Đề tài Một số dạng về bài toán viết phương trình đường thẳng

Sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG VỀ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ thực tiễn dạy học phổ thông học phải đi đôi với hành. trong chương trình hình học lớp 12 bài toán viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó, tuy nhiên để làm bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lôgic. Là dạng toán chiếm tỉ lệ nhiều trong phần hình học giải tích trong không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi đại học, cao đẳng. Là giáo viên đang công tác tại trường THCS & THPT Bàu Hàm, đa số là học sinh ở mức độ trung bình – yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này, đặc biệt là trong việc tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Do đó để giúp các em không bị khó khăn khi gặp dạng toán này, thiết nghĩ nên tóm tắt lại phương pháp phân loại lại bài tập từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và vận dụng làm bài tốt hơn. II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1. Cơ sở lý luận Trong thực tế giảng dạy nếu chỉ cung cấp kiến thức mới mà làm các bài tập mà không chú ý tới các dạng của bài toán thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi gặp những dạng toán được phát triển từ dạng toán ban đầu thì học sinh sẽ găp khó khăn. Đặc biệt là những học sinh thuộc dạng trung binh – yếu, tư duy của các em bị hạn chế. Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ bài tốt tôi thiết nghĩ phải nên tổng hợp lại các dạng toán cho học sinh sau khi đã giúp học sinh giải các tập để học sinh có thể vận dụng tốt khi thi gặp phải những dạng toán tương tự. Để thực hiện đề tài này, sau khi học sinh đã làm bài tập sách giáo khoa, tôi giao nhiệm vụ cho các tổ một số dạng để học sinh trong tổ thảo luận và tóm tắt dạng toán và làm những ví dụ tôi yêu cầu, sau đó tổng hợp các tổ lại và tiến hành nhận xét và chỉnh sữa lại cho hoàn chỉnh. Thời gian để thực thiện đề tài là những tiết bài tập và học tăng tiết và những buổi ôn thi tốt nghiệp. 2. Một số kiến thức cần lưu ý: 1) Véctơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mp() được gọi là véctơ pháp tuyến của mp (). 2) Nếu 2 véctơ là 2 véctơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp() thì véctơ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (). 3) Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (). Khi đó mp() có một véctơ pháp tuyến là . 4) Mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến thì mp() có phương trình là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. 5) Nếu () đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với thì phương trình mặt phẳng (ABC) là (1). Phương trình (1) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. 6) Véctơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. 7) Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)d  và có vectơ chỉ phương của d là = (a; b ; c ) thì: * Phương trình tham số của đường thẳng d là : ;( t là tham số) * Phương trình chính tắc của d là : ; (a.b.c 0 ) 8) Cho hai điểm A(xA;yA; zA) và B(xB;yB; zB). Ta có: a) . b) Tọa độ trung điểm I của AB là Quy ước: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng kí hiệu là Véc tơ chỉ phương của đường thẳng kí hiệu là 3. Nêu phương pháp chung để giải bài toán Cần lưu ý cho học sinh: Để viết được phương trình đường thẳng d thì phương pháp chung là phải xác định được một véctơ chỉ phương của đường thẳng và tọa độ một điểm mà đường thẳng đi qua, sau đó dựa vào công thức của định nghĩa (trang 83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng đó. 4. Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết véctơ chỉ phương và đi qua điểm M0(x0;y0;z0). Hướng dẫn: * Phương trình tham số của đường thẳng d là : ;( t là tham số) * Phương trình chính tắc của d là : ; (a.b.c 0 ) Ví dụ: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) có véc tơ chỉ phương =(3; -1; -2) b/ d đi qua góc tọa độ và có véc tơ chỉ phương =(3; 1; -2) Lời giải a/ Ta có phương trình tham số của d là : ( t là tham số ) phương trình chính tắc của d là : b/ phương trình tham số của d là ( t là tham số) phương trình chính tắc của d là Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B cho trước. Hướng dẫn - Véc tơ chỉ phương của d là - Chọn điểm A hoặc B là điểm mà d đi qua . ( Đưa về dạng 1) Ví dụ: Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau : a/ d đi qua A(-2; 1; 5) và B(-1; 2; 0 ) b/ d đi qua M(-1, 2, 3) và gốc tọa độ. Lời giải a/ Do d đi qua A và B nên véc tơ chỉ phương của d là =(1; 1; -5) Lấy A(-2; 1; 5) d . phương trình tham số của d là ( t là tham số ) b/ Do đi qua M và gốc tọa độ O nên véc tơ chỉ phương của d là =(-1; 2; 3) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 cho trước và vuông góc với mặt phẳng (). Hướng dẫn B1: Tìm vectơ pháp tuyến của mp() B2 : Do d vuông góc với () nên của () là của d. B3: đường thẳng d đi qua điểm M0 và nhận làm vectơ chỉ phương. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua M(2; -1; -3) và vuông góc với (): x + 2y – 3z + 1 = 0 b/ d đi qua N(0; 2; -3) và vuông góc (Oxy) Lời giải a/ do d vuông góc với () nên ta chọn = = (1; 2; -3) là vectơ chỉ phương của d đường thẳng d đi qua M(2;-1; -3) và nhận véctơ = (1; 2; -3) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là (t là tham số) b/ Do d (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là =(0; 0; 1) phương trình tham số là (t là tham số) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng .(M) Hướng dẫn B1 : Ta có chính là B2: đường thẳng d đi qua M và nhận là vectơ chỉ phương. Ví dụ:: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với : ( t là tham số) b/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với : c/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với trục ox. Lời giải a/ Do d // vec tơ chỉ phương của d là = (1; 2; -3) phương trình tham số của đường thẳng d là: ( t là tham số) b/ Do d // vec tơ chỉ phương của d là = (3; 2; 4) phương trình tham số của đường thẳng d là: ( t là tham số) c/ Do d // Ox vec tơ chỉ phương của d là = (1; 0; 0) phương trình tham số của đường thẳng d là: (t là tham số) Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 cho trước và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước. Hướng dẫn B1: Tìm vectơ . B2: Vec tơ chỉ phương của d là = [P, Q] B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0 và nhận làm vectơ chỉ phương. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng : (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0. Lời giải Ta có P = (2; 3; -2); Q=(1; -3; 1) Do d //(P) và d//(Q) vec tơ chỉ phương của d là = [P, Q]= (-3; -4; -9) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 cho trước, song song với hai mặt phẳng (P) và vuông góc với d’ cho trước.(d’ không vuông góc với (P)) Hướng dẫn B1: Tìm vectơ . B2: Vec tơ chỉ phương của d là = [P, ] B3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0 và nhận làm vectơ chỉ phương. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 0; -1), song song (P): 3x – 2y + z + 1 = 0 và vuông góc với d’: . b/ d đi qua điểm M(-1; 1; 3) song song với(Oxz) và vuông góc với d’: Lời giải a/ Ta có : P = (3; -2; 1) và = (2; 3; 4 ) Do d//(P) và dd’ vec tơ chỉ phương của d là = [P, ] = (-11; -10; 13) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) b/ Ta có : = (0; 1; 0) và = (3; -1; 2 ) Do d//(Oxz) và dd’ vec tơ chỉ phương của d là = [,] = (2; 0; -3) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 cho trước, vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 không cùng phương. Hướng dẫn B1: Tìm vectơ chỉ phương của d1 và d2 là và . B2: vec tơ chỉ phương của d là B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0 và nhận làm vectơ chỉ phương. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2; -3; 4) và vuông góc với d1: ( t là tham số ) và d2: Lời giải Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là 1 = (-3; 1; 2) và 2 = (2; 5; 3 ) Do d d1 và dd2 vec tơ chỉ phương của d là =[1, 2]= (-7; 13; -17) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cho trước , vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2. Phân tích bài toán : - do N d2 và N d - Khi đó là vec tơ chỉ phương của d .1 = 0 tọa độ điểm N Hướng dẫn giải : B1: Xác định dạng toạ độ điểm N d2 theo tham số t B2: Lập véc tơ =? , xác định vec tơ chỉ phương của d1 B3: do d d1 .1 = 0 toạ độ điểm N B4: d là đường thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 2) Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 3) vuông góc với d1: và cắt d2 : ( t là tham số) Lời giải: Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 là :1 = (1; 2; 1) Do d cắt d2 N(-3; 2 - t; 1+ t ) d = (-1; 1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương của d do d d1 .1 = 0 t = -1 = (-1; 2; -3) phương trình tham số của d là : ( t là tham số) Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Hướng dẫn B1: Chỉ phương của d là chỉ phương của d1 và d2 (Do song song) B2: Xác định toạ độ điểm Md1, N d2 toạ độ trung điểm I của MN d. B3: Viết phương trình thẳng d theo dạng 2 Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: ( t là tham số ) và d2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. Lời giải Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phương của d là = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) d phương trình tham số của d là ( t là tham số ) Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 cho trước. Hướng dẫn B1: Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại M và N dạng toạ độ của M và N ? B2 : d vuông góc (P) pháp tuyến P của (P) cùng phương toạ độ của M, N ( Đưa bài toán về dạng 9) Ví dụ: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d . biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1:  ; d2: ( t và t’ là tham số ) Lời giải: Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t) d cắt d2 tại N toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’) =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3) Pháp tuyến của (P) là P= (1; 2; 1) Do d vuông góc với (P) và P cùng phương. t= và t’= M(; ; ) d1 , =(; ; ) chỉ phương của d là =(1; 2; 1) phương trình tham số của d là : ; ( t là tham số ) Dạng 11: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P). Hướng dẫn B1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) B2: khi đó Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của A(0, 1, -2) lên mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 Lời giải Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là Do M là hình chiếu vuông góc của A lên (P) nên tọa độ điểm Xét phương trình : t – 2(1 – 2t) + 2(-2 + 2t) – 1 = 0 t = Vậy Bài tập tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N. Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng () : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng () : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với () Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4). Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) Bài 8: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1: và d2: Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng d1: (t R); d2: (t’ R ) Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d2: (t R) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt cả hai đương thẳng d1 và d2. Bài 11: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phương trình đương thẳng d song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt hai đường thẳng d1: , d2: Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vuông góc với đường thẳng d1: và cắt đường thẳng d2: (t R) Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d1: , d2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2. Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: , viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d. Bài 15: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d1, d2 và thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1: ; d2: III. Kết quả thực hiện Đề tài thực hiện trong Năm học 2010 – 2011 cho hai lớp 12A1và 12A4, tôi nhấn thấy đã thu được kết quả rất khả quan, các em nắm bài tốt hơn và điểm cao hơn so với hai lớp 12 năm học 2009 – 2010 và đặc biệt trong kỳ thi tốt nghiệp năm học 2010 – 2011 đã làm rất tốt phần hình học giải tích trong không gian. Kết quả bài kiểm tra 45 phút của chương : phương pháp tọa độ trong không gian của hai lớp 12 năm học 2010 – 2011 như sau: Môn Lớp Giỏi Khá Yếu, kém Lớp Sĩ số SL % SL % SL % Toán 12A1 40 10 25 25 62.5 0 0 12A4 44 5 11.9 22 52.4 5 11.9 Qua đề tài này, đây chỉ là những bước khởi đầu có tính định hướng, gợi mở, còn việc thực hiện như thế nào còn thùy thuộc vào giáo viên và đối tượng học sinh . trong quá trình xây dựng đề tài do còn hạn chế về tài liệu nên không thể trách khỏi những sai sót. Rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của quý thầy cô đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Hình 12 – chương trình chuẩn – Trần Văn Hạo. NXB giáo dục. - Sách giáo khoa Hình 12 – Nâng cao – Đoàn Quỳnh. NXB giáo dục - Sách bài tập Hình 12 – NXB giáo dục - Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Toán 12 – Lê Hồng Đức. NXB đại học quốc gia Hà Nôi. - Phân dạng và phương pháp giải Toán Hình 12 – Trần Bá Hà. NXB đại học quốc gia Hà Nôi.