Đề tài Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số và hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Người thực hiện: Phạm Hữu Danh Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học. Năm học: 2011-2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên: PHẠM HỮU DANH Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai Điện thoại: 0904470753 E-mail: phithienlangtu2002@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân. Năm nhận bằng: 2008 Chuyên ngành đào tạo: Toán học. KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học. Số năm có kinh nghiệm: 4. Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 “Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”. Tên SKKN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân. Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến. Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Độc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các bài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến. $2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới. $3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác. Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiện nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình. Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tập được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh nghiên cứu ở nhà. Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìn lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng giác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác. Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương pháp lượng giác. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010. Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM - 2005. Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005. NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ..................................... CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ................................, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ..................................... ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: .................................................................................................. ............................................................................................................................................... Họ và tên tác giả: .................................................... Chức vụ: ............................................. Đơn vị: .................................................................................................................................. Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục 1 - Phương pháp dạy học bộ môn: ............................... 1 - Phương pháp giáo dục 1 - Lĩnh vực khác: ........................................................ 1 Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 1 Trong Ngành 1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) Có giải pháp hoàn toàn mới 1 Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 1 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 1 Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 1 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) $1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC I. Hàm Số Lượng Giác Ngược a) Hàm số là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược b) Hàm số là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược c) Hàm số là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược d) Hàm số là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược II. Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng 1. Một số phép thế lượng giác chung a) Nếu thì có thể đặt: Biểu thức áp dụng: . b) Nếu thì có thể đặt: c) Nếu thì có thể đặt: Biểu thức áp dụng: . d) Với mọi x đều có thể đặt: Biểu thức áp dụng: . 2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác a) Nếu thì tồn tại các góc sao cho: b) Nếu thì tồn tại các góc sao cho: Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa thì tồn tại tam giác ABC sao cho: Nếu ba số dương x, y, z thỏa thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa: $2. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I. Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: . Giải Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu : chia hai vế cho |x| (1) Vì nên có thể đặt . Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: . Giải Vì nên tồn tại các góc thỏa: . Bất đẳng thức trở thành: . Thật vậy: . Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài 3: Cho hai số thực x, y thỏa . Chứng minh rằng: . Giải Đặt . Áp dụng các công thức lượng giác: Do đó: . Bài 4: Cho biểu thức . Chứng minh . Giải Ta có: . Đặt thì . Do đó: Vậy . Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh: . Giải Tồn tại tam giác ABC thỏa: . Bất đẳng thức được viết lại: . Ta có: . Tương tự Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: . Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh: . Giải Từ điều kiện của a, b, c suy ra . Đặt thì . Bất đẳng thức được viết lại: Ta có: Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện: Chứng minh: . Giải Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa: . Ta có: Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác. Theo cách đặt thì: . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: Để ý rằng: Tương tự: Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1. LUYỆN TẬP Bài 8: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh: . Bài 9: Cho x, y là hai số thỏa . Chứng minh: . Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: . Bài 11: Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: . II. Giải Phương Trình Bài 12: Giải phương trình: . Giải Điều kiện: . Đặt , ta được phương trình: Đối chiếu điều kiện , ta tính được: . Nghiệm của phương trình ban đầu là: Bài 13: Giải phương trình: . Giải Nếu thì Vế phải không xác định. Do đó . Đặt . Khi đó: Phương trình được rút gọn thành: Vậy nghiệm của phương trình là . Bài 14: Giải phương trình: . Giải Điều kiện x>1. Đặt . Phương trình trở thành: Đặt thì: Loại nghiệm âm, với , ta được . Do đó . Nghiệm của phương trình là . Bài 15: Giải phương trình: . Giải Trước hết ta chứng minh công thức: . Thật vậy: Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh. Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa: . Đặt . Phương trình trở thành: Vậy ta tìm được 5 nghiệm trên đoạn là: . Phương trình bậc năm có tối đa 5 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm. Bài 16: Cho a<b<c là ba nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng: . Giải Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [-2;2]. Đặt . Phương trình trở thành: . Từ đó ta tìm được ba nghiệm . Phương trình bậc ba chỉ có tối đa ba nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm. Ta có: . Tương tự: . LUYỆN TẬP Bài 17: Giải các phương trình sau: a) . b) . c) . d) . Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: . III. Giải Hệ Phương Trình Bài 19: Giải hệ phương trình: . Giải Ta chứng minh . Giả sử x là số lớn nhất và x>1. Khi đó (vô lý). Giả sử x là số nhỏ nhất và x<-1. Khi đó (vô lý). Do đó . Tương tự . Đặt . Sử dụng công thức nhân ba ta được: . Ta có: Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: với . Bài 20: Giải hệ phương trình sau: . Giải Ta có: . Do đó x, y, z cùng dấu. Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm. Ta tìm nghiệm dương của hệ. Tồn tại tam giác ABC sao cho: . Áp dụng công thức ta có: . Kết hợp định lý sin ta được ABC là tam giác vuông tại C và. Ta tính được: . Vậy nghiệm của hệ phương trình là . Bài 21: Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình: . Tìm tất cả các giá trị mà S=x+y+z có thể nhận. Giải Cộng ba phương trình lại ta được: Suy ra nên trong ba số x, y , z phải có ít nhất một số không âm. Giả sử . Tương tự ta cũng chứng minh được: . Đặt . Thay vào phương trình thứ ba: . Thay vào phương trình thứ hai: . Thay vào phương trình thứ nhất: . Ta có: . TH1: . Nếu k=0 thì a=0: S=0. Nếu k=1;2;3 thì: . TH2: Nếu k=0 thì a=0: S=0. Nếu k=1;2;4 thì: . Nếu k=3 thì: . Bài 22: Trong các nghiệm (x;y;z;t) của hệ phương trình: . Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y+t nhỏ nhất. Giải Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó tồn tại các góc sao cho: . Từ bất phương trình thứ ba ta có: . Suy ra: . Do đó: (Bất đẳng thức B.C.S). Dấu “=” xảy ra khi: Ta tính được: . Từ đó: . Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa hệ. Vậy nghiệm của hệ thỏa điều kiện là . LUYỆN TẬP Bài 23: Giải các hệ phương trình sau: a) . b) . c) . $3. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC I. Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh: . Giải Áp dụng định lý sin, ta có: Tương tự : Cộng ba vế lại ta được điều phải chứng minh. Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa: . Giải Áp dụng định lý côsin, ta có: . Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được: . Tam giác ABC cân có góc là tam giác đều. Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa: . Chứng minh ABC là tam giác vuông. Giải Sử dụng định lý sin: Vậy tam giác vuông tại C. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi ma là trung tuyến ứng với đỉnh A. a) Chứng minh: . b) Chứng minh: . Giải a) Sử dụng công thức trung tuyến: Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi B=C, tức là tam giác ABC cân tại A. b) Theo câu a) ta có: Tương tự: Cộng các bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức cơ bản trong tam giác: ta có điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều. LUYỆN TẬP Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau trong tam giác ABC: a) . b) . c) . d) . Bài 6: Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện: a) . b) . c) . II. Một Số Bài Toán Hình Học Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy M sao cho CM=4MD. Với tỉ số AB/BC bằng bao nhiêu thì góc KAM lớn nhất? Giải Giả sử . Gọi lần lượt là số đo góc BAK, MAD. Ta cần tìm x để nhỏ nhất. Ta có: Dấu “=” xảy ra khi . Vậy với tỉ số AB/BC=2 thì góc KAM đạt giá trị lớn nhất. Bài 8: Cho tam giác cân ABC với AB=AC. Giả sử đường phân giác góc B cắt AC tại D và BC=BD+AD. Tính góc A. Giải Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1. Gọi b là góc ABD. Ta có: , góc . Áp dụng định lý sin: Giả thiết BC=BD+AD tương đương với: Vậy . Bài 9: Cho tam giác ABC có tính chất: tồn tại điểm P nằm trong tam giác sao cho . Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Giải Tất cả các góc đều dùng đơn vị độ. Đặt Áp dụng định lý sin: Suy ra: . Ta được . Do đó . Vậy tam giác ABC cân tại B. LUYỆN TẬP Bài 10: Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều. Chứng minh rằng góc khi và chỉ khi . Bài 11: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Chứng minh: a. . b. .