Đề tài Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9

LễỉI NOÙI ẹAÀU Từ những năm đầu của thập kỉ 90, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học trong nhà trường phổ thông ở nước ta được dư luận xã hội và các cán bộ giáo viên trong ngành giáo dục quan tâm rất nhiều . Vài năm gần đây , việc đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần "lấy học sinh làm trung tâm" đã được thực hiện rộng rãi khắp các tỉnh, thành trong tất cả các cấp học phổ thông cả nước . Hơn nữa, việc đổi mới chương trình-SGK hiện nay là một cuộc "cách mạng" ,đòi hỏi giáo viên phải có sự đổi mới phương pháp dạy học . Một trong những định hướng quan trọng của việc đổi mới hiện nay là : Tăng cường hơn nữa tính "phân hóa" trong học sinh . Việc dạy học môn học tự chọn (trước đây)và các chủ đề tự chọn (hiện nay)là một trong những biện pháp hữu hiệu thể hiện rõ định hướng này . Bắt đầu tà năm học 2002-2003 Bộ GD&ĐT đã hướng dẫn thực hiện DHTC cho một số môn học thuộc khối lớp 8 và 9 (2 tiết /tuần). Năm học 2006-2007 việc dạy học các chủ đề tự chọn đã được triển khai đại trà cho tất cả các khối lớp từ 6 đến 9. Như vậy ,việc dạy học tự chọn đã mang tính pháp quy. Thông qua các tiết dạy học CĐTC , giáo viên sẽ có thêm điều kiện để đổi mới phương pháp giảng dạy, tích lũy , trau dồi thêm chuyên môn nghiệp vụ ...Mặt khác,cũng thông qua các tiết dạy mà phát hiện ra những học sinh có năng khiếu đồng thời giúp học sinh khắc phục được những thiếu sót của mình trong quá trình học tóan....Học sinh có điều kiện củng cố kiến thức , phát huy khả năng ,năng khiếu của bản thân về môn học . Trên cơ sở đặc điểm chương trình tóan THCS , qua thực tiễn giảng dạy một số năm .Bản thân tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm khi dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9 .Với mục đích hình thành trong nhà trường một số vấn đề và các chủ đề tự chọn & để trao đổi cùng các đồng nghiệp . Tôi tiến hành tổng hợp và biên soạn một số chủ đề Tóan 9 gồm : *Chủ đề 1: Căn thức bậc hai. *Chủ đề 2: Hệ phương trình . *Chủ đề 3: Phương trình bậc hai. *Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị . *Chủ đề 5: Tiếp tuyến của đường tròn. *Chủ đề 6: Tứ giác nội tiếp . Mỗi nội dung kiến thức đề có các ví dụ và bài tập cơ bản bám sát chương trình và chia thành dạng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh(có nhiều nội dung nâng cao) .các bài tập và ví dụ chủ yếu được sử dụng trong SGK thuộc chương trình cũ(cá nhân đã từng áp dụng) . Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện ,song có lẽ không thể tránh khỏi những sai sót . Tôi rất mong nhận được sự ủng hộ ,góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để sớm có thể hoàn thiện hơn CH Ủ Đ Ề 1: CĂN BẬC HAI: CÁC PHẫP TÍNH & BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CBH A.TểM TẮT KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN VẤN ĐỀ 1: Nhắc lại một số phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử * Để phõn tớch một đa thức thành nhõn tử ta cú thể sử dụng riờng rẽ hoặc phối hợp cỏc phương phỏp: Đặt nhõn tử chung; Áp dụng cỏc hằng đẳng thức ;Nhúm, tỏch,them bớt cựng một hạnh tử; Sử dụng nghiệm của đa thức hoặc dựng sơ đồ Hoocne,... 1. Phương phỏp dặt nhõn tử chung : Vớ dụ 1: 14a3b - 7a2b2 + 35ab3 = 7ab.2a2 - 7ab.ab+ 7ab.5b2 = 7ab(2a2 - ab +5b2) Vớ dụ 2: x3 + x2 +x+1 = x2(x+1)+x+1 = (x+1)((x2+1) 2. Phương phỏp sử dụng hằng đẳng thức : Vớ dụ 1: a2 -1 +b2+2ab = a2+b2+2ab -1 = (a +b)2-1 = (a +b-1)(a +b+1) Vớ dụ 2: (x+y)3 - (x-y)3 = [ (x+y) - (x-y)][(x+y)2 + (x+y)(x-y) + (x-y)2] = 2y(x2+y2+2xy +x2 - y2 + x2+y2-2xy ) = 2y(3x2+y2) 3. Phương phỏp nhúm cỏc số hạng : Vớ dụ 1: phõn tớch thành nhõn tử đa thức : x2+y+xy+x C1: Ta cú : x2+y+xy+x = (x2+x) + (y+xy) = x(x+1) +y (x+1) =(x+1) (x+y) C2: Ta cú : x2+y+xy+x = (x2 +xy)+(y+x) = x(x+y) +(y +x)=(x+1) (x+y) Vớ dụ 2: ax2 + ay2 -bx2 -by2 +b - a = (ax2 -bx2) +(ay2 - by2) +b - a = x2(a -b) +y2(a - b) -(a - b) =(a - b)(x2+y2 -1) 4. Phương phỏp tỏch hạng tử: Vớ dụ : x2 - 6x + 5 C1: x2 - 6x + 5 = x2 - x - 5x + 5 = x(x-1)- 5(x-1) =(x-1)(x -5) C2: x2 - 6x + 5 = x2 - 1 - 6x + 6 = (x -1)(x +1)- 6(x-1) =(x-1)(x +1-6) =(x-1)(x -5) C3: x2 - 6x + 5 = 6x2 - 6x - 5x2 + 5 = 6x(x-1)- 5(x2 -1) = 6x(x-1)- 5(x -1)(x +1) = (x-1)[6x - 5(x +1)] = (x-1)(x -5) C4: x2 - 6x + 5 = x2 - 6x +9 - 4 = (x-3)2 - 22 = [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-1)(x -5) * Cũn một số cỏch tỏch khỏc nữa , xin mời bạn đọc . 5. Phương phỏp thờm bớt cựng một hạng tử : Vớ dụ 1: x5 + x + 1 = x5 + x2 - x2 + x + 1 = x2(x3 -1) + (x2 + x + 1) = x2(x - 1)(x2 + x + 1) +(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x2(x - 1)+1] = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1) Vớ dụ 2: x4 + 64 = (x2)2 + 82 = (x2)2 +2.x2.8 + 82 - 16x2 = (x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 - 4x + 8 )(x2 + 4x +8) 6. Phương phỏp dựng nghiệm của đa thức : Giả sử đa thức f(x) cú một nghiệm x= a thỡ (x - a) là một nhõn tử và ta cú : f(x) =(x - a).g(x) . Trong đú: g(x) là thương của phộp chia đa thức f(x) cho (x - a) Vớ dụ :Đa thức x3 + 2x + 3 cú một nghiệm là -1 nờn một nhõn tử của tớch là : x- (-1) = x + 1. Ta cú :(x3 + 2x + 3) : (x + 1) = x2 -x + 3 Vậy :x3 + 2x + 3 = (x + 1)(x2 -x + 3) 7. PP sử duùng sụ ủoà hooựcne : Cho ủa thửực: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…..+ a1x + a0 vaứ nhũ thửực x - . Ta luoõn vieỏt ủửụùc : f(x) = P(x) (x -) + r Baống caựch sửỷ duùng sụ ủoà hooựcne: an an-1 an-2 …….. a1 a0 bn = an bn-1 = bn + an-1 bn-2 = bn-1 + an-2 …….. b1 = b2 + a1 b0 = b1 + a0 Vụựi P(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + bn-2xn-3 + …..+ b2x + b1 vaứ r = a0 Roừ raứng , neỏu r=0 , khi ủoự f(x) = P(x) (x -) Vieọc sửỷ duùng sụ ủoà hooựcne thửụứng aựp duùng ủoỏi vụựi caực ủa thửực baọc cao (tửứ baọc 3 trụỷ leõn). Vaỏn ủeà ủaởt ra laứ : Ta phaỷi ủoựan ủửụùc nghieọm cuỷa f(x) . Vụựi chửụng trỡnh THCS ta thửụứng ủoựan nghieọm theo caực caựch sau : Neỏu ủa thửực f(x) coự toồng caực heọ soỏ baống 0 thỡ 1 laứ moọt nghieọm cuỷa f(x) . Do ủoự f(x) coự theồ vieỏt : f(x) = (x - 1)P(x). Neỏu ủa thửực f(x) coự toồng caực heọ soỏ cuỷa caực soỏ haùng baọc chaỹn baống toồng caực heọ soỏ cuỷa caực soỏ haùng baọc leỷ thỡ -1 laứ moọt nghieọm . Do ủoự f(x) coự theồ vieỏt : f(x) = (x + 1)P(x). Tuy nhieõn trong moọt soỏ trửụứng hụùp cuù theồ thỡ caỷ hai caựch ủoựan nghieọm nhử treõn laứ khoõng khaỷ thi . Khi ủoự , ta caàn phaỷi sửỷ duùng ủeỏn caựch thửự ba : Loaùi trửứ caực ửụực cuỷa heọ soỏ tửù do khoõng laứ nhieọm cuỷa f(x) , baống caựch : Neỏu a laứ nghieọm nguyeõn cuỷa f(x) vaứ f(1) , f(-1) khaực 0 thỡ va ủeàu laứ soỏ nguyeõn . Vớ duù : Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ . A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4 B(X) = x3 – 5x2 +3x +9 C(X) = 4x3 – 13x2 +9x -18 Giaỷi : Toồng caực heọ soỏ cuỷa ủa thửực : 1 – 5 + 8 – 4 = 0 => x = 1 laứ moọt nghieọm cuỷa A(X) . Ta coự sụ ủoà sau : + 1 + -5 + 8 -4 =1 x x 1 x -4 4 0 Caựch thửùc hieọn : + Vieỏt caực heọ soỏ cuỷa A(x) (caực heõù soỏ cuỷa ủa thửực ủửụùc saộp xeỏp theo luừy thửứa giaỷm daàn cuỷa bieỏn ). Ta ủaởt caực heọ soỏ cuỷa A(x) theo thửự tửù treõn vaứ caực coọt ụỷ doứng treõn ( taứ coọt thửự hai ) . + ễÛ doứng thửự hai , coọt ủaàu tieõn laứ moọt nghieọm , ba coọt tieỏp theo laứ caực heọ soỏ tửụng ửựng cuỷa ủa thửực thửụng , coọt cuoỏi cuứng cho ta soỏ dử . + Keồ tửứ coọt thửự ba (doứng thửự hai) , moói soỏ ủửụùc xaực ủũnh baống caựch : laỏy nhaõn vụựi soỏ cuứng doứng lieàn trửụực , coọng vụựi soỏ cuứng coọt ụỷ doứng treõn . + Sụ ủoà : x Ta coự theồ vieỏt : A(x) = (x – 1) (x2 – 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)2 Toồng caực soỏ heọ soỏ cuỷa soỏ haùng baọc chaỹn baống toồng caực heọ soỏ cuỷa caực soỏ haùng baọc leỷ : 9 +(-5) = 1 + 3 = 4 => -1 laứ moọt nghieọm cuỷa B(X) . Tửụmg tửụng tửù , ta coự sụ ủoà Hooựcne : 1 -5 3 9 -1 1 -6 9 0 Tửứ sụ ủoà , ta coự : B(X) = x3 – 5x2 +3x +9 = (x + 1) (x2 – 6x + 9) = (x + 1) (x – 3)2 c)Vụựi caựch laứm nhử treõn , ta thaỏy : Toồng caực heọ soỏ cuỷa ủa thửực : 4 -13 + 9 – 18 = -18 ạ 0 Toồng caực soỏ heọ soỏ cuỷa soỏ haùng baọc chaỹn cuỷa ủa thửực C(x) baống: - 13 – 18 Toồng caực soỏ heọ soỏ cuỷa soỏ haùng baọc leỷ cuỷa ủa thửực C(x) baống: 4 + 9 Roừ raứng: -13 – 18 ạ 4 +9 Vaọy vụựi hai caựch ủoaựn nghieọm thoõng thửụứng nhử treõn khoõng khaỷ thi ủoỏi vụựi ủa thửực naứy. Ta sửỷ duùng phửụng phaựp loaùi trửứ nghieọm nhử sau: Xeựt: C(1) = 4 – 13 + 9 – 18 = -18 ạ 0 C(-1) = -4 – 13 – 9 – 18 = -44 ạ 0 Roừ raứng 1 vaứ -1 khoõng laứ nghieọm cuỷa C(x). Ta thaỏy: ; ; ; ; ; ; khoõng nguyeõn neõn -3; 6; -6; 9; -9; 18; -18 khoõng laứ nghieọm cuỷa C(x).Vaứ khoõng nguyeõn neõn 2 khoõng laứ nghieọm cuỷa C(x). Chổ coứn -2 vaứ 3. Kieồm tra thaỏy 3 laứ nghieọm cuỷa C(x). Ta coự sụ ủoà hooựcne: 4 -13 9 -18 3 4 -1 6 0 Theo sụ ủoà Hooựcne ta coự: C(x) = 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = (x – 3) (4x2 – x + 6) Nhaọn xeựt: ẹoỏi vụựi caực ủa thửực treõn, neỏu khoõng sửỷ duùng sụ ủoà Hooựcne vaón phaõn tớch ủửụùc thaứnh nhaõn tửỷ baống caựch sửỷ duùng phửụng phaựp taựch nhoựm haùng tửỷ. Chaỳng haùn: A(x) = x3 – 5x2 +8x – 4 = x3 – 4x2 +4x – x2 + 4x – 4 = ( x3 – 4x2 +4x ) – (x2 – 4x + 4) = x (x2 – 4x + 4 ) – ( x – 2)2 = x( x – 2)2 – ( x – 2)2 = (x – 1) (x – 2)2 Bài tập vận dụng : 1. Tớnh nhanh : a) 231,4 .14 - 140.13,14 b) (175 - 174):42 2. CMR : n3 + 3n2 +2n chia hết cho 3 , nẻZ 3. Giải cỏc phương trỡnh : a. (2x -3)2 = (x + 5)2 b. x4 – 2x3 +10x2 - 20x = 0 c. x2(x-1) – 4x2+8x -4 4. Tớnh giỏ trị của biểu thức A = 2x2 + 2y2-x2z + z - y2z - 2 ,Với x = y =1 ,z = -1 VẤN ĐỀ 3: Căn thức bậc hai Định nghĩa và cỏc tớnh chất 1. Nhắc lại một số tớnh chất của lũy thừa bậc hai : + a2 ³ 0 ,"a + a2 >b2 Û|a|>|b|: Nếu a,b>0 Thỡ a2>b2 Û a>b Nếu a,bb2 Û a<b + a2 = b2 Û |a|=|b|Û a =± b * Một số tớnh chất của bất đẳng thức : Với 3 số a,b,c .Ta cú : * Nếu a ³ b Thỡ : a + c ³ b +c * Nếu a Ê b Thỡ : a + c Ê b +c * Nếu a ³ b Thỡ : ac ³ bc (c ³ 0) * Nếu a ³ b Thỡ : ac Ê bc (c < 0) * a ³ b và b ³ c thỡ a ³ c 2. Căn bậc hai của một số : * Định nhĩa : CBHSH của một số a³0 là số x ³0 sao cho a= x2 ,kớ hiệu ; Ta cú : CLưu ý : + a ³ 0: cú 2 CBH đối nhau là (gọi là CBH dương của a hay CBHSH) và -(gọi là CBH õm của a) + Số õm khụng cú căn bậc hai. * Một số tớnh chất : += (hay b³ 0) + < Û a < b(a,b³ 0) + =b CLưu ý : + + Khụng được viết: VÍ DỤ1: a. Trong cỏc số CBHSH của 9 là ; b.= =7 ; ; c. VÍ DỤ2: Tỡm x, biết : a. x2 = 8 b. c. Giải : a. Ta cú: x2 = 8 Û x = = ± b. Cỏch 1: Áp dụng tớnh chất:= ,vỡ 2 = => Û Û Û Û x =5 Cỏch 2: Áp dụng tớnh chất:= b Ta cú: Û Û Û x =5 c. VÍ DỤ 3: So sỏnh a. 4 và ; b. và 7 ; c.và Giải: Cỏch 1: a. Ta cú : 4 = => 4 > b. Tương tự : 7= =>7> Cỏch 2: ỏp dụng tớnh chất a2>b2 Û a>b (a,b>0 ) a. Ta cú: 42 =16; => 4 > b. Tương tự: 72 =49; => 7> c. Ta cú: ()2 = 5 ()2 = 2 => < Ta lại cú :(5)2 = 75 (2)2 = 76 4.Điều kiện tồn tại : cú nghĩa Û A ³ 0 Khụng phải bao giờ cũng cú: = A. Tổng quỏt, ta cú : nếu A ³ 0 nếu A < 0 = = * Một số tớnh chất : a,b ẻ IR + ữ aỳ ³ a " a a < 0 -a = b a ³ 0 a = b + ữ aỳ = ữ- aỳ + ữ aỳ = b Û hay a = b a = - b +ữ aỳ = ữbỳ Û[ +ữ Xỳ ³ a Û - a³ X ³ a +ữ Xỳ Ê a Û - aÊ X Ê a VÍ DỤ 4: Với giỏ trị nào của a thỡ cỏc căn thức sau cú nghĩa ? a. ; b. ; c. ; d. ; e. Giải: a. cú nghĩa Û hay a ³ 0 b. cú nghĩa Û -3a ³ 0 hay a Ê 0 c. Vỡ a2 +1 >0 " a nờn cú nghĩa với " a d. cú nghĩa Û 3 - a2 ³ 0 Û a2 Ê3Û -ÊaÊ e. cú nghĩa Û >0 Û>0 hay a>1 VÍ DỤ 5 :Tớnh a. 2 ,a ³ 0 ; b. ,a <0 ; c. ,a <0 d. ; e. ; f. Giải : a. Ta cú :2 = 2ữ aỳ = 2a (a ³ 0 ) b. Ta cú = ữ aỳ = -a (a <0) c. Ta cú = = 5a2 (a2³ 0 ") d. = = -(1-) = .Vỡ 1-<0 e.= = f. Ta cú = 4-2.2+3 =22-2.2+()2 = (2-)2 =>==2-(vớ 2->0) 5.Bài tập 1.Tỡm cỏc giỏ trị khụng õm của x để: 2. So sỏnh (khụng dựng mỏy tớnh): a. và 4 ; b. 1- và 3. Với giỏ trị nào của x thỡ cỏc biểu thức sau cú căn bậc hai? a.2x2 +3 ; b. 4x2+4x+1 ; c.-4x ; d. 1 với xÊ 1 2x-1 với x>1 4. Chứng minh rằng : x + 5. Định x để cỏc biểu thức sau cú nghĩa: a. 3+ ; b. ; c. ; d. VẤN ĐỀ 2: Thực hiện cỏc phộp tớnh & biến đổi cỏc căn thức bậc hai 1.Cỏc phộp tớnh : 1.1. Nhõn ,chia cỏc căn thức bậc hai: Khai phương một tớch 2 căn thức A³ 0,B³ 0 Ta cú : Nhõn 2 căn thức Khai phương một thương 2 căn thức Chia 2 căn thức A³ 0,B> 0 Ta cú : 1.2. Vớ dụ : * Cỏch sử dụng , Quy tắc:Muốn khai phương một tớch cỏc biểu thức khụng õm, ta cú thể khai phương từng biểu thức, rồi nhõn cỏc kết đú với nhau. Muốn nhõn cỏc CBH của cỏc biểu thức khụng õm, ta cú thể nhõn cỏc biểu thức trong CBH với nhau, rồi lấy CBH của kết quả đú . VÍ DỤ 1 : a. ; b. ; c. d. (a³ 0) ; e. (a>0) ; f. 3 Giải : a. = b. = c. = d. = e. = f. 3 = * Cỏch sử dụng Quy tắc: Muốn khai phương của (A³ 0,B>0 ), ta cú thể khai phương lần lượt A và B, sau đú lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. Muốn chia CBH của A³ 0 cho CBH của B>0, ta cú thể chia A cho B, rồi khai phương kết quả đú (tức là lấy CBH của ) VÍ DỤ 2: Tớnh a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. (5 Giải : a. = b. = c. = d. = e. = f. (5= 2.Biến đổi đơn giản cỏc căn thức bậc hai: 2.1. Đưa thừa số ra hoặc vào trong dấu căn. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ã B³ 0. Ta cú : Đưa thừa số vào trong dấu căn VÍ DỤ 3: a.= b. 2a2 = (b³ 0) VÍ DỤ 4: So sỏnh cỏc cặp số a. 3 và b. và Giải: Bằng cỏch đưa thừa số ra hoặc vào trong CBH và so sỏnh biểu thức trong CBH, ta cú: a. =<3 Vậy <3 b.== = => > 2.2.Khử mẫu của biểu thức lấy căn-Trục căn thức : ã Mẫu thức khụng phải là bỡnh phương: Nhõn cả tử và mẫu với biểu thức của mẫu để trở thành bỡnh phương, rồi khai phương đưa ra ngoài dấu căn. * (A³ 0,Bạ0) * ã Mẫu thức cú dạng tổng hoặc hiệu cỏc CBH: Nhõn cả tử và mẫu với biểu thức liờn hợp của mẫu để làm mất CBH ở mẫu. * * (A,B>0 ,ẠB) VÍ DỤ 5: Trục căn thức ở mẫu . a. b. c. d. VÍ DỤ 6: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức a. b. với Giải: a. b. = = a+b-2= với =>= 2.3.Bài tập tự giải : 1.Tớnh : a. (2+). ; b. ; c. ; d. e. ; f. ; g. 2. Chứng minh rằng : , với x,y>0 và xạy 3.Rỳt gọn và tớnh giỏ trị cỏc biểu thức: a. ; b.,a=b= 3. Thực hiện cỏc phộp tớnh - Rỳt gọn cỏc biểu thức cú chứa căn thức bậc hai CLưu ý: Ở trờn, ta đó nhắc lại một số phộp tớnh và biến đổi đơn giản cỏc căn thức bậc hai. Cỏc bài tập tự giải ở trờn dựng để cho học sinh rốn luyện kĩ năng vận dụng cỏc phộp tớnh và biến đổi. Trong nội dung tiếp theo này chỳng ta chỉ đề cập đến một số. Vớ dụ về thực hiện cỏc phộp tớnh - Rỳt gọn biểu thức cú chứa căn thức bậc hai. Trước hết hóy nhắc lại một số khỏi niệm: 3.1 Căn thức bậc hai đồng dạng: Là những căn thức cú cựng biểu thức dưới dấu căn. 3.2. Rỳt gọn biểu thức cú chứa căn thức bậc hai : Muốn rỳt gọn cỏc biểu thức chứa cỏc căn thức bậc hai ,trước hết phải thực hiện cỏc phộp biến đổi cỏc căn thức(đưa thừa số ra -vào dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu), đưa chỳng về dạng cỏc căn thức bậc hai đồng dạng, rồi thực hiện cỏc phộp tớnh. VÍ DỤ 7: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau . a. ; b.(; c. (a,b >0) Giải : a. = =(6-3-= b.(=( =(=(-2 =- c. VÍ DỤ 8: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau a. A = ,(x>0,xạ 1) b. B = ,(x,y³0,xạ y) Giải: Nhận xột: Để rỳt gọn cỏc biểu thức như trờn ta đó sử dụng cỏc phộp biến đổi và cỏc phộp tớnh để ước lược cỏc căn thức đồng dạng. Để cho đơn giản, khi thực hiện cỏc phộp biến đổi, ta cú thể sử dụng phương phỏp "hữu tỉ húa" để đơn giản cỏc căn thức rồi biến đổi(bài túan lớp 8) . Chẳng hạn: Cú thể rỳt gọn hai biểu thức trờn bằng phương phỏp "hữu tỉ húa" như sau: Đặt a= ; b= Ta cú: Như vậy, cú thể thấy rằng: Việc "hữu tỉ húa" sẽ giỳp cho việc biến đổi cỏc biểu thức trở nờn đơn giản hơn rất nhiều (cỏc biểu thức trở thành biểu thức hữu tỉ). Khi đú, việc rỳt gọn cỏc biểu thức cũng trở nờn khụng cũn khú khăn nữa. CLưu ý: Cõu b cũn thể được phỏt biểu dưới dạng khỏc như sau: Chứng minh giỏ trị của biểu thức B khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến. VẤN ĐỀ 3: Một số dạng túan cơ bản Nhằm rốn luyện cho học sinh kĩ năng rỳt gọn cỏc biểu thức, trước hết hóy cho học sinh rốn luyện thành thạo kĩ năng tớnh túan, khai triển, phõn tớch cỏc biểu thức thành tớch qua cỏc bài túan dưới đõy (BT 1,2,3). 3.1. Nhắc lại một số phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử (chỉ vớ dụ đối với cỏc biểu thức chứa CBH): CLưu ý: Việc rốn luyện cho học sinh kĩ năng phõn tớch cỏc biểu thức thành tớch là một trong những vấn đề rất cần thiết. Bởi lẽ, nếu học sinh khụng thành thạo cụng vệc này thỡ sẽ rất khú khăn trong việc thực hiện cỏc phộp bến đổi - rỳt gọn cỏc biểu thức. - Đặt nhõn tử chun: Sử dụnh tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng. Vớ dụ : -Dựng hằng đẳng thức: Sử dụng định nghĩa CBH và cỏc hằng đẳng thức quen thuộc. Vớ dụ : a. = - Nhúm cỏc số hạng: Sử dụng cỏc tớnh chất của phộp cộng đại số. Vớ dụ : b. = b(=b = - Tỏch một hạng tử thành nhiều hạng tử: Vớ dụ : x -5 + 6 = ()2 -2-3+6 = (-2) -3(-2) =(-2) (-3) C Lưu ý : Nếu đặt =a , ta cú : x -5 + 6 = a2 - 5a + 6 * Đụi khi cú nhiều biểu thức đũi hỏi phải phối hợp cỏc phương phỏp cựng lỳc. BÀI TểAN 1: Tớnh và rỳt gọn cỏc biểu thức Dạng 1(Tự giải) a. b. c. Dạng 2:Tớnh. a. ; b. ; c. Giải : c. = = =2+- =2=6 d. = e. Áp dụng cỏch giải Vớ dụ 4.1: = BÀI TểAN 2: Rỳt gọn cỏc biểu thức *Dạng tổng : Rỳt gọn biểu thức A= Giải : ĐK : x >1 C Lưu ý : Học sinh cú thể thực hiện việc quy đồng cả 3 phõn thức mà khụng để ý đến phõn thức , như thế sẽ gặp khú khăn khi thực hiện cụng việc rỳt gọn biểu thức đó cho . *Dạng tớch hoặc thương: Rỳt gọn biểu thức B= Giải : *Dạng phối hợp: Rỳt gọn biểu thức C= CCần lưu ý học sinh đến thứ tự thực hiện cỏc phộp biến đổi. BÀI TểAN 3: Chứng minh đẳng thức (cũn gọi là đồng nhất thức) a.M = b.N = Giải : a.Cú thể "hữu tỉ húa": Đặt M = b. ĐK: -1< a< 1 VT = BÀI TểAN 4. Bài túan cú nội dung liờn quan đến biểu thức rỳt gọn. Dạng 1: Tớnh giỏ trị của biểu thức với giỏ trị cho trước của biến. Vớ dụ: Xem vớ dụ 6b Áp dụng : Dạng 2: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức thỏa món điều kiện nào đú Vớ dụ 1: Giải: ĐK : x³ 0 , x ạ 9 (*) -4 -2 -1 1 2 4 -1 1 2 4 5 7 x / 1 4 16 25 49 Ta thấy: Cỏc giỏ trị x tỡm được ở trờn đều thỏa món ĐK (*). Vậy: x ẻ { 1;4;16;25;49} CLưu ý: Khi x nguyờn thỡ hoặc nguyờn (x chớnh phương), hoặc vụ tỉ (x khụng chớnh phương). Nếu là số vụ tỉ thỡ -3 là số vụ tỉ. Khi đú khụng nguyờn .Vậy cũng phải nguyờn . Vớ dụ 2: Giải: ĐK: x³ 0, x ạ 9 (**) C Chỳ ý: Phõn thức cú giỏ trị dương khi và chỉ khi tử và mẫu của nú cựng dấu ! x>9 [theo (**)] Vớ dụ 3: Giải: x³ 0, x ạ 9 (***) CChỳ ý: Muốn chứng minh A< m (mẻIR), ta xột hiệu A - m + Nếu A - m A<m. (điều ngược laị tương tự) Theo (***): 0 Ê AD: Dạng 3: Chứng minh một tớnh chất nào đú của biểu thức : Vớ dụ : Giải : => Cần chứng minh > 0 Thật vậy, ta cú : => P Dạng 4: Giải phương trỡnh Vớ dụ: Xem bài túan 6, hoặc vớ dụ trong vấn đề 1 AD: BÀI TểAN 5: TểAN TỔNG HỢP GiảI cỏc bài túan sau: ĐS: 0Ê a ạ 1 ĐS: 0Ê x ạ 1 ĐS: 0Ê x ạ 1 ĐS:0Ê x ạ 9 Bài tập : BÀI TểAN 6: Giải phương trỡnh vụ tỉ . *Chỳ ý : Cú nhiều dạng phương trỡnh vụ tỉ và cỏc phương phỏp giải cỏc phương trỡnh vụ tỉ đú. Tuy nhiờn, chỉ xin đưa ra 3 dạng phương trỡnh phổ biến hay gặp trong chương trỡnh để tham khảo. Dạng 1: (1) * Đõy là dạng phương trỡnh vụ tỉ đơn giản nhất (cỏc bài tập trong SGK chủ yếu là cỏc phương trỡnh dạng này .Tuy nhiờn,biểu thức g(x) thường là biểu thức số) Sơ đồ giải : g(x)³0 f(x) =[g(x)]2 VÍ DỤ 1(BÀI 60/33 SGK TểAN 9 TẬP 1): Giải phương trỡnh (1) Giải : Û Û =16 hay Û x+1 =16 Û x = 15 (tmđk) Vậy phương trỡnh cú duy nhất một nghiệm: x = 15 VÍ DỤ 2: Giải phương trình (2) Cú thể giải phương trỡnh theo sơ đồ hoặc cỏc cỏch như sau: CÁCH 1: Theo sơ đồ trờn ,ta cú : Û Û Giải phương trỡnh 2x2 -3x -2 = 0 ,được x1= 2(tmđk) ,x2= (loại) Vọ̃y S = CÁCH 2: (2) Û Û Û Vọ̃y S = CÁCH 3: Û Û Û Vọ̃y S = CÁCH 4: ( 2) Û Giải ra ta có: x1= 2, x2 = Kờ́t luọ̃n: S = Dạng 2: Sơ đồ giải : VÍ DỤ : Giải phương trỡnh Giải : Dạng 3: (hoặc ) (3) f(x)³0 g(x)³0 h(x)³0 Sơ đồ giải : ĐK1: (*) Bỡnh phương hai vế của (3) ,ta được: ĐK2: [h(x)]2 -³0 . Bỡnh phương hai vế của (3'), ta được phương trỡnh dạng 1. VÍ DỤ 1 : Giải : Cỏch 1:Û(3) x³-1 x³4 Û x³4 x+1³0 x-4³0 ĐK1: Û Bỡnh phương hai vế (3) ,ta được : x +1+x - 4+2 Û2=12-2x hay:=6 - x (3') Đk2: xÊ 6 =>(3') Û = x2-12x+36 Û 9x = 40 Û x = Kết hợp Đk1 và ĐK2, ta cú: 4Ê xÊ 6 =>x =(tmđk) Vậy phương trỡnh đó cho cú duy nhất nghiệm: x = Cỏch 2: Với x³4 , ta cú . Nhõn hai vế của (3) với (biểu thức liờn hợp của Ta được : Từ (3) và (3'), ta cú hệ: Cộng hai vế hai phương trỡnh của hệ, được: (*) Bỡnh phương hai vế (*), ta được: x +1= VÍ DỤ 2: Giải phương trỡnh (4) 12-x³0 x-7³0 x+1 (4) Û 7Ê xÊ 12 (*) ĐK: Û Bỡnh phương hai vế (4), ta được: x+1 =12-x+x-7+2 Û 2 (4') .Với (*) Bỡnh phương hai vế (4'), ta được : 4()=x2 -8x +16 Û Giải ra được: x1= 8,x2 = Thỏa món (*) Vậy: S = VẤN ĐỀ 3: Khai thỏc kết quả một bài túan Vớ dụ 4.1 (trớch SKKN năm học 2005-2006) Trong vớ dụ 4.1f. Ta cú: = 4-2.2+3 =22-2.2+()2 = (2-)2 =>==2-(vỡ 2->0) Nhận xột: Baứi toaựn laứ ruựt goùn caực bieồu thửực chửựa CBH, nhưng bieồu thức dửụựi daỏu khoõng phaỷi laứ một bỡnh phửụng. Nhử vaọy ủeồ ruựt goùn ( ủửa 7- 4 ra ngoaứi daỏu ) ta phaỷi bieỏn ủoồi 7- 4 thaứnh bỡnh phửụng cuỷa moọt hieọu ủể aựp duùng HẹT = ữ A ữ Khai thaực baứi toaựn : Haừy aựp duùng caựch giaỷ treõn vaứ xeựt tieỏp caực baứi taọp sau : BAỉI TOAÙN 1.1 : Ruựt goùn caực bieồu thửực (Baứi 100 SBT 9 / T 19 ) A = + B = + Phaõn tớch baứi toaựn: Baứi toaựn vaón laứ ruựt goùn bieồu thửực chửựa CBH. Tuy nhieõn, moói bieồu thửực luực naứy laùi coự phaàn phửực taùp hụn, nhửng moói bieồu thửực thaứnh phaàn trong hai bieồu thửực ủaừ cho vaón coự daùng nhử caực bieồu thửực ủaừ xeự ụỷ treõn. Nhử vaọy, việc ruựt goùn A, B seừ khoõng khoự khaờn . Caựch giaỷi : a) A = + = 2- + A = 2- + - 1 A = 1 Ta coự : 15 - 6 = 32 - 2.3 + ( )2 = (3 - )2 33 - 12 = 32 - 2.3 .2 + (2 )2 = (3 - 2 )2 => B = + B = ữ 3 - ữ + ữ 3 - 2ữ B = BAỉI TOAÙN 1.2 : Chửựng minh Baứi 15/ 5- SBT 9/ TI : b) - = - 2 d) - = 4 b) Ta coự : = = => -= - = ữ - 2ữ - = - 2 - = -2 ( ủpcm ) d) Ta coự : = = = ữ 4 + ữ => - = ữ 4 + ữ - = 4 + - = 4 ( ủpcm ) Nhaọn xeựt: Trong chửụng trỡnh toaựn 9 coự raỏt nhieàu baứi taọp daùng treõn vaứ caựch giaỷi tửụng tửù, chaỳn haù : Baứi taọp 21/ T6; Baứi 64/ T12; Baứi 98/ T18 -SBT 9 ……Vụựi caựch giaỷi nhử treõn ta coự theồ tửù ủaởt ra caực baứi toaựn tửụng tửù ủeồ cho caực em hoùc sinh luyeọn taọp Khai thaực tieỏp baứi toaựn VD4.1: ễÛ treõn, baứi toaựn yeõu caàu ruựt goùn bieồu thửực ta haừy thay ủoồi moọt chuựt, chaỳng haùn: Ruựt goùn bieõỷu thửực M = Neỏu aựp duùng caựch giaỷi ụỷ treõn, tửực laứ phaỷi bieỏn ủoồi BT thaứnh bỡnh phửụng cuỷa moọt hieọu. Nhử theõự seừ gaởp khoự khaờn, nhửng ủeồ yự ta coự: = = => M = = = M = 1- Giờ ta haừy xeựt baứi toaựn ụỷ moọt mửực ủoọ khaực sau ủaõy: BAỉI TOAÙN 1.3 : Ruựt goùn bieồu thửực P = - (Thi vaứo lụựp 10 Chuyeõn Nguyeón Du naờm 2000 – 2001 ) Phaõn tớch baứi toaựn: Baứi toaựn yeõu caàu ruựt goùn bieồu thửực P gaàn gioỏng vụựi hai bieồu thửực A vaứ B ủaừ xeựt ụỷ baứi toaựn 1.1 .Tuy nhieõn, mửực ủoọ coự phaàn phửực taùp hụn. Vỡ moói bieồu thửực dửụựi daỏu laùi laứ moọt phaõn thửực vaứ do ủoự, ta cuừng seừ phaỷi bieỏn ủoồi caực bieồu thửực ủoự veà daùng luyừ thửứa baọc hai . Caựch giaỷi : Ta coự : + 3 - 2 = (–1)2 + 3 + 2= (+1)2 + 17 - 12 = ( 3 - 2)2 + 17 +12 = ( 3 + 2)2 => P = - = - = ữ ữ - ữ ữ = - Truùc caờn thửực ta ủửụùc : P = 2 Khai thaực baứi toaựn: Vụớ vieọc aựp duùng caựch giaỷi caực baứi toaựn ụỷ treõn, ta ủaừ tớnh ủửụùc giaự trũ cuỷa bieồu thửực P khoõng maỏy khoự khaờn. Vaỏn ủeàứ laứ: Neỏu maóu cuỷa caực bieồu thửực khoõng theõỷ bieỏn ủoồiõ veà luyừ thửứa baọc hai thỡ sao ? Haừy xeựt tieỏp baứi toaựn sau . BAỉI TOAÙN 1.4 : ( BT 72 / T14 – SBT 9/T1 ) Tớnh giaự trũ bieồu thửực Q = + + Phaõn tớch baứi toaựn: Baứi toaựn yeõu caàu tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực laứ toồng cuỷa ba phaõn thửực, moói phaõn thửực trong toồng coự tửỷ laứ 1 vaứ maóu laứ toồng cuỷa hai CBH vaứ caực soỏ dửụựi caờn hụn keựm nhau moọt ủụn vũ. Bieồu thửực cuừng laứ moọt daùng toaựn khaự quen thuoọc . Caựch giaỷi : Truùc caờn thửực Tửứng bieồu thửực