Đề tài nghiệp vụ sư phạm: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phần thứ nhất mở đầu lí do chọn đề tài: Như chúng ta đã biết môn toán là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên nó chiếm một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học. Ước ao học giỏi toán là niềm mơ ước của bao thế hệ học sinh và các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo...cho con em và học sinh mình. Toán học là môn khoa học có từ lâu đời nó nghiên cứu rất nhiều thể loại đa dạng và phong phú. Trong chương trình Đai số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: Quy đồng mẫu các phân thức,rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, tìm cực trị...Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan. Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh trong trường hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp. Nếu áp dụng những phương pháp thông thường đã được học trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích được. Có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích được thành nhân tử. Vì vậy câu hỏi thường đặt ra trong trường hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích được thành nhân tử ? Nếu trả lời được câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải được bằng cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể . Bên cạnh đó ngoài những phương pháp thông thường, còn có thể sử dụng một số phương pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trường hợp nhất định , những phương pháp này trong chương trình sách giáo khoa chưa có điều kiện đề cập đến nhưng nếu được giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu được một cách toàn diện hơn về lý thuyết và có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng. Để cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử. Giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức ... một cách chính xác có hệ thống, hiểu được gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có được những vận dụng hợp lí, đưa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh và đưa ra những dạng bài tập thích hợp. mục đích nghiên cứu: Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trường vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp. Nhiệm vụ nghiên cứu: Về lý thuyết: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản. - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trường, vành đa thức... - Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy. - Một số định lý về nghiệm của đa thức. - Một số định lý về phân tích đa thức thành nhân tử của các đa thức bất khả quy. Về thực tiễn giảng dạy: Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm được mức độ, giới hạn nội dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh. Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phân đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình Đại số cấp THCS. Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp thử nghiệm sư phạm. Phương pháp điều tra thực tiễn. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu: Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức (một ẩn) thành nhân tử của chương trình đại số lớp 8. Phần hai Các nội dung lý thuyết cơ sở: Nhắc lại các cấu trúc Đại số: Định nghĩa phép toán hai ngôi: Giả sử A là một tập không rỗng. Một ánh xạ: f : A´A đ A được gọi là một phép toán hai ngôi trên A. Với mỗi cặp (x,y) ẻ A´A, ảnh f (x,y) được gọi là hợp thành của cặp (x,y) và còn được viết gọn là f(x,y). Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu “+” thì được ký hiệu bởi x+y và phép toán đã cho được gọi là phép cộng, x+y được gọi là tổng của x và y. Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu "." thì f(x,y) được ký hiệu bởi x.y và phép toán được gọi là phép nhân, x.y được gọi là tích của x và y. Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị nhóm: Phép toán hai ngôi f trên tập hợp A có tính chất kết hợp nếu f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)]. với mọi x,yẻA . Nếu phép toán là phép cộng thì tính chất kết hợp có nghĩa là: (x+y)+z = x+(y+z) với "x,y,zẻA. Nếu phép toán là phép nhân thì tính chất kết hợp có nghĩa là: (x.y).z = x.(y.z) với "x,y,zẻA. + Phép toán hai ngôi f được gọi là giao hoán nếu f(x,y) = f(y,x) với "x,yẻA. + Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp được gọi là một nửa nhóm. + Một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính chất giao hoán. + Một nửa nhóm nhân được gọi là một vị nhóm nếu nó có một phần tử eẻA sao cho xe = ex = x với "xẻA., e được gọi là phần tử đơn vị. Nửa nhóm cộng A được gọi là một vị nhóm nếu mỗi phần tử aẻA đều tồn tại một phần tử a’ẻA sao cho a+a’ = 0 = a’+a. a’ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là -a. Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm giao hoán hay nhóm Aben. Một tập con B của nhóm A được gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B cũng là một nhóm đối với phép toán trong A. Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con: Tập hợp A được gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân sao cho: A với phép cộng là một nhóm giao hoán. A với phép nhân là một vị nhóm. Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với ba phần tử tuỳ ý là x,y,zẻA . Ta có: x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx. Vành A được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán. Một tập con B của vành A được gọi là một vành con của nhóm A nếu b cũng là một vành con đối với phép toán trong A Định nghĩa trường, trường con: Một trường là một vành giao hoán có đơn vị khác không và mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo. Tập con B có ít nhất hai phần tử của trường A được gọi là một trường con của trường A nếu B cũng là một trường đối với các phép toán trong A. Nhắc lại về đa thức: Vành đa thức một ẩn: Giả sử A là một vành con của vành E giao hoán có đơn vị, uẻE. Phần tử a0+a1u+a2u2+...+anun+... trong đó aiẻA với mọi i = 0,1,...,n,... và chỉ có một số hữu hạn aiạ0 (1). được gọi là một vành đa thức của phần tử u trên vành A. Tập hợp các đa thức của u trên A được ký hiệu bởi A[u]. Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà: a0+a1u+a2u2+...+anun = 0 Kéo theo mọi ai = 0. * Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có dư), hệ quả: -Giả sử K[x] là vành đa thức trên trường K. Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) ạ0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x). q(x) được gọi là thương, r(x) được gọi là dư. Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x):g(x) Nếu r(x) ạ0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có dư. -Hệ quả: Giả sử K là một trường f(x) ẻ K[x]và aẻK, khi đó f(a) là dư trong phép chia f(x) cho x-a. *Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn: Giả sử A là một vành. Phần tử àẻA được gọi là nghiệm của đa thức f(x)ẻA[x] nếu f(à) = 0. Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức: Giả sử K là một trường. Phần tử àẻK là nghiệm của đa thức f(xa0+a1u+a2u2+...+anun)=0[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết chi nhị thức x-a Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử. Định nghĩa đa thức bất khả quy: Đa thức f(x) ạ 0 và khác ước của 1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ước của đơn vị. Tiêu chuẩn Aidenxtainơ: Giả sử f(x) = a0+a1x+a2x2+...+anxn = 0 với các aiẻZ. Nếu có một số nguyên P thoả mãn các điều kiện sau: P không phải là ước của an. P là ước của ai, với i = 0,1,...,n-1. P2 không phải là ước của a0. thì là đa thức bất khả quy trong Q[x]. Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy: Mệnh đề 1: Giả sử K là một trường. Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K[x] còn f(x) là một đa thức tuỳ ý thuộc K[x] thì f(x) chia hết cho P(x) hoặc nguyên tố với P(x). Mệnh đề 2: Giả sử K là một trường. Trong vành K[x] nếu đa thức bất khả quy Q(x) là ước của tích f(x).g(x), thì P(x) là ước của f(x) hoặc g(x). Mệnh đề 3: Giả sử K là một trường. Trong vành K[x] nếu tích f(x).g(x) chia hết cho h(x) và [g(x), h(x)] = 1 thì f(x) chia hết cho h(x). Mệnh đề 4: Giả sử K là một trường. Trong vành K[x] nếu f(x) chia hết cho hai đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng. Định lý về sự phân tích một đa thức (có bậc n³1) thành tích các đa thức bất khả quy. Giả sử K là một trường. Mỗi đa thức f(x))ẻK[x] có bậc n³1 đều phân tích được thành những đa thức bất khả quy. Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào thực tiễn giảng dạy. Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chương trình sách giáo khoa: Trong chương trình Đại số 7 chương IV học sinh đã được học khái niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm cuả một đa thức, bước đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức, một số đa thức đơn giản (bậc nhất và bậc hai). Trong chương I của sách giáo khoa Đại số 8 học sinh đã được học về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phép chia hết và phép chia có dư). Nhưng học sinh mới chỉ biết cách phân tích đa thức thành nhân tử ở các đa thức tương đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thường, chưa có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức với việc phân tích các đa thức thành nhân tử, về giá trị của đa thức, dư trong phép chia của đa thức với việc tìm nghiệm của đa thức ... nên học sinh chưa có được sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức. Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử: Các khái niệm cơ bản: Một đa thức của các biến x,y,....,z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x,y,...,x là các biến. Nếu tại x=a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x). Phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích của những đơn thức và đa thức. Các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử. Với một cặp đa thức A(x) và B(x) trong đó B(x) ạ 0: tồn tại cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho: A(x) =B(x).Q(x)+R(x) trong đó R(x) =0 hoặc bậc của R(x) thấp hơn bậc của B(x). Nếu R(x) =0 ta được phép chia hết. Nếu R(x) ạ 0 ta được phép chia có dư, khi đó Q(x) là thương và R(x) là dư của phép chia A(x) cho B(x) . + Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aẻQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3. Đặt phép chia đa thức: 10x2-7x+a 2x-3 10x2-15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 Để A(x) chia hết cho 2x-3 ta phải có: a+12=0 a=-12 Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3 +Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a ẻ Q) Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 -a2x3+a2x2 ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) (3a-a2)x2-6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a2+a+6=0 Û(a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1 *Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức: Giả sử K là một trường. Phần tử àẻK[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-a. Ví dụ: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia ta được: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) Ví dụ 2:Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử. Dễ thấy x=1 là một nghiệm Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1 Thức hiện phép chia ta được: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x=-1 Thực hiện phép chia ta được: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x=2 Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1). *Khái niệm đa thức bất khả quy: Đa thức f(x)ạ 0 và khác ước của 1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ước của đơn vị. Ví dụ: Z là vành số nguyên. Số nguyên m ẻ z[x] là bất khả quy khi và chỉ khi m là số nguyên tố. Đa thức ax+b ẻ Z[x], a ạ 0 là bất khả quy khi và chỉ khi (a,b)=1 Cụ thể 3x+5 là bất khả quy. Tiêu chuẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy: Giả sử f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn với các ai ẻZ. Nếu có một số nguyên tố P thoả mãn các điều kiện sau: P không phải là ước của an. P là ước của ai, với i=0,1,...,n-1. P2 không phải là ước của a0. Thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q[x] Ví dụ: f(x)=2x3-3x2+9x-3 là đa thức bất khả quy trong Q[x] vì số nguyên tố P=3 thoả mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ. Ví dụ: Hãy lập một đa thức bất khả quy trong Q[x] có bậc 7? Chọn P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 là đa thức bất khả quy trong Q[x]. 3.Một số bài tập vận dụng và cách giải: Các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách 1 số hạng thành nhiều số hạng khác. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2 =(2x-2)2 -x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) =(3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x sao cho b1/a=c/b2 tức là b1b2=ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) ac=4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2=-4 =b nên ta có thể làm như sau: Cách 1: 4x2-4x-3 =4x2-6x+2x-3 =(4x2-6x)+(2x-3) =2x(2x-3)+(2x-3) =(2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 =(4x2-4x+1)-4 =(2x-1)2-22 =(2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1). + Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2) Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a. Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+...+an với a0,a1,...,an-1,an ẻ Z Có nghiệm x=a (a ẻ Z) => a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn –1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn ẻ Z. Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1. Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an -abn-1=an tức là a là ước của an. Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x3-x2-4. Lần lượt kiểm tra với x=±1,x=±2,x=±4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x=2 do đó chứa thừa số (x-2) Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 =(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 =(x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) =(x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1. Ví dụ; x3-5x2+8x-4 x-1 -x3-x2 x2-4x+4 -4x2+8x-4 - -4x2+4x 4x-4 4x-4 o vậy x3-5x2+8x-4 =(x-1)(x2-4x+4) =(x-1)(x-2)2 Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức. đa thức chứa thừa số x+1 Ví dụ: x3-5x2+3x+9 Ta có 9-5=1+3 -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1 x3-5x2+3x+9 x+1 -x3+ x2 x2-6x+9 -6x2+3x+9 --6 x2-6x 9x+9 -9x+9 0 Vậy x3-5x2+3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1)ạ 0 thì: f(1):(a-1) và f(-1): (a+1) đều là số nguyên. Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18 Ư(18)=±1,±2,±3,±6,±9,±18 f(1)=4-13+9-18=-18 ạ 0 f(-1)=-4-13-9-18=-44 ạ 0 ±1 không phải là nghiệm của f(x) Dễ thấy: -3;±6;±9;±18 không là nghiệm của f(x) 2 không phải là nghiệm của f(x) Dễ thấy x=3 là nghiệm của f(x) 4x3-13x2+9x-18 =4x3-12x2-x2+3x+6x-18 =(4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) =4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) =(x-3)(4x2-x+6) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hai bình phương hoặc xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử. x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+x3m+2+1 đều chứa thừa số (x2+x+1) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 =(x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12=y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128=y2-16=(y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128=(x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. A=x4+6x3+7x2-6x+1 A=x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 A=x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 A=(x2+3x-1)2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. x4-6x3+12x2-14x+3 Thử: x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3 a+c=-6 ac+b+d=12 ad+bc=-14 bd=3 bd=3 mà b,d ẻZ => b ẻ ±1; ±3 Với b=3 => d=1 a+c=-6 ac=8 a+3c=-14 a=-2 c=-4 Vậy: a=-2 b=3 c=-4 d=1 => x4-6x3+12x2-14x+3 =(x2-2x+3)(x2-4x+1) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P=x2(y-z)+y2(x-z)+x2(x-y) Thay x=y => P chứa thừa số x=y nếu thay x=y,y=z,z=x thì P không đổi (Ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x y z x) Nên P đã chứa thừa số x-y thì cũng chứa thừa số y-z,z-x. P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z. Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta được: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K=2 K=-1 Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z). Các bài tập về tìm nghiệm của đa thức: Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6 rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Hạng tử tự do bằng 6. Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6. f(-1)=2-7-2+13+6=12 ạ 0 -1 không phải là nghiệm của đa thức này. f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 là nghiệm của đa thức này. f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 là nghiệm của đa thức này. f(1)=2+7-2-13+6=0 nên 1 là nghiệm của đa thức này. f(2)=32+56-8-26+6=60 ạ 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này. f(3)=162+189-18-39+6=300 ạ 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức này. Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ước của 2, Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này.Nên có thể là nghiệm của đa thức này. Suy ra 1/2 là nghiệm của đa thức này. Vì đa thức f(x) có bậc 4 nên nó có tối đa 4 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó lần lượt là: 1;-2;-3;1/2. *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x-1/2 . => f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)(x-1/2) Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử. f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 Ư(6)= ±1; ±2 ;+-3 ; ±6. f(1)=1-6+11-6=0 => 1 là nghiệm của f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => 2 là nghiệm của f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => 3 là nghiệm của f(x) Vì đa thức f(x) có bậc là 3 nên nó có tối đa 3 nghiệm, suy ra các nghiệm của nó là 1,2,3. Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3. f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). Các bài tập về phép chia hết và phép chia có dư của đa thức: Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 Cách 1: Đặt phép chia: x3-3x+a x2-2x+1 - x3-2x2+x x+2 2x2-4x+a - 2x2-4x+2 a-2 Vì phép chia là phép chia hết nên a-2=0 a=2. Cách 2: Dùng phương pháp hệ số bất định: Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thì thương là nhị thức bậc nhất có hạng tử bậc cao nhất là x3:x2=x Hạng tử bậc thấp nhất là a:1=a Như vậy x3-3x+a đồng nhất với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a. Do đó các hệ số tương ứng phải bằng nhau tức là: a-2=0 1-2a=-3 a=2. Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Gọi thương của phép chia là Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) với " ẻR. Với x=1 thì 1-3.1+a=0.Q(1) hay –2+a=0 tức là a=2. Thử lại (x3-3x+2):(x2-2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). Đặt phép chia: 2n2+3n+3 2n+1 -2n2-n n+2 4n+3 - 4n-2 5 Đa thức 2n2+3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhưng có những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1. Vậy (2n-1) phải là Ư(5)= ±1; ±5. 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n=-2 Vậy với n=-2.0.1.3 thì giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1). phần ba Kết luận. Dạy học giải các bài toán thông qua các phương pháp là cả một nghệ thuật để giúp các em nắm được bài, hiểu bài và có hứng thú, kỹ năng làm bài, nhất là các bài tập khó trong giờ luyện tập ,chuyên đề. Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu các phương pháp và cách vận dụng để dạy cho học sinh của mình. Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều phải truyền tải các nội dung trên. Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của giờ học. Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ cơ bản đến phức tạp để tạo tiền đế cho học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao. Bản thân tôi mới nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh của khối 8 và thu được kết quả khả quan. Tôi mong muốn được có nhiều ý kiến đóng góp và giúp đỡ của các thầy cô giáo và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn !. Ngày 01 tháng 05 năm 2006. Người viết: Lương Thị Hương Giáo án dạy thực nghiệm Tiết 15: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác Mục tiêu: Học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử và phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Vận dụng linh hoạt vào giải bài tập. Chuẩn bị của giáo viên và của học sinh. Học sinh đọc kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Đọc kỹ bài mới ở nhà. Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu. Hoạt động của thày và trò. Kiểm tra bài cũ. + Học sinh 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1/2(x2+y2)-2x2y2=1/2[(x2+y2)-4x2y2] =1/2[(x2+y2)-(2xy)2] =1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] =1/2[(x-y)2(x+y)2] GV: Em đã dùng phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử. GV: Uốn nắn cách trình bày bài của học sinh. + Học sinh 2: Tìm x biết: (2x-3)2-(x+5)2=0 (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0 (3x+2)(2x-3-x-5)=0 (3x+2)(x-8)=0 3x+2=0 x-8=0 x=-2/3 x=8 GV: Dùng phương pháp nào để phân tích vế trái thành nhân tử? A.B=0ú A=0 B=0 GV: Phân tích x2+5x+6 thành nhân tử: Dùng các phương pháp đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử? HS: Không thể dùng các phương pháp đã học để phân tích được. GV: Đó chính là nội dung bài học hôm nay!. Bài mới. GV: Giới thiệu nội dung bài học GV:HS: Ta không thể dùng các phương pháp đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử. ? Em nào tìm được cách phân tích HS: Suy