Đề tài Một số dạng bài tập chương phương pháp toạ độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Mã số: ................................ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tâm Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục 1 - Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN R - Lĩnh vực khác: 1 Có đính kèm: 1 Mô hình 1 Phần mềm 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác Năm học: 2011 – 2012 Tên đề tài SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên: Nguyễn Hồng Tâm Ngày tháng năm sinh: 17/05/1985 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: B7/c, tổ 9, khu phố 4, phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai. Điện thoại: 0613 834289 / 0985 072 513 Fax: E-mail: hongtam@nhc.edu.vn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Năm nhận bằng: 2006 Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán THPT. Số năm có kinh nghiệm: 06 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không có. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, của Hình học nói riêng, không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức căn bản mà còn phải giúp cho học sinh rèn luyện các kỹ năng cần thiết và phát triển tư duy. - Theo phân phối chương trình bộ môn toán THPT, lớp 12 chỉ có 1,5 tiết hình học mỗi tuần.Với thời lượng hạn chế như vậy, giáo viên và học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc dạy và học bộ môn Hình học, đặc biệt là phần Phương pháp toạ độ trong không gian của lớp 12 . Do đó, việc hệ thống lý thuyết, phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán trong chương này theo đúng Chuẩn kiến thức và kỹ năng là thực sự cần thiết, giúp cho giáo viên và học sinh có tài liệu phục vụ cho việc dạy và học đạt kết quả cao nhất. Thiết nghĩ, trong mỗi tiết học, cùng với tài liệu học tập này, giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ năng giải toán, kỹ năng suy luận cho học sinh, thông qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học, và có một hệ thống bài tập phù hợp với khả năng để luyện tập thường xuyên. - Trong quá trình dạy học, tôi luôn cố gắng tìm tòi các ví dụ điển hình, tổng hợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tôi đã viết ra chuyên đề “Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian” TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian được tổng hợp từ hai bộ sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 (Ban cơ bản và Ban khoa học tự nhiên) do Bộ giáo dục ban hành. - Các kỹ năng giải toán Hình học tọa độ ở mức độ trung bình. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Giáo viên cần chuẩn bị tốt các yêu cầu sau: - Nghiên cứu thật kỹ Chuẩn kiến thức và kỹ năng để xác định kiến thức chuẩn cần phải dạy cho học sinh. - Cần nghiên cứu thêm các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây, trong đó hình học tọa độ trong không gian chiếm 1/5 tổng số điểm (2 điểm). Câu hỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến thức (kiến thức cơ bản). - Nội dung của chuyên đề đảm bảo các kiến thức, kỹ năng trọng tâm của chương Phương pháp tọa độ trong không gian, cụ thể gồm các nội dung sau: 1) Hệ trục toạ độ trong không gian - Các phép toán về tọa độ vectơ và toạ độ điểm: tổng, hiệu của hai vectơ, tích của một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ. - Khoảng cách giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng. - Góc giữa hai vectơ. 2) Phương trình mặt phẳng - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. - Phương trình tổng quát của mặt phẳng. - Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Góc giữa hai mặt phẳng. 3) Phương trình đường thẳng - Vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của một đường thẳng. - Vị trí tương đối của hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Góc giữa hai đường thẳng. 4) Phương trình mặt cầu - Phương trình của mặt cầu. - Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. - Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu. Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz) Hệ gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là . O: gốc tọa độ : trục hoành : trục tung : trục cao 2. Tọa độ của vectơ trong không gian 2.1. Định nghĩa: Với định nghĩa trên, ta có: 2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian Cho và số thực k a) b) c) d) cùng phương () (với điều kiện: ) e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: Biểu thức tọa độ: Hệ quả: f) Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ có tọa độ xác định như sau: Tính chất: và và cùng phương đồng phẳng Ứng dụng: Diện tích tam giác: Thể tích khối hộp: Thể tích khối tứ diện: 3. Tọa độ của điểm trong không gian 3.1. Định nghĩa: Với định nghĩa trên, ta có: 3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian Cho Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ . a) Tìm tọa độ . b) Tìm tọa độ . c) Tìm tọa độ thỏa . Giải: a) Từ định nghĩa tọa độ của vectơ suy ra . b) Gọi Vậy c) Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm và tam giác ABC với . a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng. c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện. d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC. Giải: a) Gọi Vì các điểm A, B, C không thẳng hàng nên một điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là: Vậy . c) A, B, E thẳng cùng phương Vậy b) SABC là một tứ diện khi và chỉ khi S, A, B, C không đồng phẳng Ta có: không đồng phẳng, suy ra điều phải chứng minh. c) Gọi h là chiều cao của tứ diện S.ABC kẻ từ đỉnh S. Ta có: Suy ra BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm a) Tìm tọa độ các véc tơ: . b) Tìm tọa độ ; ; điểm E thỏa c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam giác ABC. d) Tính các góc của tam giác ABC. e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của tam giác ABC. f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C. Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm . a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0). a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD. d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D thuộc trục Oy và ba đỉnh .Biết rằng tứ diện có thể tích bằng 5 đơn vị thể tích. Tìm toạ độ đỉnh D. Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp với .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng - Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với . - Nếu hai vec tơ khác , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng - Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng: , với Trong đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. - Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát: Xét mặt phẳng có phương trình tổng quát: , với Các hệ số Phương trình (a) Tính chất mặt phẳng (a) D = 0 (a) đi qua gốc toạ độ O A = 0 (a) // Ox hoặc (a) É Ox B = 0 (a) // Oy hoặc (a) É Oy C = 0 (a) // Oz hoặc (a) É Oz A = B = 0 (a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy) A = C = 0 (a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz) B = C = 0 (a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz) (Tương tự cho các trường hợp khác) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm ) là: 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng và : Hai mặt phẳng và lần lượt có vectơ pháp tuyến là , . · và cắt nhau Û và không cùng phương (nếu ) · // Û Û (nếu ) · ^ Û · º Û Û (nếu ) 5. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng và : : : Gọi là góc giữa và . Ta có: 6.Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng : BÀI TẬP Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng- Phương pháp: Tuỳ theo điều kiện của từng bài toán, ta có thể chọn một trong số các cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ một điểm mà mặt phẳng đi qua và toạ độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là: Chú ý: Nếu là một một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và trong đó hai vectơ khác , không cùng phương với nhau thì ta có thể chọn . Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: , với Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện. Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số a, b, c thoả điều kiện. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4). Giải Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(5; 1; 3) và nhận làm VTPT có phương trình là: Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3). Giải Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm của đoạn AB là I(3; 2; 5) và có VTPT có phương trình là: Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt phẳng (Q): . Giải Cách 1: Vì (P) song song (Q) nên (P) nhận VTPT của (Q) là làm VTPT Þ (P): Cách 2: Vì (P) song song (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x – y + 3z + c = 0 (P) qua M(2; –1; 2) Þ c = - 11 (thoả điều kiện) Vậy (P): Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với (Q): . Giải Mặt phẳng (Q) có một VTPT là . Gọi là một VTPT của mặt phẳng (P). Ta có: Do đó có thể chọn Þ (P): BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1) a) Viết phương trình mặt phẳngqua A và vuông góc với BC b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC. Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm và song song với mặt phẳng . b) đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng . c) đi qua và vuông góc với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng . d) đi qua và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng và . e) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng và và vuông góc với mặt phẳng. f) đi qua điểm và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC. g) đi qua điểm và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn thẳng bằng nhau. Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với sao cho: a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. b) OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng- CÁC VÍ DỤ Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau: (P): và (Q): Giải (P)//(Q) Û Û BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng và trong mỗi trường hợp sau : a) : và : . b) : và : . c) : và : . d) : và : . Bài 2: Cho ba mặt phẳng : : a) Tìm m để vuông góc . b) Tìm m để song song . c) Tìm m và n để trùng . Bài 3: Tìm góc tạo bởi các cặp mặt phẳng sau: a)  : x + y – 5z + 1 = 0 và  : 5x + y – 3z = 0 b)  : 2x – 2y + z + 3 = 0 và  : z + 2 = 0 c)  : x – 2z + 1 = 0 và  : y = 0 Bài 4 : Cho mặt phẳng : . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và song song . b) Tính góc tạo bởi và . Dạng 3. –Khoảng cách- Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6). Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Giải Ta có: Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận làm VTPT có phương trình: Đường cao DH hạ từ đỉnh D của tứ diện chính là khoảng cách từ D đến (ABC) BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh, và . a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A. b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt phẳng (ABC). Bài 2: Cho hai mặt phẳng và . Tìm trên Oz điểm cách đều và . Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: và . Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng , biết rằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng 4. Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm , và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) bằng . Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng : và : . Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng qua điểm . Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của song song với hoặc chứa trong . - Nếu hai vec tơ khác , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng là . 2. Phương trình của đường thẳng. a)Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng D đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là : Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường thẳng. b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng D là: Chú ý: Đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (b): (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có một vectơ pháp tuyến (b): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có một vectơ pháp tuyến Điểm M (x ; y ; z) Î D Û Tọa độ M thỏa hệ phương trình : Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên D. Khi đó D có một vectơ chỉ phương là: 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng: D1 đi qua A và có vectơ chỉ phương . D2 đi qua B và có vectơ chỉ phương . Ta có các trường hợp sau: D1 và D2 cùng nằm trong một mp Û [,]. = 0 D1 và D2 cắt nhau Û D1 và D2 song song với nhau Û D1 và D2 trùng nhau Û D1 và D2 chéo nhau Û [,].≠ 0 Nếu và thì số giao điểm của hai đường thẳng trên là số nghiệm của hệ : Hệ vô nghiệm Û D1 và D2 song song với nhau hoặc chéo nhau. Hệ có một nghiệm Û D1 và D2 cắt nhau Hệ có vô số nghiệm Û D1 và D2 trùng nhau 4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho hai đường thẳng vàcó vectơ chỉ phương lần lượt là : và Chú ý: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt . Góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (α) được tính bằng công thức: 5. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. a) Cho đường thẳng D đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương và điểm M. Khi đó : b) Cho hai đường thẳng D1 và D2 chéo nhau . D1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương D2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2 được tính bằng công thức sau: BÀI TẬP Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng- Phương pháp: Cách 1: Xác định toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua và toạ độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là: Cách 2: Xác định hai mặt phẳng và có giao tuyến là đưởng thẳng cần tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4). Giải Đường thẳng AB đi qua A(2;3;–1) và nhận làm VTCP có thương trình tham số là: Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng D đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng . Giải Vì D ^ (P) nên một VTCP của D là = (2;–3;6) Þ PTTS của D: BÀI TẬP Viết phương trình tham số của đường thẳng D trong mỗi trường hợp sau: Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương = (1 ; – 4 ; – 5). Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0). Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (a): x + y – x + 5 = 0. Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d: . Viết phương trình tham số của đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của d: lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz). Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (b): x + 3y – 2z + 3 = 0. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α). Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (a): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: và mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Dạng 2. –Vị trí tương đối. Ví dụ: Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh D1 và D2 chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa D1 và D2. Giải a) Đường thẳng D1 đi qua điểm và có VTCP . Đường thẳng D2 đi qua điểm và có VTCP . Suy ra các vectơ không đồng phẳng. Do đó, D1 và D2 chéo nhau. b) BÀI TẬP Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau: d: và d¢: d: và d¢: d: và d¢: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a), (β) với: (a): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0 (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0 Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 và d2. Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2: d1: và d2: Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Lập phương trình đường thẳng D Ì (P) đồng thời cắt cả d1 và d2. Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: d1: và d2: Lập phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2. Dạng 3: Khoảng cách và góc Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng D đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương và đi qua điểm A. Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau: Cách 1: Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng D. Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Phương pháp: Cho đường thẳng D song song với mặt phẳng (P). Ta có: Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng D (chọn M từ phương trình cuả D) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2. D1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương D2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: - Lập phương trình mặt phẳng (a) chứa D1 và song song D2. - Lấy một điểm A tuỳ ý trên D2. - Ta có: . Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng: Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm . Hãy tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB. Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng . Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng . a) Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng . b) Tính khoảng cách giữa và . Bài 5: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. : : Bài 6: Tìm góc tạo bởi cặp đường thẳng : và  : Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng : và mặt phẳng  : x + y – z + 2 = 0. Bài 8 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . a) Tìm giao điểm M của d và (P). b) Viết phương trình đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) sao cho vuông góc với d và khoảng cách từ M đến bằng . Dạng 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2 có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Để viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: Chuyển phương trình của D1 và D2 về dạng tham số và Trên D1 lấy một điểm bất kỳ là . Trên D2 lấy một điểm bất kỳ là . MN là đường vuông góc chung của D1 và D2 khi thoả mãn Giải hệ phương trình trên ta tìm được , từ đó tìm được toạ độ M và N. Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2 qua M và N. Cách 2: Đường vuông góc chung của D1 và D2 có một vectơ chỉ phương . Chọn điểm A thuộc D1. Lập phương trình mặt phẳng chứa và D1 ( qua A và có một vectơ pháp tuyến ). Xác định toạ độ điểm M là giao điểm của và D2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2 qua M và nhận làm vectơ chỉ phương. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau . Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Giải Gọi là đường vuông góc chung của và với Khi đó: Vì nên Đường thẳng PQ : Vậy phương trình đường vuông góc chung của và là BÀI TẬP Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2: d1: và d2: a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: d1: và d2: a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: d1: và d2: a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau đồng thời vuông góc với nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng. Bài toán 1: Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng. Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng , ta làm như sau: Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với . Ta có . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và của ta sẽ tìm được toạ độ điểm H. Bài toán 2: Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng. Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng , ta làm như sau: Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng . M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’. Bài toán 3: Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng. Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng , ta làm như sau: Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với . Ta có . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và của ta sẽ tìm được toạ độ điểm H. Bài toan 4: Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng. Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng , ta làm như sau: Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng . M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’. Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (P): . a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). b) Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P). c) Tính khoảng cách từ M đến (P). Giải a) Gọi D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). D: Þ H(–1; 2; 0). b) M¢ đối xứng với M qua (P) ÞH là trung điểm của MM¢ Û ÛM¢(–3;0;–2) c) d(M, (P)) = BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz,có mặt phẳng . a)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng. b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng . Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường thẳng .Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng . Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng .Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d .Xác địn