Đề tài nghiệp vụ sư phạm Một số phương pháp giải phương trình bậc cao ở THCS

Phần I : Đặt vấn đề I-Lời nói đầu Muốn giỏi toán thi ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản phải biết vận dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khs . Chúng ta thấy bài tập thì rất nhiều rât đa dạng Trong quá trình giảng dậy ở chương trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải “Phương trình “ Tôi thấy giải phương trình là một báI toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán khác như : Tìm TXĐ ,giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương trình .Ơ lớp 8chỉ nói về :Phương trình bậc nhât một ẩn và phương trình bậc hai một ẩn số . Ngoài ra còn các hương trình bậc cao hơn và các dạng phương trình khác lạ . Đứng trước một bài toán giải “phương trình “ có thể xem xét nó thuộc dạng nào .Từ đó mà biết cách vận dụng những kiến thức gì ? và giải nó theo trình tự nào. Chính vì lẽ đó để giúp các em HS có cách giải các phương trình và một số phương trình loại khác ,tôi chọn đề tài này . Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình quen thuộc và phương trình đã biết cách giải .Đề tài này có thể cho giáo viên toán và những HS yêu thích môn toán tham khảo .Cách giải và cách trình bày .Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân . Vì vậy tôi rất mong sự giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và của thầy : Giáo Sư – Tiến sĩ Lê Mậu Hải ,cùng các thầy trong khoa toán .Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội I đã giúp đỡ tôi trong hoàn cảnh đề tài này . II/ Nhiệm vụ nghiên cứu : -Phương pháp giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về các dạng phương trình đã biêt cách giải hoặc các dạng quen thuộc . -Các ví dụ minh hoạ III/ đ ối tượng nghiên cứu - HS lớp 9: Trường THCS Trực Thái –Trực Ninh –Nam Định -Giúp các HS có cách giải các phương trình bậc cao và một số phương trình loại khác . IV./ Phương pháp nghiên cứu _tham khảo tài liệu ,thu nhập tài liệu . -Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm . -kiểm tra kết quả :Dự giờ ,kiểm tra chất lượng HS,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học V / Phạm vi nghiên cứu Giới hạn ở vấn đề giải các phương trình cơ bản ,phương trình bậc cao (một số thường gặp ở lớp 9). Trong chương trình toán 9 ở THCS . Phần 2: Nội dung đề tài A/ Cơ sở lí luận : I .Mục đích , ý nghĩa của việc dạy giảI bài tập toán : -Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống (về toán học nói chung cũng như về phần phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai trong chương trình dạy toán lớp 9)theo phương pháp tinh giảm dễ hiểu . -Bài tập về “ phương pháp quy về phương trình bậc hai “ nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai . Rèn luyện cho HS các thao tác tư duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tượng hoá ,tương tự .. -Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trường THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế . -Bài tập “Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai “còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo … II/ Các kĩ năng ,kiến thức khi học về giảI phương trình : 1 . Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số : 2 .Các hằng đẳng thức đáng nhớ . 3 . Phép phân tích đa thức thành nhân tử B / Những vấn đề liên quan : I / Phương trình bậc nhất một ẩn : 1 . Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn : - Định nghĩa phương trình bậc nhât một ẩn :Cho A(x)và B(x) Là hai biểu thức chứa biến xđể các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau . -Biến x được gọi là ẩn -Giá trị tìm được cuả ẩn gọi là nghiệm -Mỗi biểu thức là một vế của phương trình . -việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình . 2 . Cách giải : -Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1) -dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành : a x=-b úx=-b/a Phương trình này có nghiệm duy nhất : x= (a0) II / Phương trình bậc hai một ẩn : 1 .Định nghĩa : -Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng : a x2+b x +c = 0 (trong đó x là ẩn số ; a, b ,c là các hệ số , a0 ) -Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0 2 . Cách giải một phương trình bậc hai : -Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình đã cho về các dạng Phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình -Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai : a x2 +b x +c=o (a0) Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phương trình: =b2- 4ac gọi là biệt số của phương trình bậc hai.Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai . -Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a , <0 ú phương trình bậc hai vô nghiệm b , =0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) x=x= c , >0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x= ; x= III / Phương trình bậc ba 1 . Dạng tổng quát Phương trình bậc ba ( một ẩn số )là phương trình có dạng tổng quát : a x3 + bx2 + cx + d=0 (trong đó x là ẩn số , a, b, c, d là các hệ số , a0 ) 2 . Cách giải : Để giải một phương trình bậc ba ta thường phải biến đổi về phương trình tích Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai.Vế phải bằng 0 Muốn làm tốt việc này đòi hỏi HS phải có kĩ năng ,phân tích một đa thức thành nhân tử một cách thành thạo IV / Phương trình bậc bốn 1 . Dạng tổng quát : Phương trình bậc bốn ( một ẩn số ) là phương trình có dạng tổng quát : a x4 + b x3 +cx2 +dx +e =0 (trong đó xlà ẩn số , a, b, c, d, e, là các hệ số ; a0 ) 2 . Cách giải Đây là mọt dạng phương trình khó ,nó không có cách giải tổng quát .Trong phạm vi của đề tài ., tôI xin trình bày một số dạng đặc biệt của phương trình bậc 4 , nhằn giúp HS có thể giải được những bài tập thường gặp trong SGK cũng như trong các loại sách tham khảo khác . -Về phương pháp chung để giải bài toán này là dựa vào dạng cấu tạo đặc biệt của phương trình ,bằng phương pháp đổi biến để đưa về phương trình có bậc thấp hơn hoặc phân tích vế trái thành nhân tử đưa về dạng phương trình tích bằng việc giải các phương trình có bậc thấp hơn ta có thể kết luận được nghiệm của phương trình đã cho V / Phương trình bậc cao 1 . Dạng tổng quát : f(x)=a +a+ …+ a ( Trong đó x là ẩn số , a , … , a là các hệ số ) 2 . Ước lượng nghiệm của phương trình : Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó , ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức song cũng hết sức phức tạp . Trong nhiều trường hợp người ta chỉ yêu cầu cho một đánh giá nào đó về độ lớn của nghiệm dưới dạng một bất đẳng thức Ta có định lí dưới đây (đ/l Maclỏanh –Thừa nhận không chứng ninh ) a -Định lí Maclỏcanh : Xét phương trình f(x) =a (1) Giả sử k là chỉ số lớn nhẩttong tất cả các chỉ số I mà a<0 và b là giá trị tuyệt đối lớn nhất của các hệ số âm . Khi đó nếu là nghiệm dương của phương trình thì : Bây giờ ta đi tìm cận dưới của nghiệm nguyên dương tức là xác định một số dương b sao cho >0 với mọi nghiệm dương Đặt Khi đó ta có a (2) Nếu A là cận trên của các nghiệm của (2) thì ta có do đó vậy là cận dưới của các nghiệm của (1) b-Định lí (Ước lượng Niu tơn) : xét phương trình f(x) = a Nếu a là một số thoả mãn điều kiện f(a)>0; f’’(a)>0 , f’’’(a) >0…..fn (a).>0 Thì a là cận trên cho tất cả các nghiệm của phương trình 3- Xác đinh số nghiệm của phương trình : Xét phương trình f(x) = a ( 1 ) Vì f(x) là một hàm liên tục do đó : Nếu f(x) không có nghiệm trong đoan thì f(x) giữ nguyên dấu trong đoạn đó -Với x”khá bé “ thì dấu của f(x) là dấu của hệ số khác không đầu tiên - Với x khá lớn thì dấu của f (x) là dấu của hệ số a Ta nói rằng x= là một nghiệm bội k của (1) nếu : f(x) =(x- ( k1) Ơ đó g(x) là một đa thức không nhận làm nghiệm Định lí 1 : Nếu phương trình f(x) =0 có làm bội k (k>1) thì phương trình f’ (x) =0 có nghiệm bội k-1 Định lí 2 : Giả sử a<c và f(a ) . f(c) <0 khi đó phương trình (1) có một số chẵn (có thể bằng không ), các nghiệm (kể cả nghiệm bội ) trong khoảng (a, c) Chứng minh: Giả sử là các nghiệm của (1) với các bội tương ứng là k khi đó F(x) = (x-) K (x-)….(x-) . g(x) Trong đó g(x) không có nghiệm trong (a,c) Vì f(a) trái dấu với f(c) và g(a) cùng dấu với g(c) do đó f(a) trái dấu với g(a) Suy ra k là một số lẻ . Khẳng định sau được c/m tương tự . Định lí (Role) :Giữa 2 nghiệm của phương tình f(x)=0 phải có ít nhất một nghiệm của phương trình f’’ (x) =0 Định lí này được áp dụng cho hàm khả vì(x) bất kỳ Định lí (Đề các): Xét phương trình bậc n f(x) =a =0 Gọ P là số các nghiệm dương của phương trình trên ( mỗi nghiệm kể một số lần bằng số bội của nó ) Gọi C là số lần thay đổi dấu trong dãy hệ số (không xét các hệ số a=0) Khi đó C P là một số chẵn d. Định lí Vi ét và ứng dụng ; Định lí Vi ét cho phương trình bậc n được phát biểu như sau : Định lí 1: Cho phương trình bậc n : a =0 Giả sử phương trình có n nghiệm x trong mỗi nghiệm được kể ra một số lần bằng bội của nó khi đó ta có hệ thức Vi ét sau : x = : x = x =(-1)n (Với 1 ) x Đảo lại , cho trước n số bất kỳ Đặt S….+ S S (Với 1 <n) S Khi đó là các nghiệm của phương trình sau : xn –S xn-1 +S Ví dụ :Định lí Vi ét cho phương trình bậc ba như sau : Cho phương trình : a x3 + b x2 + cx + d =0 có ba nghiệm x Khi đó x x x Định lí Vi ét cho phương trình bậc bốn như sau : Cho phương trình : a x4 +bx3 +cx2 + dx +e =0 có 4 nghiệm thì x+ x x x x= VI / MộT số vấn đề khác Tập xác định của phương trình : Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa Định nghĩa hai phương trình tương đương -Hai phương trình gọi là tương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm . Định nghĩa hai phương trình hệ quả : Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương trình thứ nhất . Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình : Biến đổi các phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó , nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương . Các định lý về biến đổi tương đương phương trình a/Định lý 1: Nừu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho : Ví dụ : 3x=27 ú 3x +2x =27 +2x Hệ quả1: Nừu chuển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho . Ví dụ : 3x -5 =7x+9 ú3x- 7x =9+5 Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì ta được một phương trình mới tương đương với một phương trình đã cho . Ví dụ : 2x+4x2-8=4x2 -6 2x-8=6 b, / Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho c -Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức chứa ẩn nhưng không cùng tập xác định thì có thể chỉ được phương trình hệ quả mà thôi .C /Phương pháp giảI một phương trình bậc cao: I / Phương trình bậc hai có một ẩn số 1/ Định nghĩa : Phương trình bậc hai có một ẩn số có dạng : a x 2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn số ; a, b ,c, là các hệ số ; a - Nghiệm của phương trình là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế tri của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0 2 / Cách giải phương trình bậc hai : _ Khi nghiên cứu về nghệm số của phương trình bậc hai ta cần đặc biệt quan tâm đến biệt số của phương trình = b2 -4ac gọi là biệt số của phương trình bậc hai.Vì biẻu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai . -Ta thấy có các khả năng sau xảy ra a , <0 ú phương trình bậc hai vô nghiệm b , =0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) x=x= c , >0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x= ; x= - Đặc biệt khi b chẵn: b= 2b ( b’ Z ) Ta có thể tìm nghiệm số của phương trình bậc hai qua biệt số thu gọn ’ =b’ 2 –ac - Về số nghiệm số của phương trình bậc hai xét theo biệt số ’ cũng như ở phần trên a , ’ <0ú phương trình bậc hai vô nghiệm b , ’ =0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) x=x= c , ’ >0 ú phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x= ; x= 3-Chú ý : -nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.cb2-4ac >0 hay >0 ) -Đối với một số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trường hợp có nghiệm (0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm Định lí Vi ét cho phương trình bậc hai được phát biểu như sau : Định lí Vi ét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a) có hai nghiệm là : x thì tổng và tích hai nghiệm là S=x= P=x= Cách nhẩm nghiệm : + Nếu a+b+c =0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x + Nếu a-b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình có dạng đặc biệt . Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện luận về số nghệm của phương trình bậc hai Sau khi dạy về định lí Vi ét tôi cho HS giải các phương trình bậc hai qua lược đồ sau : a x 2 + bx +c = 0 ( a) a = Xác định b= c = Tính a+b+c Phương trình có 2 nghiệm x =0 - phương trình (1) có hai nghiệm là x Tính a-b+c a #0 =0 Tính phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: x= ; x= 0 phương trình (1) có hai nghiệm là x phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ : Giải các phương trình sau a , 3x2+5x +7 = 0 = 25 – 4. 3 . 7 =25 - 84 =- 61 <0 Vậy phương trình vô nghiệm b , 5 x2 +2x +2 = 0 = (2 )2 -4.5.2 =0 nên phương trình có nghiệm kép x=x= = c ,: 3x2+5x - 1 = 0 = 52 - 4 . 3 .(-1) =25+12 =37 >0 Vậy PT có hai nghiệm là : x= ; x= d/ Giải phương trình x 2 -3x +6 = (1) x2 -9 -Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành x 2 -3x +6 = (x-3)(x+3) x +3 0 TXĐ : hay x3và x -3 x-3 0 MTC : (x-3)(x+3) -Khử mẫu ta được phương trình x 2 -3x +6 =x+3 - Chuyển vế : ú x 2 -3x +6 -x-3=0 úx2 -4x +3 =0 (2) Vì a+b+c= 1+(-4) +3 =0 Nên x1=1 ; x2=c/a =3 là hai nghiệm của phương trình trung gian Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc TXĐ của (1) hay không ? ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện x 2=3 không thoả mãn điều kiện -Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1 4/ Nhận xét : -Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều ở THCS - Khi giảI các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau : + Tìm TXĐ của phương trình +Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền xác định ) II/ Phương trình bậc ba 1/ Phương trình bậc ba dạng tổng quát : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 ) 2- Cánh giải : -Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích .Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo 3- Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Giải Phân tích vế trái thành nhân tử ta có VT= (2x3 + 2) + (7x2 +7 ) =2(x3 +1) + 7x (x+1) =2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1) =(x+1)[2(x2-x +1) +7x ] =(x+1) (2x2+5x +2) Vậy phương trình đã cho ú (x+1) (2x2+5x +2) =0 x +1 =0 (2) ú (2x2+5x +2) =0 (3) Giải ra ta được x1 =-1 ú x 2=-2 ; x3 = - Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 = - 4- nhận xét : Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích -Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) +Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1 +Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1 Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử - Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên ) - Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3 Thi 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau x1+x2+x3 = - x1x2+ x2x3 +x1x3 = x1x2x3 = - II / Phương trình bậc 4 : Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 ) Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai 3.1/ Phương trình tamthức bậc 4 (Phương trình trùng phương ) a – dạng tổng quát : Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : a x4 +bx 2 +c=0 (1) Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 ) b- cách giải : Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến x 2 =t (t 0) (2) Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian a t2 +b t +c =0 (3) Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta được phương trình bậc ha với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu c- Ví dụ : Giải phương trình sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1) GiảI Đặt x 2 =t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0 (2) Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25 Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0 + Với t1 = ta có x 2= => x1=3/2 ; x2= -3/2 + Với t2=25 ta có x2= 25 => x3 =5 ; x4=-5 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5 d - Nhận xét : -Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy : _ Phương trình vô nghiệm khi : + Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm . +Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm . _ Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi : + Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương . + Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương . _ Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0. _ Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt . 3. 2/ Phương trình hệ số đối xứng bậc 4 a- Dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 ) -Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau b- Ví dụ : GiảI phương trình sau 10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1) Do đó chia cả hai vế (10 cho x2 ta được 10x2 -27x – 110 - = 0 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được PT 10( x2 +) -110 =0 (2) Đặt ẩn phụ (x+ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) ta có 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta được t1=- ; t 2= + Với t1=- ú (x+ =- ú 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2 +Với ; t 2= ú (x+ = ú 5x2-26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S= c - Nhận xét : * Về phương pháp giải gồm 4 bước -Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình (2) -Đặt ẩn phụ : (x+ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) -giảI phương trình đó ta được t = …. - thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1 *Về nghiệm số của phương trình -x0 là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của nó (ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ; 5 và 1/5là nghịch đảo của nhau) 3 .3 /Phương trình hồi quy : a - Dạng tổng quát : Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 và ; ( c0) Đối với phương tình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy +/ Chú ý Khi =1hay a=c thì d= b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0 b - Cách giải: -Do x=0 không phảI là nghiệm của phương trình (1)nen chia cả hai vế cho x2 ta được a x2 +bx +c + = 0 (2) _Nhóm hợp lí a (x2 + -Đổi biến đặt x+ =t => x2 +( do (d/b)2 =c/a nên x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b Khi đó ta có phương trình a(t2 - 2) bt +c =0 _Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu c-Ví dụ Giải phương trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) Nhận xét 4/1=(; Nên phương trình (1) là phương trình hồi quy x=0 không phải là nghiệm của (1) Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2= ta được x2- -4x -9 + =0 ú (x2 + - 4( x -) -9 =0 (2) * Đặt ( x -) =t (3) => .( x2 + =t2 +4 thay vào (2) Phương trình (1) trở thành t2-4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1 ; t2=5 +Với t1=-1 ú x2+x-2=0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2 + Với t2=5 ú x2 -5x -2 =0 có nghiệm là x3,4 = Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= d/ nhận xét : - Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bước đặt ẩn phụ Đặt x+ =yb => x2 + 3 .4 /Phương trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c) a/ cách giải : nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó Khi đó phương trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) ta có phương trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1) Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào (2) rồi giáĩe tìm được nghiệm x b, Ví dụ : Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) nhận xét 1+7 =3+5 Nhóm hợp lý ú (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0 ú (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta được ú t( t+ 8) + 15=0 úy2 +8y +15 =0 có nghiệm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta được hai phương trình 1/ x2 +8x +7 = -3 ú x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4 2/ x2 +8x +7 = -5 ú x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = c, Nhận xét : -Đối với những phương trình có dạng đặc biệt như trên ,nếu ta khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 ( thường là loại bậc 4 đầy đủ ) .Đối với HS ở THCS việc giải là rất khó khăn . Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của phương trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí . Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của phương trình và đưa về phương trình bậc hai trung gian - Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình ban đầu cũng vô nghiệm . Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình ban đầu 3.5/ Phương trình dạng; (x+a)4 (x+b)4 = c (1) (Trong đó xlà ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) a , cách giải : Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) Đặt t =x+ Ta có x+a =t+ x+b=t - Khi đó phương trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( )2 t2 + 2( )4 –c =0 Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải b , Ví dụ Giải phương trình sau : (x+3)2 +(x-1)4 =626 Đặt t = x+1 Ta có phương trình ú (t+2)4 + (t – 2)4 =626 ú 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +(ú 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 út4 +24t2 - 297 =0 có nghiệm là t=-3 và t=3 Từ đó tìm được x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho 3.6/Phương trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) là đa thức một biến ) a ,cách giải: - Tìm TXĐ của phương trình - đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải +/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t +/ nghiệm của phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnhf (1) b , Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ : xR Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 Vậy ta có phương trình tương đương : (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2) Ta có PT : t2 -4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3 Với t1=1 ú x2+ 3x = 1 ú x2 +3x -1=0 có nghiệm là x1 , 2 = Với t2=3 ú x2+ 3x = 3 ú x2+ 3x – 3 =0 có nghiệm x3, 4 = các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x1 , 2 = ; x3, 4 = c/ Nhận xét : -Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đưa phươ