Đề tài Một số phương pháp chứng minh các bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Bình Sơn –˜µ™— SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : NguyÔn C¶nh Th¾ng Năm học 2011 – 2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Bình Sơn –˜µ™— SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : NGUYỄN CẢNH THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục ¨ Phương pháp dạy học bộ môn : ¨ Phương pháp giáo dục ¨ Lĩnh vực khác ¨ Có đính kèm : ¨ Mô hình ¨ Phần mềm ¨ Phim ảnh ¨ Hiện vật khác Năm học 2011 – 2012 Sở GD&ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC œšµ› I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : 1. Họ và tên : NGUYỄN CẢNH THẮNG 2. Ngày tháng năm sinh : 13-03-1980 3. Nam, nữ : Nam 4. Địa chỉ : Ấp 1 –Bình Sơn –Long Thành _Đồng Nai 5. Điện thoại : Cơ quan : 0613533100 ĐTDĐ : 6. E-mail : 7. Chức vụ : Giáo viên 8. Đơn vị công tác : Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị : Cử nhân - Năm nhận bằng : 2005 - Chuyên ngành đào tạo : Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : - Số năm có kinh nghiệm : 5 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Phần một : THUYẾT MINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục ¨ Phương pháp dạy học bộ môn ¨ Phương pháp giáo dục ¨ Lĩnh vực khác ¨ MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong chương trình toán THPT và có nhiều ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức được đưa vào lớp 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) trong " chương IV - Bất Đẳng Thức, Bất phương Trình " với số tiết không nhiều .Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa đại số 10 không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng, không biết xoay xở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm được các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học...trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều hướng giải nhưng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhưng chỉ tại một chút thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy. II. THỰC TRẠNG TRUỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : 1. Thuận lợi : Được sự giúp đỡ của đồng nghiệp và sự quan tâm của nhà trường. 2. Khó khăn: Trường THPT Bình Sơn thuộc diện vùng sâu vùng xa của tỉnh Đồng Nai , học sinh tương đối yếu và không đồng đều nên việc dạy và học của thầy và trò rất khó khăn trong việc triển khai đề tài nay. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI : 1. Cơ sở lý luận : Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ...và cả trên thư viện toán điện tử ..vv..Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức. Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm. 2. Một số biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài : 1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức. 2). Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. 5). Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức. 6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh trường THPT Bình Sơn . 7). Những kết quả đạt được. Kết luận. IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM : Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". Dạy học chứng minh bất đẳng có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. Trong mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọ lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các dạng toán khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số,.... Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức; Đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai. Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục. Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn. V. KẾT LUẬN : Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". Dạy học chứng minh bất đẳng thức có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. Trong mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các dạng toán khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số,.... Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức; đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai. Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục. Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn. VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO : 1. Phương pháp giải toán Đại Số - Lê Hồng Đức Các chuyên đề bất đẳng thức –Phạm Hóa An 3. Phân loại và phương pháp giải bài tập Bất Đẳng Thức –Nguyễn Kiếm –Lê Thị Hương. 4. Sai lầm thường gặp & các sáng tạo trong giải toán - Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn - NXB Hà Nội. Bình Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Cảnh Thắng Phần hai : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục ¨ Phương pháp dạy học bộ môn ¨ Phương pháp giáo dục ¨ Lĩnh vực khác ¨ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chương I: Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , B A - B > 0. -Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. -Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. -Nếu ta có: A > B C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương. * A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. *A ≥ B là A > B hoặc A = B. *A ≠ B cũng là bất đẳng thức. -Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c a > c. Tính chất 2: a > b a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương > . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương > . Hệ quả: a > b ≥ 0: ≥ . Tính chất 8: a > b, ab > 0 < . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n > . 0 n < . III. Các hằng bất đẳng thức. 1) Dấu " = " xảy ra . 2) . Dấu " = " xảy ra . 3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra . Dấu " = " xảy ra 4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn: Dấu " = " xảy ra > 0. Dấu " = " xảy ra Dấu " = " xảy ra > 0. Dấu " = " xảy ra Dấu " = " xảy ra 5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng. * Bất đẳng thức côsi cho 2 số dương a,b. ta có : *Tổng quát : Cho n số dương Ta có: Dấu " = " xảy ra * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Cho hai bộ số và Ta có: Dấu " = " xảy ra Chương II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh, nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. Vấn Đề I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau: . Lập hiệu số: A - B. . Chứng tỏ A - B ≥ 0. . Kết luận A ≥ B. B.Bài tập Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức: a) b) > 0. Giải: a) Ta có: Do đó: b) Ta có: . = . = = Do đó: . Với a, b, c > 0. Bài 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1. Giải: Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 ) = . Dặt , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y≥ 0. Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1. Vấn Đề II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. A ≥ B A ≥ B ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B. B. Bài Tập Bài 1. Chứng minh các Bất đẳng thức: a) . b) > 0. Giải: a) .( bất đẳng thức đúng ). Vậy b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó: , ( bất đẳng thức đúng ). Vậy Với x, y > 0. Bài 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: . ( 1 ). . Vì ab > 0. . ( Vì a + b = 1 ). ( Vì a + b = 1 ). ( 2 ). Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh. C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: Với a, b > 0. m > n > . Với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. Vấn Đề III. phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức ( xem phần II. Chương I ). B. Bài tập. Bài 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: > Giải: Do > 1 ( 1 ). Bình phương hai vế: > 1 > 1 ( 2 ). Mặt khác: . ( 3 ). Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: > 1. Suy ra: > ( 4 ). Bình phương hai vế của ( 4 ): > . ( 5 ). Mặt khác: . ( 6 ). Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: > . Suy ra: > . Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức: Giải: Ta có: Dấu " = " xảy ra Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: ( 1 ). Tương tự : ( 2 ). ( 3 ). Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được: Vấn Đề IV. Phương pháp làm trội A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B. B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: > ( Với > 1 ). Giải: Ta có: > Tương tự: > .................. Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm. Bài 2. Chứng minh rằng: > Giải: Ta có: > = = Suy ra đpcm. Vấn Đề V. Phương pháp phản chứng. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta giả sử A < B, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng. B. Bài tập. Bài 1. Cho Chứng minh rằng: Giải: Giả sử > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được: > 4. ( 1 ) Mặt khác ta có: Mà: 2 ( giả thiết ), do đó ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ). Vậy phải có Bài 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có: < 0; < 0; < 0. < 0 < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm ) Vấn Đề VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số. A. Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với > 0. Chứng minh rằng: a) Nếu < thì: < . b) Nếu thì: Bài toán 2. Với > 0. Chứng minh rằng: a) b) c) * Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng. B. Ví dụ. Bài 1. Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: < 2. Giải: Vì là ba cạnh của một tam giác nên < , theo bài toán 1a) ta có: < ( 1 ). tương tự: < ( 2 ). < ( 3 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có: < Bài 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Vì > 0 > 0 và > 0. Theo bài toán 2b) ta có: đpcm. Bài 3. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Vì > 0 > 0; > 0; > 0. Theo bài toán 2c) ta có: đpcm. Vấn Đề VII. Phương pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối. A.Kiến thức cần nhớ. Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) . Dấu " = " xảy ra khi . b) . Dấu " = " xảy ra khi . Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu thì: Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi . Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) 2) Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng. B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: . Giải: Từ bài toán 1a) ta có: . * Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng: . Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: . Giải: Đặt x= , ta có: ( theo bài toán 2 ). Ta được: = . Vì và cùng dấu. . ( đpcm ). Bài 3. cho Chứng minh rằng: Giải: Vì: . Mà: . Suy ra: . Theo bài toán 1) ta có: . Vậy: . Vấn Đề VIII. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. A. Kiến thức cần nhớ. Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ): 1) . 2) . B. Ví dụ. Bài 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x+ y≥ . Giải: áp dụng bài toán 1) ta có: . Bài 2. Chứng minh rằng: . Giải: Áp dụng bài toán 2) ta có: Vấn Đề IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng. A. Phương pháp. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X = và Y = hoặc X = và Y = với là đa thức, phân thức mà các biểu thức có chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng . B. Ví dụ. Bài 1. Cho > 0. Chứng minh rằng: Giải: Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: . ( 1 ) Ta có: (vì > 0 ). . ( bất đẳng thức luôn đúng ). Vậy ( 1 ) được chứng minh ! Tương tự . ( 2 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm. Bài 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: . Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: . ( 1 ) Ta có ( 1 ) Vậy ( 1 ) đúng. Tương tự . ( 2 ) . ( 3 ) Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm. Vấn Đề X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: > 0. Giải: Gọi A là vế trái của bất đẳng thức. Cách 1. * Nếu thì A > 0. * Nếu x 0. Vậy ta có đpcm. Cách 2. A = . * Nếu , mà > 0. Nên A > 0. * Nếu x 0, còn > 0. Nên A > 0. Bài 2. Cho , thoả mãn: . Chứng minh rằng: . Giải: Xét hai trường hợp: 1) . 2) Trong ba số có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả sử < 1. Ta có . Vấn Đề XI. Phương pháp đổi biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc dẫ biết cách giải * Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng . ( a là hằng số, là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi biến , sau đó biểu diễn theo sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì . B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007) + ( x + 2009 ) 2. Giải: Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 )+( x + 2009 )= ( y - 1 )+( y + 1 ) = . * Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát : bằng cách đặt . Bài 2. Cho .Chứng minh rằng: . Giải: Đặt . Do Ta có: Dấu " = " xảy ra . Bài 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: . Giải: Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c. Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0. Suy ra Vậy . = . Vấn Đề XII. Phương pháp sắp thứ tự các biến. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi vai trò các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến, giúp tìm lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. Bài 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh rằng: . Giải: Vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử: 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1. Do đó: . ( 1 ). Mặt khác: . Mà nên Do đó: . ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm. Bài 2. Cho > 0. Chứng minh rằng: . Giải: * Nhận xét: Khi hoán vị vòng quanh thì bất đẳng thức cần chứng minh không đổi. Giả sử là số nhỏ nhất tức là . Ta có: Vậy ta được đpcm. Vấn Đề XIII. Phương pháp quy nạp toán học. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi . ta có thể vận dụng phương pháp quy nạp toán học. Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học: 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi . 2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi . Chứng minh bất đẳng thức đúng khi 3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi nguyên dương. B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: > , với mọi nguyên dương. Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là: > , ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với . Ta có: > > . Vậy bất > với mọi nguyên dương. Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: , với mọi nguyên dương. Giải: Với , ta có, hiển nhiên đúmg. Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là: .Ta cú: Mà: cùng dấu nên . Do đó: . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Vấn Đề XIV. Phương pháp phân tích số hạng. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có dạng , khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn hệ thức . Từ đó dễ dàng thấy rằng: . Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. Bài 1. Chứng minh rằng: < 1. Giải: Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: . Vậy ta có: < 1. ( đpcm ). Bài 2. Chứng minh rằng: < 1. Giải: Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: . Ta có: < 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. XV. Phương pháp véc tơ và hình học. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán bất đẳng thức mà biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất: 1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c. 2). Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin. 3). , dấu đẳng thức xảy ra > 0 ( tức cùng hướng ). 4). , dấu đẳng thức xảy ra khi ( tức cùng phương ) B. Ví dụ. Bài 1. Cho > 0. Chứng minh rằng: > . Giải: Một tam ∆ ABC có A = 1v, AB = , AC = . Theo định lý Pitago ta có: BC = AB + AC = BC = ∆ ABC có AB + AC > BC > Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a,luôn có: . Giải: Nhận xét: .. Mà . đpcm Chương III. Một số bài toán chọn lọc Bài 1. Chứng minh rằng: a) . b) . c) . d) . Hướng dẫn: a) . Dấu " = " không xảy ra nên ta có đpcm. b) Đặt y = x + 3. c) VT biến đổi được: . d) . Bài 2. Chứng minh rằng: a) . b) . c) . d) . Hướng dẫn: a) Nhân cả hai vế với 2, biến đổi tương đương. b) Biến đổi tương đương đưa về: (a2-b2)2(a4+a2b2+b4) 0 đúng với mọi a;b . c) VT bằng: . d) Chứng minh bài tóan phụ: với > 0 thỡ: . Áp dụng bài tóan trên với: . Bài 3. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: a) Chứng minh: . b) Chứng minh bài tóan phụ: . Bài 4. Cho đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: a) Chứng minh: . Mà: . b) Sử dụng hằng đẳng thức: . Bài 5. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) . Hướng dẫn: Chứng minh bài tóan phụ: . Bài 6. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) . a) Ta có a2+ab+b2 ab => . Tương tự  ; => b) Chứng minh BĐT riêng: . Bài 7. Cho > 0. Chứng minh rằng: a) . b) 2 < < 3. c) . d) . Hướng dẫn: a) BĐT côsi ( hoặc biến đổi vế trái ). b) CM bài toán phụ: Cho > 0, > . Chứng minh rằng: < . c) Đặt x = a + b; y = c + a; z = c + b với x, y, z > 0 . d) Đặt x = b + c + d, y = c + d + a, z = d + a + b, t = a + b + c; Với x, y, z, t > 0. Bài 8. Chứng minh rằng: a) > . b) < Giải: a) ta có: . =>>>