Đề tài Một số bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng. Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG” II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi Thường xuyên được phân công dạy lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay và thương xuyên ôn thi đại học cho các em nên tôi thường xuyên tiếp xúc và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này. 2. Khó khăn Mới chỉ đưa ra một số dạng toán thường gặp thông qua các ví dụ, chưa giải được các bài toán tổng quát. 3. Số liệu thống kê Trước khi thực hiện chuyên đề học sinh khá lúng túng trong việc giải cũng như lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán dạng này. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận: - Thông qua qua qua trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng bài toán liên quan. - Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên đề. Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này. 2. Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài - Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các em đã được học trong chương trình THPT - Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức. Phương pháp 1. Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Cho hàm số bậc ba và đường thẳng Đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có k nghiệm phân biệt, và nghiệm đó chính là hoành độ của các giao điểm. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có: Nếu phương trình (*) có một nghiệm là thì 1/ Phương trình (*) có 1 nghiệm phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2/ Phương trình (*) có 2 nghiệm phương trình (**) có một nghiệm kép khác hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 3/ Phương trình (*) có 3 nghiệm phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác Các ví dụ: VÍ DỤ 1: Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại a/ 3 điểm phân biệt b/ 2 điểm c/1 điểm Định hướng. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là. (1) Nhận xét: là một nghiệm của phương trình (1) Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của phương trình (1) thì các em có thể làm như sau: Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1) Chẳng hạn: Cho m= 0 thì PT(1) trở thành có nghiệm Cho m=1 thì PT(1) trở thành có nghiệm Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ thể đều có nghiệm chung là x =1. Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của phương trình (1) Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào phương trình (1), nếu thoả mãn thì là một nghiệm cần tìm của phương trình (1). Khi đó ta giải bài toán như sau. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là. (1) Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình (1) , ta có : Đặt , Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành nên số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) và trục hoành Ox a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1 b/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 2 điểm Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm , hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 + Phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 . + Phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm , hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1 Vậy với thì (C) cắt Ox tại 1 điểm . VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm. Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2 VÍ DỤ 3: (KHỐI A 2010) Cho hàm số m là tham số a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn điều kiện Bài giải: b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành là: Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1’) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Kí hiệu và là các nghiệm của (1’) Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) luôn cắt (d): tại 3 điểm phân biệt . (m là tham số) Định hướng: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có: Đối với bài này khi cho m nhận một số giá trị cụ thể thì ta không tìm được nghiệm chung của các phương trình tương ứng như những ví dụ ở trên. Khi đó ta thử nhẩm nghiệm của PT hoành độ giao điểm theo m, Chẳng hạn trong ví dụ 4 ta thấy x = m là một nghiệm của phương trình. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: Đặt Ta có Và Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có ba nghiệm phân biệt. Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt. (đpcm) VÍ DỤ 5: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành dương. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: Đặt Theo yêu cầu bài toán thì và PT(2) phải có hai nghiệm phân biệt âm, khác m VÍ DỤ 6: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Phương trình Phương trình (1’) có nên luôn có 2 nghiệm trái dấu Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là Để lập thành 1 cấp số cộng VÍ DỤ 7: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìn ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán. Chú ý: Nếu đa thức có các nghiệm là thì Giải: Giả sử cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi đó: Từ đó ta có: Vì tạo thành cấp số cộng nên khi đó: Vì là hoành độ giao điểm nên Với m = 0 thì (loại) Với m = 1 thì Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3 Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán. VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân phương trình =0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Phương trình Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì Trường hợp 1 : Để dãy số lập thành 1 cấp số nhân thì Trường hợp 2 : Để dãy số lập thành 1 cấp số nhân thì Trường hợp 2 : Để dãy số lập thành 1 cấp số nhân thì Vậy với thoả mãn yêu cầu bài toán. VÍ DỤ 9: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán. Giải: Giả sử cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi đó: Từ đó ta có: Vì tạo thành cấp số nhân nên khi đó: Vì là hoành độ giao điểm nên Với m = 2 thì Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2 Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Phương pháp 2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị. Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp về toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết bài toán. Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng đưa về bài toán xét giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. Hai đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi đồ thị hàm số (C’) cắt trục hoành tại k điểm. Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số : a > 0 a < 0 y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Û y x 0 I y x 0 I y’ = 0 có nghiệm kép Û y’ = 0 vô nghiệm Û y x 0 I y x 0 I 1/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 1 điểm 2/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 2 điểm 3/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm (C) A x0 O x y (h.1a) (C) A x0 x y (h.1b) x1 o x2 yCT yCÑ x"0 C x1 (C) yCÑ y A o x2 x (h.3) yCÑ x0 x'0 B (C) yCÑ y A x0 o x1 B x'0 (yCT = f(x0) = 0) x (h.2) 4/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương (h4) 5/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm (h5) H.4 H.5 VÍ DỤ 10: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox : y = 0 a/ Tại 3 điểm phân biệt. b/ Tại 2 điểm c/ Tại 1 điểm Bài giải Nhận xét: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là Ta không nhẩm được nghiệm của phương trình (4) Giải: Ta có Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu a/ Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ta có b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm,ta có c/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta có Vì hàm số luôn có cực đại cực tiểu nên không xẩy ra trường hợp hàm số luôn đồmg biến. Nhận xét: Ví dụ 10 ta có thể sử dụng phương pháp 3,củng kha đơn giản. VÍ DỤ 11: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Nhận xét: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là Nhận thấy không nhẩm được nghiệm của phương trình (*) này Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Ta có + Hàm số có 2 cực trị có 2 nghiệm phân biệt + Ta có Giả sử là hoành độ của các điểm cực trị thì là nghiệm của phương trình y’= 0 hay Suy ra Do đó Vậy m < 0 thoả mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét : Trong ví dụ này nếu tính theo ví dụ 7 thì quá trình tính toán trở nên phức tạp, vì thế ta sử dụng tính chất của điểm cục trị «Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì » chú ý 3, trang 14 sgk giải tíc12, chương trình chuẩn xuất bản năm 2008. Nhà xuất bản BGD. VÍ DỤ 12: Tìm m để đồ thị hai hàm số y=() và đường thẳng () cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Bài giải : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị Đặt có đồ thị (’) ; Đồ thị () cắt () tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi đồ thị (’) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương * Vì >0 nên hàm số luôn có hai cực trị với mọi m. * Gọi là các giá trị cực trị thì Khi đó, = Do đó: * Vậy thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Chú ý: * Hàm số f không có cực trị Phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép * Hàm số f có 2 cực trị Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Phương pháp 3. Phương pháp hàm số Nếu phương trình hoành độ giao điểm biến đổi được về dạng trong đó: * là hàm số có đồ thị (C) * là hàm hằng (phụ thuộc tham số m) có đồ thị là đường thẳng d: song song trục hoành và đi qua Khi đó ta có thể giải bài toán như sau: Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Dựa vào BBT Số giao điểm của (C) và d VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm của (): và trục hoành Ox . Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành (*) Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3. Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy : Phương trình (**) Vì hàm số (C) không phụ thuộc vào tham số nên hình dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng. Ta có thể giải bài toán như sau: Giải. Phương trình hoành độ giao điểm là: Xét hàm số (C) TXD: D = R Ta có Bảng biến thiên: x -1 1 - 0 + 0 - Số giao điểm của () với trục hoành là số giao điểm của đường cong (C) với đường thẳng y = m Từ bảng biến thiên ta có: Với , (C) cắt trục hoành tại 1 điểm Với , (C) cắt trục hoành tại 2 điểm Với , (C) cắt trục hoành tại 3 điểm VÍ DỤ 14: Tìm m để đồ thị hàm số : cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành (1) Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy : Phương trình (2) Vì hàm số hoàn toàn lập được bảng biến thiên Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành. Ta có thể giải bài toán như sau: Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: Xét hàm số TXD : D = Bảng biến thiên x -¥ 0 1 +¥ y’ - - 0 + y +¥ +¥ +¥ -¥ 5 Để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m phải cắt tại ba điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 5 Û m < - 5 VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số : cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 2 < x1 < x2 < x3 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: Xét hàm số TXD : D = Bảng biến thiên x -¥ -2 0 2 +¥ y’ - - 0 + y +¥ +¥ +¥ 10 -¥ 2 Để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x2 < x3 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 < - m < 10 Û - 10 < m < -2 VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số : cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 <-3 < x2 < x3 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: Xét hàm số TXD : D = Bảng biến thiên x -¥ -3 - 1 0 + ¥ +¥ y’ - 0 + + y +¥ +¥ +¥ 49/3 7 - ¥ Để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 49/3 Û m < - 49/3 VÍ DỤ 17: Tìm m để đồ thị hàm số : cắt trục hoành Ox tại một điểm. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là: Xét hàm số TXD : D = Bảng biến thiên x -¥ -2 11 2 +¥ y’ - 0 + + 0 - y +¥ 4 1 1 4/9 - ¥ Để cắt trục hoành tại một điểm thì đường thẳng y = m phải cắt một điểm. Dựa vào bảng biến thiên ta có: Bài tập: Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox a/ Tại 3 điểm phân biệt. b/ Tại hai điểm c/ Tại một điểm Bài 2. Tìm m để đồ thị (C): lần lượt của hai hàm số cắt nhau tại. a/ 3 điểm phân biệt. b/ 2 điểm c/ 1 điểm Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm Bài 5 Xác định m để (Cm) cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt y = (x - 1)(x2 + mx + m) Bài 6: Cho hsố có đồ thị là (Cm) ( m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số: y = x3 - 3x + 2. Gọi d là đt qua A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để dt đó cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt Bài 8: Cho h/s: Tìm m để (Cm) a) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b b) Cắt trục hoành tại 3 đ p/b có hoành độ âm c) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ dương d) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ âm e) Có hai điềm chung với Ox f) cắt Ox tại một điểm Bài 8: Cho h/s: . Tìm m để a) (Cm) cắt trục hoành tại một điểm b) (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt . Chứng tỏ rằng ba điểm này đề có hoành độ âm (Cm) c) Tiếp xúc với ox Bài 9: Cho hàm số xác định m sao cho đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y =5. Xác định tọa độ tiếp điểm? Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số : y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x + m cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 4 < x1 < x2 < x3. Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số : cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 < - 1 < x2 < x3. Bài 12:Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Bài 13:Cho h/s: .Tìm m để đồ thị của hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng. Tìm cấp số đó IV. KẾT QUẢ Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi nhận thấy khi học sinh vận dụng được hướng suy nghĩ này, các em sẽ nhanh chóng giải quyết được bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba nói riêng và bài toán giao điểm của hai đồ thị nói chung. Giúp các em thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số giao điểm của hai đồ thị và số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng từ đó mà có thể tự suy nghĩ giải quyết được nhiều dạng bài tập khác . Bài toán giao điểm của hai đồ thị là một bài toán quan trọng trong chương trình toán THPT, nó thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp cũng như đề thi đại học, cao đẳng. Vì vậy với đề tài này, hy vọng nó sẽ giúp ích nhiều cho chất lượng của các em trong các đợt kiểm tra cuối cấp. V. BÀI HỌC KINH NGHIÊM. Để giải các bài toán cụ thể cần rèn luyện cho mình khả năng nhận xét bài trước khi bắt đầu làm bài, từ đó lựa chọn các phương pháp phù hợp để có được kết quả của bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, phát huy được tính tích cực sáng tạo trong học tập. Từ đó giúp các em hiểu bài một cách sâu sắc, điều đó cũng có nghĩa là các em sẽ nhớ bài lâu hơn! VI. KẾT LUẬN Đề xuất: Tổ chuyên môn triển khai chuyên đề trong toàn tổ để phát huy được tình hiệu quả của chuyên đề củng như rút kinh nghiệm đề khắc phục những phần còn hạn chế của chuyên đề này. Học sinh có thể sử dụng chuyên đề này để rèn luyện cho minh kĩ năng giải một số bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng và các bài toán liên quan. Trên đây là một vài kinh nghiệm do tôi góp nhặt và tìm tòi thêm. Trong quá trình trình bày khó tránh khỏi một số sai sót. Kính mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý kiến nhiệt tình, để chuyên đề của tôi hoàn thiện và hiệu quả hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! NGƯỜI THỰC HIỆN. Phan Thị Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12- Xuất bản năm 2008, NXB Giáo dục Các bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Tập 1. Tác giả Trần phương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội Phương pháp giải toán giải tích 12. Tác giả Trần Văn Kỷ – NXd Đại học quốc gia TPHCM.