tức là (1+ x)k ≥ 1 + kx Ta phải chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh (1+x)k+1 ≥ 1 + (k+1)x. Thật vậy theo giả thiết 1 +x >0 ta có (1+x)k(1+x) ≥(1+kx)(1+x) Û (1 + x)k +1 ≥ 1 + (k+1)x + kx2 Mà kx2 ≥ 0 nên 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1+ (k + 1)x ị (1 + x)k + 1 ≥ 1+ (k+1)x Vậy (1 + x)n ≥ 1 + nx Dấu "=" xảy ra Û x = 0 VD2: Chứng minh rằng với "a ta điều có Trong đó vế trái có n dấu căn Giải: Kí hiệu Pn = ( n dấu căn) Với n = 1 ta có P1 = = ờaờ Ê ờaờ + 1. BĐT đúng Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Pk Ê ờaờ + 1 Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Thật vậy theo giả thiết quy nạp rồi làm trội ta có: Pk + 1 = Ê Vậy bất đẳng thức được chứng minh VD3: Cho a, b >0. Chứng minh rằng: "n ≥2 Giải: - Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh được - Giả sử bài toán đúng với n = k ta có (1) Ta phải chứng minh (2). Thật vậy: Nhân 2 vế của (1) với ta được Để có (2) ta phải chứng minh (3) (3) Û ak+1 + bk+1 ³ abk + akb Ta có: ak+1 + bk+1 - abk + akb = a (ak - bk) - b(ak - bk) = (ak - bk)(a - b) = (a - b)2(ak-1+ ak-1b + .... + bk-1) ³0 ị (3) đúng Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh 5.3 - Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức theo phương pháp này thì phải hiểu kỹ các bước chứng minh, các phép biến đổi tương đương, tính chất của BĐT 5.4 - Bài tập tự giải: 1. CMR: "n ³ 3 ta có: 2n > 2n + 1 2. CMR: 2n > 3n "n ³10 6. Phương pháp đổi biến 6.1- Cơ sở toán học Bước 1: Đặt biến mới dựa vào biến cũ Bước 2: Biến đổi BĐT theo biến mới, chứng minh BĐT với biến mới Bước 3: Kết luận và trả về biến cũ 6.2 - Ví dụ minh họa VD1: CMR: abc ³ (b + c - a)(a + c - b)(a + b- c) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Giải: Đặt b + c - a = x, a + c - b = y, a + b - c = z Thì x, y, z > 0 và a = ; b= ; c = Ta phải chứng minh: .. ³ xyz Û (y + z)(x +z)(x + y) ³ 8 xyz Û (x + y)2(x + z)2(y + z)2 ³ 64x2y2z2 Vì ị (x + y)2(x + z)2(y + z)2 ³ 64x2y2z2 Vậy BĐT đã cho được chứng minh, dấu "=" xảy ra Û x = y = z Û a=b=c VD2: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ³ Giải: a = x +; b = y + ; c = z + Vì a + b + c nên x + y + z = 0 Ta có a2 + b2 + c2 = + + = (x2 + y2 + z2) + (x + y + z) + = x2 + y2 +z2 + ³ Dấu đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 0 Û a = b = c= 6.3- Chú ý: Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh BĐT cần chú ý - Đặt biến mới theo điều kiện của biến cũ kèm theo điều kiện của biến mới - Nắm kỹ được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc để áp dụng. - Đổi về biến cũ 6.4- Bài tập tự giải: 1- Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng: 2- Cho x, y ³ 0 thỏa mãn x2 + y2 = x+y Chứng minh rằng: x + y Ê 1+ 7- Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết: 7.1 - Cơ sở toán học: Trong nhiều bài toán để việc chứng minh một bất đẳng thức được gọn ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh nhất là những BĐT "kinh điển" như BĐT Cosi, Bunhiacôpski ... 7.2- Ví dụ minh họa: VD1: Chứng minh rằng: với ab > 0 Giải: Vì đều dương nên áp dụng BĐT cosi ta được ³ = 1 ị ³ 2 Dấu "=" xảy ra Û Û a = b VD2: Chứng minh BĐT Becmuli đối với a ẻR+ 1 1 + qa Giải: Do q ẻ Q và q > 1 nên q = trong đó m > n; m, n ẻ N* áp dụng BĐT cosi cho m số Û n(1+qa) + (m - n).1 ³ Û nqa + m ³ Û qa + 1 ³ Vì = nên .qa + 1 ³ Û a + 1 ³ Û (a +1)q ³ 1 +qa Không xảy ra dấu "=" vì 1+ qa > 1 7.3 - Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý: sử dụng các BĐT đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được BĐT cần áp dụng. Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót. VD: Cho a, b ạ 0. Chứng minh rằng: Có một học sinh đã giải như sau: BĐT đã cho Û Û Û Vì nên BĐT trên đúng "a, b ạ 0 Vậy BĐT đã cho đúng "a, b ạ 0 Lời giải đã sai ở chỗ áp dụng BĐT với điều kiện a, b không đúng Lời giải đúng: Đặt x = ị ờxờ = ờờ = ờxờ = ờờ + ờờ ³ 2 Vì ờờ và ờờ cùng dấu ị x ³ 2 hoặc x Ê - 2 Khi đó = x2 - 2 BĐT đã cho Û x2 - 3x + 2 ³ 0 Xét BPT t2 - 3t + 2 ³ 0 Û (t - 1)(t - 2) ³ 0 Û t ³2 hoặc t Ê 1 Từ ị x nằm trong miền nghi của BPT đang xét Vậy x thỏa mãn t2 - 3t + 2 ³ 0 tức là x2 - 3x + 2 ³ 0 đúng. Vậy BĐT đã cho được chứng minh. 7.4 - Bài tập tự giải: 1. CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 2. Cho ờxờ < 1; ờyờ < 1. CMR 3. Cho x, y ẻ R; x, y ³ 0 và x2 + y2 = 1 CMR: 4. CMR: với a, b, c > 0 và a + b + c = 1 5. Cho a ³ 1; b ³ 1. CMR: 8. Phương pháp dùng tam thức bậc hai: 8.1 - Cơ sở toán học: Ta có thể định lí về dấu của tam thực bậc hai dấu của nghiệm, của tam thức bậc hai, ... để chứng minh bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ạ0) D = b2 - 4ac - Nếu D 0 "x ẻR - Nếu D = 0 thì af(x) > 0 "x ạ - Nếu D > 0 ị f(x) có 1 nghiệm x1 < x2 x1 < x < x2 Û af(x) < 0 x x2 Û af(x) > 0 8.2 - Ví dụ minh họa: VD1: Cho -1 Ê a Ê 2; - 1 Ê b Ê 2; - 1 Ê c Ê 2 và a + b +c = 0. CMR: a2 +b2 +c2 Ê 6 Giải: Theo tính chất về dấu của tâm thức bậc hai -1 Ê a Ê 2 ị (a - 2)(a+1) Ê 0 (1) Tương tự ta có: (b - 2)(b + 1) Ê 0 (2) (c - 2) (c + 1) Ê 0 (3) Cộng từng vế của (1), (2), và (3) ta được: a2 - a - 2 + b2 - b- 2 + c2 - c - 2 Ê 0 Û (a2 + b2 + c2) - (a + b + c) Ê 6 Vì a + b + c = 0 Û a2 + b2 + c2 Ê 6 VD2: Chứng minh BĐT Bunhiacôpski Cho n cặp số thực bất kỳ ai, bi i = 1, ... n Thế thì (a1b1 + a2b2 + ....an)2 Ê (a12 + a22 + ..+ an2) (b12 + ..+ bn2) Dấu "=" xảy ra Û fk ẻ R sao cho: b1= ka1; b2 = ka2; ....; bn = kan Giải: Với x ẻ R ta có (a1x - b1)2 ³ (a2x - b2)2 ³ 0 ................... (anx - bn)2 ³ 0 Từ đó suy ra: a12x2 - 2a1b1x + b12 ³ 0 a22x2 - 2a2b2x + b22 ³ 0 ..................................... an2x2 - 2anbnx + bn2 ³ 0 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được (a1b1 + a2b2 + ....an)2 Ê (a12 + a22 + ..+ an2) (b12 + ..+ bn2) ³ 0 Đặt VT = f(x) Nếu a12 + a22 + ..+ an2 > 0 và f(x) ³ 0 nên D' < 0 ị (a1b1 + a2b2 + ....anbn)2 Ê (a12 + a22 + ..+ an2) (b12 + ..+ bn2) Nếu a12 + a22 + ..+ an2 = 0 ị a1 = a2 = ......= an = 0 bất đẳng thức cần chứng minh đúng Dấu "=" xảy ra Û a1x = b1; a2x = b2, ... anx = bn VD2: Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a + d = b + c CMR: Nếu lấy số m sao cho 2m > ờad - bcờ thì "x ẻ R ta có: (x - a)(x - b)(x- c)(x - d) + m2 ³ 0 (1) Giải: Từ a + d = b + c ta có: (1) Û [x2 - (a + d)x + ad][x2 - (b+c)x + bc] + m2 ³ 0 Û (y + ad) (y + bc) + m2 ³ 0 (đặt y = x2 - (a + d) x) Û y2 + (ad + bc)y + abcd + m2 ³ 0 Xét f(y) = VT Dy = (ad + bc)2 - 4 (abcd + m2) = (ad - bc)2 - 4m2 Ê 0 (vì 2m > ờad - bdờ ị f(y) ³ 0 Suy ra (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2 ³ 0 VD4 ; Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và các số x,y,z thay đổi sao cho ax + by +cz = 0 chứng minh rằng ayz +bxz +cxy Giải : Từ 1 z = - ( vì c > 0) Thay vào 2 ta có - ay - ( ay + bx )( ax+ by) + c2xy Đặt f(x) = vế trái Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vá y2 nên với Vậy BĐT được chứng minh dấu “ = ” 8.3 Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý Nắm chắc định lí về dấu tam thức bậc hai Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa BĐT cần chứng minh về dạng Hoặc trong đó f(x), f(y) là các tam thức bậc hai 8.4. Bài tập tự giải 1. Chứng minh rằng với ta đều có 2. Cho a,b,c thoả mản a và ab + bc + ca = 1 chứng minh rằng 3. Cho các số x1,x2,y1,y2 thoả mãn các điều kiện y1.y2 > 0 ( 1); y1x1 Chứng minh rằng ( y1+ y2)( x1 + x2) 4. Cho b > c > d chứng minh rằng với . ta có 5. Cho 6 số a,b,c,d,m,n thoả măn Chứng minh rằng ( C . thực nghiệm Tiết dạy Luyện tập về chứng minh bất đẳng thức I ) Mục đích Học sinh vận dụng được các phương pháp chứng minh BĐT để giải quyết một số bài tập về hưóng minh BĐT và các bài tập có liên quan Rèn luyện kỹ năng phát hiện tìm tòi những cách giải mới; Kỹ năng lập luận chính xác ,tư duy linh hoạt biến đổi chính xác có hệ thống logíc II ) Chuẩn bị của GV và HS GV: Nội dung bài tập thước kẻ HS : - Ôn tập lại một số phương pháp chướng minh BĐT,tinh chất cơ bản của BĐT Thước kẻ III ) Tiến trình dạy học Hoạt động của GV Hoạt động của HS HĐ1 ; Kiểm tra 1, Nêu một số tính chất cơ bản của BĐT ? 2, Nêu một số phương pháp chứng minh BĐT ? viết dạng tổng quát của BĐT côsi, Bunhiacốpski HĐ2: Làm bài tập Bài 1. Cho a,b,c chứng minh rằng GV: Gọi 1 hs lên bảng làm, hs khác làm tại chổ Em dùng phương pháp nào để chứng minh ? Tại sao em lại dùng phương pháp biến đổi tương đương? Ngoài cách chứng minh trên còn cách nào nữa ? Ta chú ý BĐT cần chứng minh để chọn cách chứng minh phù hợp Bài 2: Cho a,b,c CMR : (a + b )( b + c )( c + a ) ? Nhận xét các thừa số ở vế trái với những số âm ta thường áp dụng bđt nào ? Bài 3 : Cho a > b > c > 0 . CMR (1) hãy dùng phép bđ tđ để c/m (1) Em nào có cách giải khác ? BĐT (1) có dạng BĐT Bunhiacopski không ? hãy chỉ ra từng thừa số trong BĐT này ? GV hướng dẫn hs giải theo p2 hình học HĐ3 : Củng cố GV nhận xét rút ra chú ý HS1; Phát biểu HS2: Phát biểu C1 : Dùng phương pháp biến đổi tương đương ........ dấu “ = ” xảy ra a = b = c HS nêu cách 2 : áp dụnh BĐT Côsi HS : Mỗi thừa số là tổng của hai số âm .áp dụng BĐT Côsi đpcm HS trình bày cách c/m bằng phương pháp tương đương HS : áp dụng BĐT Bunhiacôpski đpcm HS ghi