Đề tài Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Trong chương trình Toán ở phổ thông cơ sở (PTCS), phổ thông trung học (PTTH) và nhất là ở trong các đề thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng thường gặp nhiều bài toán về giải phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ. Ngay cả ở chương trình Đại học sư phạm hoặc Cao đẳng sư phạm cũng yêu cầu sinh viên phải học và nắm vững các kỹ năng này (ở các môn đại số sơ cấp, thực hành giải toan, phương pháp dạy học toán,). Tuy nhiên khi gặp loại toán này, đa số học sinh-sinh viên còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ, do đó không đạt điểm tố đa. Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ: Định lý 1: Phương trình tương đương với hệ: . Định lý 2: Bất phương trình tương đương với hệ: . Định lý 3: Bất phương trình tương đương với hệ: . Định lý 4: Bất phương trình tương đương với hệ: Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ: Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn. Một trong các nguyên tắc để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn. Thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để bổ dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình. Thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình và bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dạng hơn. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1). Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là Ta xét các khả năng có thể xảy ra sau đây: 1. Nếu : Khi đó (1)Û (2) Do nên hai vế của (2) không âm, ta có thể bình phương hai vế, khi đó ta được: Bất phương trình cuối cùng đúng với mọi x thoả mãn , vậy là nghiệm của bất phương trình đã cho. 2. Nếu : Khi đó 1+x³1-x . Khi đó ta có (1)Û Nghiệm nà bị loại. Vậy nghiệm của bất phương trình là . Phương pháp 2: Chia khoảng để xét các trường hợp. Nội dung của phương pháp này là đưa các bất phương trình căn thức về bất phương trình tích, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: (1). Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là x2-4³0Þ|x|³2. Khi đó ta có : (2). Xét phương trình , khi đó ta có : Xét dấu của vế trái của 2 ta có: -2 -13/6 2 3 - + - + Vậy nghiệm của bất phương trình là: x£-13/6 và x³3. Ví dụ 3: Giải bất phương trình: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là 10-x2³0Þ10 ³x2 Þ . Với điều kiện đó ta có: (1) (2) Xét phương trình : Xét dấu vế trái của (2) ta có: + + - 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: . Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thường có thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau: Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới. Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn. Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai). Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là. Đặt t=, do ³1 nên t³1. Khi đó ta có . Phương trình (1) trở thành: t=1,t=-3 (loại). Vậy ta có t=1 . Vậy ta có x=1. Ví dụ 5: Giải phương trình: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là(*). Đặt điều kiện a,b,c không âm, d dương. Khi đó ta có: . Khi đó với điều kiện (*), ta có : thoả mãn điều kiện sao. Đáp số: x=2. Ví dụ 6: Giải phương trình: (1). Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là. Đặt (điều kiện t³-1/2) Khi đó ta có: . Lờy (2) trừ đi (3) ta có: 7(x2-t2)+7(x-t)=t-xÞ(x-t)(7x-7t+8)=0Þ. Xét hai khả năng xảy ra: Nếu x-t=0Þt=x. Thay vào (2) ta có 7x2+7x=Þ14x2+12x-1=0 Þ. Do điều kiện x=t³ nên là nghiệm. Nếu 7x2+7t+8=0 , thay vào (2) ta có : 7x2+7x+8=0 Kết hợp với điều kiện t³, ta có . Đáp số: , . Nhận xét: Qua bài toán trên nếu muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường đưa về hệ phương trình đối xứng. Khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ. Ví dụ 7: Giải phương trình: (1). Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là . Đặt t=. Thay vào phương trình (1) ya có: 2(1-x)t=t2-2x+1-2x-1 hay t2-2(1-x)t-4x=0, ta coi đây là một phương trình bậc hai đối với t, khi đó ta có D’t=(1-x)2+4x=(1+x)2 Þt1=1-x+1+x=2, t2=1-x-1-x=2x. Xét hai trường hợp: Với t=2, từ đó suy ra x2+2x-1=22=4Þx2+2x-5=0Þ , thoả mãn điều kiện bài toán. Với t=2x, Þ , phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm . Ví dụ 8: Giải phương trình: (1). Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là . Khi đó (1) . Đặt , với điều kiện u³0, v³0, khi đó ta có: . Thay vào phương trình trên ta có: 5uv=2(u2+v2), suy ra 2u2-5uv+2v2=0, từ đay ta có u1=2v, u2= Xét hai trường hợp: Với u=2v, từ đó suy ra , , phương trình này vô nghiệm. Với u= Þ Còn thiếu Phương pháp 4 : Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phương trình hoặc bất phương trình tích. Mục đích của phương pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phương trình thì có thể giải bằng phương pháp khoảng). Ví dụ 9: Giải bất phương trình: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là (2). Nhân hai vế của bất phương trình (1) với ta có : . Xét phương trình Xét dấu vế trái của (3), ta có: + - + 2 Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là: Ví dụ 10: Giải phương trình: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là Khi đó ta có : , thoả mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x=-2. Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm. Đối với các bài toán dạng tìm tham số để phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ có nghiệm, có nghiệm duy nhất, có hai nghiệm,..người ta thường sử dụng công cụ đạo hàm để giải. Thông thường ta chuyển tham số về một vế, sau đó khảo sát sự biến thiên của vế không chứa tham số bằng phương pháp đạo hàm, từ đó suy ra kết quả. Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là. Ta có: (do x³3 nên x-1³0). Xét hàm số với x³3. Ta có: với x>3. Khi đó Mặt khác, , ta có bảng biến thiên: x 3 +µ y’ + 0 - y Vậy đề bất phương trình y³m có nghiệm thì maxy³m . Đáp số: Ví dụ 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1). Giải: Xét hàm số: với xÎR. Ta có: . Khi đó Vậy phương trình y’=0 vô nghiệm. Điều đó nghĩa là y’>0 hoặc y’0 suy ra y’>0 với mọi x. Mặt khác: Ta có bảng biến thiên: x -µ +µ y’ + y +1 -1 Vậy để phương trình y=m có nghiệm thì -1<m<1, tức là phương trình đã cho có nghiệm khi -1<m<1. Phương pháp 6: Lượng giác hoá. Ví dụ 13: Giải bất phương trình sau: (1). Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là 1-x2>0, tức là |x|<1. Khi đó ta đặt x=sint, . Khi đó ta có : Xét hai khả năng: (vì cost>0) tgt<1 Vậy nghiệm của bất phương trình là : Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá. Ví dụ 14: Giải các bất phương trình sau: (1). (2). Giải: Điều kiện để để các căn thức trong bất phương trình có nghĩa là: Khi đó ta có: . Mà và Vậy bất phương trình luôn đúng với "xÎ[1,3]. Điều kiện: . Với điều kiện này ta có 2-x2>0 nên: Vậy bất phương trình có nghiệm là x=0. Ví dụ 15: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: Giải: Điều kiện : . Khi đó ta có: . Vậy ta có: . Mặt khác ta lại có: Vậy dấu ‘=’ ở phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi cả hai vế của phương trình đều bằng 2, tức là: . Vậy phương trình có nghiẹm khi . Kết luận: Trên đây là một số dạng toán cơ bản nhất về phương trình và bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải chúng. Tuy nhiên trong tực tế, để giải một bài toán có khi phải kết hợp sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Sau đây là một số bài tập mà độc giả có thể giải được bằng các phương pháp đã giới thiệu ở trên. Bài 1: Cho phương trình : . Giải phương trình khi m=3. Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 2: Giải bất phương trình sau: Bài3: Giải các bất phương trình sau: , . . Bài 4: Giải các phương trình sau: . . . . . . . . Bài 5: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: . . . . Bài 6: Giải các phương trình sau: . . . . . . Bài 7: Giải và biện luận các phương trình sau: . . . Bài 8: Giải các phương trình và bất phương trình sau: . . . . . . . . . với m=. Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: .