Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

đặt vấn đề Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số A. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm thoả mãn điều kiện (1.1) trong đó cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm Vậy . Từ suy ra Do đó Dạng 2 Tìm thoả mãn điều kiện (2 .1) trong đó là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy q là hằng số sẽ được xác định sau Ta xác định như sau : Nếu thì là đa thức cùng bậc với Nếu thì với là đa thức cùng bậc với Thay vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của Bài toán 2: Tìm thoả mãn điều kiện (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay và phương trình (2.2) ta được (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau Do đó Ta có Vì nên Vậy Dạng 3 Tìm thoả mãn điều kiện (3.1) trong đó là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó , c là hằng số chưa được xác định , được xác định như sau : Nếu thì Nếu thì Thay vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức , tính được c Bài toán 3: Tìm thoả mãn điều kiện (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay vào phương trình (3.2) , ta thu được Suy ra Do đó vì nên c=1 Vậy Dạng 4 Tìm thoả mãn điều kiện (4.1) Trong đó là đa thức theo n và Phương pháp giải Ta có Trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất , là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất Bài toán 4: Tìm thoả mãn điều kiện (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay vào phương trình , ta được Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình Vậy thay vào phương trình Ta được Vậy Do đó . Ta có nên Vậy B. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Dạng 1 Tìm thoả mãn điều kiện (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng tìm Khi đó Nếu là hai nghiệm thực khác nhau thì , trong đó A và B được xác định khi biết Nếu là hai nghiệm kép thì , trong đó A và B được xác định khi biết Bài toán 5: Tìm thoả mãn điều kiện sau (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình Vậy Dạng 2 Tìm thoả mãn điều kiện (6.1) trong đó a # 0, là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng để tìm . Khi đó ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và là một nghiệm tuỳ ý của phương trình Theo dạng 1 ta tìm được , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , được xác định như sau : Nếu thì là đa thức cùng bậc với Nếu là nghiệm đơn thì là đa thức cùng bậc với Nếu là nghiệm kép thì là đa thức cùng bậc với, Thay vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức tính được A, B Bài toán 6: Tìm thoả mãn điều kiện (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có trong đó Thay vào phương trình (6,2) , ta được Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình Vậy Do đó Mặt khác Vậy Dạng 3 Tìm thoả mãn điều kiện (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó ta có trong đó được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, được xác định như sau Nếu thì Nếu là nghiệm đơn thì Nếu là nghiệm kép thì Thay vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k . Biết từ hệ thức tính được A,B Bài toán 7: Tìm thoả mãn điều kiện Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có trong đó Thay vào phương trình , ta được Vậy . Do đó . (1) Thay vào phương trình ta thu được Vậy Dạng 4 Tìm thoả mãn điều kiện (8.1) trong đó a # 0 , là đa thức theo n và Phương pháp giải Ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm thoả mãn điều kiện (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay vào phương trình , ta được Vậy Do đó Thay vào phương trình , ta được Do đó Vậy (8.3) Ta thay vào (8.3) ta được hệ phương trình Vậy C. Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng (a.1) trong đó a,b,c, d, ,, là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng , trong đó là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Xét phương trình đặc trưng (a.2) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất Nếu (a.2) có ba nghiệm thực phân biết thì Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn thì Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 thì Xác định nghiệm riêng của phương trình (a.1) Xét là đa thức của n ta có Nếu thì là đa thức cùng bậc với Nếu (nghiệm đơn ) thì là đa thức cùng bậc với Nếu (bội 2 ) thì là đa thức cùng bậc với Nếu (bội 3) thì là đa thức cùng bậc với Xét ta có Nếu thì Nếu (nghiệm đơn ) thì Nếu (nghiệm bội s ) thì Bài toán 9: Tìm dãy số biết rằng (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng có 3 nghiệm thực Vậy Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được Vậy D. Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dãy số được xác định theo công thức sau (10.1) Chứng minh số là số chính phương Bài giải Ta có (10.2) Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được (10.3) Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được (10.4) Phương trình đặc trưng của (10.4) là có nghiệm là nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là Cho n=0, n=1, n=2 ta được Ta thu được và từ đó ta có Điều này chứng tỏ A là một số chính phương Bài toán 11: Cho dãy số được xác định theo công thức sau (11.1) Chứng minh rằng Bài giải Xét dãy số với và (11.2) Dễ thấy . Do đó chỉ cần chứng minh Đặt suy ra . Nhận xét rằng (11.3) Ta lại có suy ra (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta được Suy ra (11.5) Phương trình đặc trưng của (11.5) là có nghiệm Nghiệm tổng quát của (11.1) là Ta có Do đó ta nhận được (11.6) Từ (11.6) ta suy ra Ta cần chứng minh Do Nên . Từ đó , ta có , và khi đó Vậy E. Bài tập tương tự Bài 1: Xác định công thức của dãy số thoả mãn các điều kiện sau Bài 2: Cho dãy số thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng là một số lẻ Bài 3: Cho dãy số xác định bởi Chứng minh rằng Bài 4: Cho dãy số thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng là một số chính phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số thoả mãn như sau Chứng minh : ( kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số đều là số chính phương Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số ( i=1,2,3,4)được xác định bởi Tính giá trị của biểu thức Bài 8: Cho dãy số nguyên dương thoả mãn điều kiện Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất F. Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình (12.1) phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số được xác định theo công thức sau có thể cho . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xác định như sau Xác định công thức của dãy số Bài toán 2: Cho dãy số xác định như sau Tính giá trị của biểu thức Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình (12.2) phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số được xác định theo công thức sau có thể cho khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức tổng quát của dãy số Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số thoả mãn các điều kiện sau Bài toán 2: Cho dãy số xác định như sau Chứng minh rằng là một số chính phương Bài toán 3: Cho dãy số xác định như sau Xác định số tự nhiên n sao cho Kết luận- kiến nghị Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau : Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT Tài liệu tham khảo Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản Giáo Dục Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003 Trị đặc trưng và vector đặc trưng 23 thỏng 10, 2007 Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong cỏc ngành khoa học và kỹ thuật: Vật Lý, xỏc suất thống kờ, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v. Để hiểu ý nghĩa của chỳng, cú hai hướng nhỡn thụng dụng, ỏp dụng được trong rất nhiều trường hợp. 1. Loại động cơ (motivation) thứ nhất. Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phộp tớnh sau đõy: cho trước một ma trận A và nhiều vectors x, tớnh với nhiều giỏ trị khỏc nhau của số mũ . Vớ dụ 1: nếu A là ma trận của một phộp biến đổi tuyến tớnh (linear transformation) nào đú, như phộp quay và co dón trong computer graphics chẳng hạn, thỡ cho ra kết quả của phộp BĐTT này ỏp dụng k lần vào x. Cỏc games mỏy tớnh hay cỏc annimations trong phim của Hollywood cú vụ vàn cỏc phộp biến đổi kiểu này. Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rất nhiều cỏc vector x. Quay một object nhiều lần là làm phộp nhõn với từng vectors x biểu diễn object đú. Khối lượng tớnh toỏn là khổng lồ, dự chỉ trong khụng gian 3 chiều. Vớ dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution của trạng thỏi hiện tại, thỡ chớnh là distribution của chuỗi Markov sau k bước. Vớ dụ 3: cỏc phương trỡnh sai phõn (difference equation) như kiểu phương trỡnh cũng cú thể được viết thành dạng để tớnh với k tựy ý. Vớ dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiờn khi giải cỏc phương trỡnh vi phõn, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận chẳng hạn. Túm lại, trong rất nhiều ứng dụng thỡ ta cần tớnh toỏn rất nhanh lũy thừa của một ma trận vuụng, hoặc lũy thừa nhõn một vector. Mỗi ma trận vuụng đại diện cho một phộp BĐTT nào đú. Lũy thừa bậc k của ma trận đại diện cho phộp biến đổi này ỏp dụng k lần. Ngược lại, bất kỳ phộp BĐTT nào cũng cú thể được đại diện bằng một ma trận. Cú rất nhiều ma trận đại diện cho cựng một BĐTT, tựy theo ta chọn hệ cơ sở nào. Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đó ngầm định một hệ cơ sở nào đú, thường là hệ cơ sở trực chuẩn , , và . Cỏc tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ của x trong hệ cơ sở ngầm định này. Hệ cơ sở như trờn thường được dựng vỡ ta “dễ” hỡnh dựng chỳng trong khụng gian n chiều, chỳng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dựng trong khụng gian 2 chiều. Tuy nhiờn, khi ỏp dụng một phộp BĐTT thỡ cỏc vectors thường cũng bị biến đổi theo luụn, rất bất tiện nếu ta phải tớnh cho nhiều giỏ trị k và x khỏc nhau. Bõy giờ, giả sử ta tỡm được hướng độc lập tuyến tớnh và bất biến qua phộp BĐTT đại diện bởi A. (Đõy là giả sử rất mạnh, may mà nú lại thường đỳng trong cỏc ứng dụng kể trờn.) Dựng vector để biểu diễn hướng thứ . Bất biến cú nghĩa là ỏp dụng A vào hướng nọ thỡ hướng khụng đổi. Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đú (dự ta giả sử A là thực). Do cỏc hướng này độc lập tuyến tớnh, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng Nếu ta lấy làm hệ cơ sở thỡ cỏi hay là cú ỏp dụng A bao nhiờu lần thỡ cũng khụng đổi hướng của cỏc vectors trong hệ cơ sở! Điều này rất tiện lợi, bởi vỡ Như vậy, thay vỡ tớnh lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tớnh lũy thừa của n con số và làm một phộp cộng vectors đơn giản. Cỏc giỏ trị là cỏc trị đặc trưng (eigenvalues) của A, và cỏc vectors là cỏc vector đặc trưng (eigenvectors). Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tớnh với nhau. Nếu ta bỏ cỏc vectors này vào cỏc cột của một ma trận , và cỏc eigenvalues lờn đường chộo của một ma trận thỡ ta cú . Trong trường hợp này ma trận A cú tớnh diagonalizable (chộo húa được). Diagonalizability và sự độc lập tuyến tớnh của n eigenvectors là hai thuộc tớnh tương đương của một ma trận. Ngược lại, ta cũng cú , và vỡ thế lũy thừa của A rất dễ tớnh: do lũy thừa của một ma trận đường chộo rất dễ tớnh. Cụm từ “khả năng đường chộo húa được” (diagonalizability) nghe ghờ răng quỏ, cú bạn nào biết tiếng Việt là gỡ khụng? Nếu ta biết được cỏc eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thỡ — ngoài việc tớnh lũy thừa của ma trận — ta cũn dựng chỳng vào rất nhiều việc khỏc, tựy theo ứng dụng ta đang xột. Vớ dụ: tớch cỏc eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng cỏch giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhỡ của transition matrix của một chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiờn là steady state distribution, võn võn. Quay lại với cỏi “giả thiết rất mạnh” ở trờn. Cú một loại ma trận mà giả thiết này đỳng; và hơn thế nữa, ta cú thể tỡm được cỏc eigenvectors vuụng gúc nhau, đú là cỏc normal matrices. Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta cỏc normal matrices. Cỏc trường hợp đặc biệt thường thấy là cỏc ma trận (thực) đối xứng và cỏc ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức). Cũn cỏc ma trận khụng thỏa món “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là khụng diagonalizable, thỡ làm gỡ với chỳng? Ta cú thể tỡm cỏch làm cho chỳng rất “gần” với một ma trận đường chộo bằng cỏch viết chỳng thành dạng chuẩn Jordan. Đề tài này nằm ngoài phạm vi bài đang viết. 2. Loại động cơ (motivation) thứ hai. Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nú cú đủ bộ eigenvectors, do đú diagonalizable và vỡ thế cú thể thiết kế cỏc thuật toỏn hiệu quả cho cỏc bài toỏn tương ứng. Khụng những đối xứng, chỳng cũn cú một thuộc tớnh mạnh hơn nữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là cỏc eigenvalues đều khụng õm. Vớ dụ 1: bài toỏn least squares cú ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite . Vớ dụ 2: bài toỏn xỏc định xem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ cú phải là điểm cực tiểu hay khụng tương đương với xỏc định xem ma trận đối xứng Hessian của cỏc đạo hàm bậc hai tại điểm này là positive definite. Vớ dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite. Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thỡ ta cú thể hiểu cỏc eigenvectors và eigenvalues theo cỏch khỏc. Bất phương trỡnh trong đú c là một hằng số dương là một bất phương trỡnh bậc 2 với n biến (cỏc tọa độ của vector x). Nghiệm của nú là cỏc điểm nằm trong một hỡnh e-lớp trong khụng gian n chiều (Ellipsoid) mà n trục của ellipsoid chớnh là hướng của cỏc eigenvectors của A, và chiều dài cỏc trục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của căn của eigenvalue). Đõy là trực quan hỡnh học phổ biến thứ hai của eigenvectors và eigenvalues. Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như cú bạn đó hỏi trong phần bỡnh luận bài tư duy trừu tượng, thỡ ta cú thể hiểu nụm na về sự xuất hiện của eigen-vectors/values như sau. Giả sử ta cú một đống cỏc sample vectors (data points) trờn một khụng gian n chiều nào đú. Cỏc tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn). Thỡ đa số cỏc vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi covariance matrix (positive semi-definite). Trục dài nhất của ellipsoid là trục cú variance cao nhất, nghĩa là SNR cao. Trục này chỉ cho ta hướng biến thiờn quan trọng nhất của data. PCA lấy cỏc trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đú lấy k trục dài nhất làm principal components để biểu diễn data. (Dĩ nhiờn, ta phải shift cỏi mean về gốc tọa độ trước khi đổi hệ cơ sở.) Ngụ Quang Hưng | Đề tài: Toỏn Ứng Dụng | |  In bài này Solution to Difference Equation A solution of a difference equation is an expression (or formula) that makes the difference equation true for all values of the integer variable k. The nature of a difference equation allows the solution to be calculated recursively . It is easier to see the solution of the difference equation through algebraic equation. Example: We have difference equation with initial value . Then we can determine set the k = 0:                       initial value k = 1:   k = 2:   k = 3:   k = 4:   k = n:   However, the series  has a closed-form of Thus the solution of the difference equation with initial value is See: Numerical Example