Đề tài Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH CÓ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải quyết bài toán. Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp nào. Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi, nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra. Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Đa số học sinh nhận thức còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa tham số và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa tham số rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình chứa tham số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy? Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày dưới dạng ôn tập không có ví dụ, còn bài tập chưa đầy đủ và thời gian rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa tham số đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Do đó tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: ‘’Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số’’. II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi: Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy một số học sinh rất có khả năng và muốn học hỏi từ thầy cô, bạn bè, sách tham khảo và trên mọi phương tiện truyền thôngBên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lẫn nhau giữa các đồng nghiệp để trau dồi, nâng cao chuyên môn. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản để giải toán. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình chứa tham số. Khó khăn: Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó học sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển và cũng không xét tuyển nên có nhiều học sinh còn yếu về học lực. Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở. Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số học sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi. Đa số học sinh không có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp gia đình. Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt. Trước khi làm sang kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 10 giải các bài tập về giải và biện luận các phương trình, tìm tham số để phương trình thoã điều kiện, là học sinh khó mà giải được hoặc giải chưa chặt chẽ và còn thiếu logic. III) NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 1. Cơ sở lý luận Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng”. Tôi cũng đồng tình với lời khẳng định và bài viết của thầy mà điều này tôi cũng đã từng trăn trở. Vai trò của người thầy (cô) giáo trực tiếp giảng dạy môn toán chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải bài toán. “Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính” (Trường Đại học Tổng hợp) đã viết “Có thể nói rằng sự linh hoạt trong suy nghĩ là một điều kiện cần thiết để đạt được kết quả tốt trong việc học toán”.Bên cạnh đó việc vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thuộc chương trình môn học cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu cũng là vấn đề quan tâm của GS. “Trần Tuấn Điệp” (Trường ĐHBK Hà Nội). Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa tham số. Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số. Cũng đã được đề cập đến nhưng còn lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp chặt chẽ hơn nữa là chưa phổ biến rộng rải trong quá trình giảng dạy. Do đó để sử dụng vấn đề này còn nhiều bất cập, không đồng bộ. Tôi đã quyết định sáng kiến ra đề tài này mong rằng giúp các em nhạy bén trong việc học toán. Từ đó nhằm rèn luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài: 2.1. Phương trình dạng: ax + b = 0 (*) a Lý Thuyết: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 a 0 : phương trình có nghiệm duy nhất a = 0 : : phương trình vô nghiệm. b = 0 : phương trình có nghiệm với mọi x Tìm giá trị của tham số để phương trình có số nghiệm cho trước phương trình (*) vô nghiệm Phương trình (*) có nghiệm với mọi x Phương trình (*) có nghiệm duy nhất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi Khi các hệ số a và b có chứa tham số thì bài toán trở thành bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số. hoặc một số câu hỏi có liên quan như tìm tham số để phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm đúng với mọi x, phương trình có nghiệm duy nhất, phương trình có nghiệm, Như vậy các em học sinh phải phân tích và đưa ra phương pháp cụ thể cho từng câu hỏi một cách logic cũng thật sự khó. Một số giải pháp sau giúp học sinh hiểu và vận dụng vào giải toán sẽ tốt hơn. Bài tập vận dụng: Một số ví dụ sau có thể giúp học sinh củng cố lại phần lý thuyết và có thể hình thành kỹ năng giải phương trình có chứa tham số. Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: ( m – 3 ) x + 2m – 1 = 0 (1) Bài toán này không dễ đối với một số học sinh ở lớp 10. Nếu không hiểu rõ về phần lý thuyết trên thì lời giải sẽ bị lủng củng. Giải VD1 : m – 3 = 0 m = 3 : (1) 0x + 5 = 0 : phương trình (1) vô nghiệm. m – 3 0 m 3 : (1) x = Kết luận : m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm. m 3 : phương trình (1) có một nhiệm x = Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm (m2 – 4m + 3) x + m – m2 = 0 (2) Gặp bài toán này có học sinh đi giải và biện luận sau đó chọn m thoã đề bài. Cách giải này chiếm quá nhiều thời gian so với yêu cầu của đề bài. Việc tìm điều kiện để phương trình vô nghiệm cũng không khó nhưng giải bài toán ngược thì cũng gây khó khăn cho đa số học sinh học theo kiểu máy móc, thiếu tư duy logic. Do đó các em phải biết: phương trình ax + b = 0 vô nghiệm Vậy phương trình (2) vô nghiệm Ví dụ 3: Cho phương trình (m + 5) x + m2 – 4m – 5 = 0 (3). Tìm m để phương trình : Có nghiệm với mọi x. Có nghiệm duy nhất. Giải Dựa vào phần lý thuyết trên và lập luận tương tự ví dụ 2 ta có các cách giải như sau: PT (3) có nghiệm với mọi x Vậy không tồn tại m để phương trình có nghiệm với mọi x. PT (3) có nghiệm duy nhất Vậy m – 5 thì PT (3) có nghiệm duy nhất là x = Ví dụ 4: Xác định m để phương trình : m2x + m – x + 1 = 0 (4) có nghiệm. Đối với bài toán này nhiều học sinh không đưa về dạng ax + b = 0 mà xem a = m2 và b = m – x + 1 là sai. Phải biết đưa về phương trình (m2 – 1)x + m + 1 = 0 (4’) với a = m2 – 1 và b = m + 1. Thực ra để phương trình có nghiệm thì phương trình đó có nghiệm với mọi x hoặc có nghiệm duy nhất Ta cũng dựa vào phần lý thuyết trên để tìm điều kiện phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi Chú ý học sinh thường hay quên trường hợp mà chỉ điều kiện cho trường hợp a 0 m2 – 1 0 Như vậy thiếu mất trường hợp m = – 1 thì PT (4) có nghiệm. Khi đó PT (4) có nghiệm khi và chỉ khi PT (4’) có nghiệm Bài toán này có thể xét theo hai trường hợp a) và b) của ví dụ 3 rồi lấy giao các giá trị của m lại chính là kết quả của bài toán đã cho. Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất (5) Nhiều học sinh còn gặp khó khăn trong cách giải bài toán này và dẫn đến sai xót như không điều kiện cho mẫu khác không hoặc khi tìm ra một nghiệm thì lại không đối chiếu điều kiện . Khi gặp bài toán trên có chứa biến ở mẫu nên ta phải điều kiện cho mẫu khác không và biết rằng nghiệm của phương trình phải thoả điều kiện đó. Với điều kiện đó ta quy đồng và bỏ mẫu đưa về dạng ax + b = 0. Sau đó tìm nghiệm duy nhất của phương trình và đối chiếu với điều kiện . Giải Điều kiện của phương trình (5) là hay . Với điều kiện đó ta có (5) (5’) Khi thì (5’) Giá trị x này là nghiệm của (5) nếu nó thoã điều kiện x 1. Ta có . Vậy Phương trình (5) có nghiệm duy nhất 2.2. Phương trình dạng : ax2 + bx + c = 0 (**) a. Lý Thuyết: Giải và biện luận phương trình : ax2 + bx + c = 0 (**) Khi a = 0 : (**) bx + c = 0 là phương trình đã biết Khi a 0 : (**) là phương trình bậc hai một ẩn với Nếu < 0 thì phương trình (**) vô nghiệm Nếu = 0 thì phương trình (**) có nghiệm kép: x = Nếu > 0 thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt: Tìm tham số để phương trình bậc hai có số nghiệm cho trước Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (**) trong đó a,b,c có chứa tham số. Để phương trình (**) vô nghiệm thì: hoặc Để phương trình (**) có một nghiệm duy nhất thì: hoặc Để phương trình (**) có nghiệm kép thì: Để phương trình (**) có hai nghiệm thì: Để phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt thì: Để phương trình (**) có nghiệm thì: hoặc hoặc Để phương trình (**) có nghiệm đúng với mọi x thì: Để phương trình (**) có một nghiệm đơn thì: b.Bài tập vận dụng: Sau khi đã hệ thống được các dạng toán liên quan đến phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 nên tôi đã đưa ra một số ví dụ nhằm giúp các em tự rèn luyện kỹ năng giải toán cho mình. Tôi đưa ra sang kiến này không phải chỉ giúp các em giải quyết những bài toán liên quan đến phương trình chứa tham số mà các em có thể linh hoạt để vận dụng vào giải các bài toán khác cần đến sự lập luận chặt chẽ nữa. Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình sau: (m + 2) x2 – 2m x + m – 3 = 0 (6) Khi gặp bài toán này đa số học sinh nghĩ ngay nó là phương trình bậc hai mà quên mất hệ số a còn chứa tham số nên a có hai khả năng xảy ra là bằng 0 hoặc khác 0. Khi a bằng 0 ta tìm m rồi thay vào phương trình (6) sau đó giải tìm x. Khi a khác 0 thì ta xét các trường hợp xảy ra của . Dựa vào tìm các giá trị của m và kết luận số nghiệm của phương trình. Giải: Khi m + 2 = 0 m = – 2 : (6) 4x – 5 = 0 Khi m + 2 với : (6) vô ngiệm : (6) có nghiệm kép : (6) có hai nghiệm phân biệt Kết luận: Khi m = – 2 : (6) Khi m = – 6 : (6) có nghiệm kép Khi m < – 6 : (6) vô ngiệm Khi : (6) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 7: Xác định m để phương trình sau: ( m2 – 3m + 2 ) x2 – 2 ( m – 1 ) x – 1 = 0 (7) a) Có một nghiệm đơn. b) Có một nghiệm duy nhất. Giải: Vì (7) là phương trình có các hệ số chứa tham số nên ta chưa khẳng định được phương trình bậc mấy. Do đó để phương trình có một nghiệm đơn thì các em phải nghĩ đến phương trình (7) là phương trình bậc nhất thì a = 0 và b 0. a) Để phương trình (7) có một nghiệm đơn thì: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (7) là phương trình bậc nhất hoặc là phương trình bậc hai có nghiệm kép. b) Để phương trình (7) có một nghiệm duy nhất thì: hoặc hoặc hoặc hoặc Ví dụ 8: Xác định m để phương trình sau: ( m2 – 5m + 6 ) x2 + 2 ( m – 3 ) x + 1 = 0 (8) a) Vô nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. Giải: *Khi a bằng 0 thì phương trình (8) trở thành dạng bx + c = 0. Để phương trình (8) vô nghiệm thì phương trình bx + c = 0 vô nghiệm. Do đó b = 0 vì c = 1 khác 0. *Hoặc khi a khác 0 thì phương trình (8) trở thành dạng ax2 + bx + c = 0. Để phương trình (8) vô nghiệm thì phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Do đó a 0 và < 0. a) Để phương trình (8) vô nghiệm thì: hoặc hoặc hoặc Để phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (8) phải thoả điều kiện gì? Đầu tiên (8) là phương trình bậc hai thì a khác 0 và phải thoả điều kiện biệt thức > 0. b) Để phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt thì: Ví dụ 9: Xác định m để phương trình sau: ( m + 1 ) x2 + 2 ( m – 3 ) x + m – 1 = 0 (9) a) Có nghiệm kép. b) Có hai nghiệm. Giải: Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình (9) phải là phương trình bậc hai thì a khác 0 và thoả thêm điều kiện = 0. Để phương trình (9) có nghiệm kép thì: Phương trình (9) có hai nghiệm thì (9) là phương trình bậc hai có hai nghiệm giống nhau hoặc khác nhau. Do đó (9) cần thoả các điều kiện như a khác 0 và . Để phương trình (9) có hai nghiệm thì: Ví dụ 10: Xác định m để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x : ( m2 – 6m + 8 ) x2 + ( 2m – 3 ) x + m – 2 = 0 (10) Để phương trình có nghiệm đúng với mọi x thì phương trình (10) không thể là phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc nhất. Phương trình không phụ thuộc vào x thì chỉ có các hệ số đồng thời bằng 0. Do đó phương trình được giải như sau: Giải : Để phương trình (10) có nghiệm đúng với mọi x thì: Vậy không tồn tại giá trị m thoả đề bài có nghiệm đúng với mọi x. Đôi lúc gặp các phương trình chưa có sẵn dạng ax2 + bx + c = 0. Mà khi đó ta có thể đưa về dạng phương trình ax2 + bx + c = 0 để giải. Ví dụ 11: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: (11) Giải Phương trình (11) là phương có chứa biến ở mẫu thức nhiều học sinh quên điều kiện mà quy đồng bỏ mẫu. Vậy khi giải phương trình thì nhận nghiệm có thể không phải là nghiệm của phương trình. Do đó việc đầu tiên là phải điều kiện cho phương trình có nghĩa. Sau đó xét trường hợp a bằng 0 xem phương trình có nghiệm không và thoả điều kiện không rồi mới nhân giá trị m thoả đề bài. Xét tiếp trường hợp a khác 0 thì căn cứ vào các trường hợp của ’ tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Điều kiện của phương trình (11) là x + 3 0 hay . Với điều kiện này ta có: (11) (11’) m – 2 = 0 hay m = 2 : (11’) trở thành phương trình : – 4 x – 12 = 0 có nghiệm x = – 3. Nghiệm này không thoả mãn điều kiện x – 3, nên phương trình (11) vô nghiệm. m – 2 0 hay m 2: Ta có ’ = 16m – 28. Nếu thì (11’) vô nghiệm. Do đó phương trình (11) vô nghiệm. Nếu thì (11’) có nghiệm kép x = – 7 (thoả điều kiện ). Do đó phương trình (11) có nghiệm. Nếu thì (11’) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình (11’) luôn có ít nhất một nghiệm thoả điều kiện . Suy ra phương trình (11) có nghiệm. Kết luận: Phương trình (11) có nghiệm . Một số phương pháp và có dạng bài tập tương ứng trên mong sao giúp các em học sinh rèn luyện cho mình kỹ năng giải và biện luận phương trình chứa tham số hay tìm các giá trị của tham số để phương trình có số nghiệm cho trước. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số là rất cần thiết. Để kiến thức được đầy đủ và có hệ thống hơn giúp học sinh tiếp thu dễ dàng hơn và vận dụng linh hoạt hơn trong quá trình giải toán, học toán. Qua một thời gian áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy tôi thấy được tâm trạng của các học sinh trở nên tự tin hơn trong kiểm tra cũng như trong thi cử. Đa số học sinh khi được trải nghiệm qua sáng kiến này thì cảm hứng học toán dâng tràn. Hứng thú, say mê các dạng toán mang tính tư duy này; giúp học sinh luôn luôn củng cố lại các kiến thức cũ và tiếp cận kiến thức mới. Việc học môn toán không còn là vấn đề nan giải nữa rồi làm cho các em trở nên phấn chấn và thoải mái hơn rất nhiều khi có tiết học toán; cô trò không còn thấy áp lực nữa. Sau một thời gian áp dụng sáng kiến này kết quả học tập của các em khả quan hơn. Giúp các em tự tin học lên các lớp trên và chuẩn bị hành trang thi tốt nghiệp và đại học. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Học toán đã khó,xong truyền đạt kiến thức cho học sinh lại càng khó hơn. Là một giáo viên dạy vùng sâu vùng xa như tôi thì những sáng kiến như thế này rất quan trọng. Làm cho học sinh yếu kém cũng có khả năng tiếp thu được một vài kiến thức; còn học sinh khá giỏi không cảm thấy nhàm chán và có điều kiện nâng cao kiến thức. Nếu sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng rộng rải thì tôi hy vọng rằng những học sinh nào có ý chí vươn lên, ham tìm tòi học hỏi sẽ đạt được kết quả khả quan . Trên đây tôi đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm trong học toán để đạt kết quả cao. Kinh nghiệm suy nghĩ khi học toán và làm toán cũng như việc rèn luyện kỹ năng giải toán một cách linh hoạt hơn. Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm nhiều mặt và có lẻ nói không bao giờ hết. Mong các bạn suy nghĩ về cách học của mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm ra phương pháp học tập tốt nhất để đạt nhiều kết quả. Tuy nhiên sáng kiến của tôi còn hạn chế và không thể không có sai xót kính mong quý vị, các đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến xây dựng để sáng kiến của tôi ngày một có hiệu quả cao.Tôi xin chân thành cám ơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính – Năm (1957 – 1997 ) - Tuyển tập 30 năm, Tạp chí toán học và tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo Dục. GS Trần Tuấn Điệp –Tháng 11 – 1998 - Tạp chí THPT khoa học tự nhiên – Bộ văn hoá thông tin. Trần Văn Hạo - năm 2009 - Sách giáo khoa Đại Số 10 – Nhà xuất bản Giáo Dục . Nguyễn Thái Hoè - Xuất bản năm 1999 - Toán học tuổi trẻ - Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo . Trần Văn Hạo( chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Lê Văn Tiến, lê Thị Thiên Hương – Xuất bản 2006 – Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao - Nhà xuất bản giáo dục và đào tạo. Vũ Tuấn (chủ biên), Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài - năm 2006 - Sách bài tập Đại Số 10 – Nhà xuất bản Giáo Dục . Xuân Mỹ, ngày 26 tháng 05 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Thị Thu Liền