Đề tài Những bài toán cực trị trong chương trình Trung học cơ sở

Đặt vấn đề Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhưng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình đại học toán và sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài : “Những bài toán cực trị trong chương trình Trung học cơ sở” làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình. Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại được một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh. Nội dung đề tài gồm 3 phần: Phần I : Khái quát chung. Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số. Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học. Phần I : Khái quát chung A/Mục đích yêu cầu: 1/ Đối với giáo viên: - Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phương pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị. - Dự đoán được các sai sót của học sinh, nêu được những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị. 2/ Đối với học sinh: - Hiểu được bản chất của khái niệm cực trị và nắm được các bước giải của bài toán cực trị. - Nhận dạng được từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phương pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó. - Bước đầu ứng dụng được các bài toán cực trị vào đời sống. B. Lý thuyết chung: Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xưa trong lịch sử toán học. Nó bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con người, ngày nay các bài toán cực trị được nghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật. Chúng góp phần hình thành nên các ngành của toán học như quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển tối ưu. Trong bài viết này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không dùng phương pháp đạo hàm. Xét hàm số n biến: F (x,y,z...) liên tục trên miền đóng D Rn Nếu F(x,y,z...) A với mọi (x,y,z) D = const Đồng thời (x0,y0,z0...) sao cho F(x0,y0,z0...) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất của F (x0,y0,z0...) trên D. Ký hiệu max F (x0,y0,z0...) = A Tương tự, nếu F (x0,y0,z0...) A (a = const) (x,y,z...) D Và (x0,y0,z0...) D sao cho F (x0,y0,z0...) = a Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z...) trên D Ký hiệu: min F (x,y,z...) = a Trong chương trình Trung học cơ sở, thông thường n =. Như vậy để giải một bài toán cực trị, thông thường ta tiến hành theo 2 bước: Bước 1: Chỉ rõ F (x,y,z...) a (hoặc A) (Với A; a là hằng số) (x,y,z...) D Bước 2: Chỉ ra được (x0,y0,z0...) D sao cho F (x0,y0,z0...) = a (hoặc = A) Phần II một số bài toán cực trị trong đại số I/ Cực trị của hàm đa thức một biến: 1.1- Phương pháp: Đưa về dạng: f (x) = k g 2 (x) (k = const) Nếu f (x) = k + g 2 (x) thì min f (x) = k g (x) = 0 Nếu f (x) = k - g 2 (x) thì max f (x) = k g (x) = 0 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 Giải: Ta có: (x+2)2 0 dấu “ = ” x = - 2 (x-1)2 0 dấu “ = ” x = 1 Nên A > 0 Nhưng không thể kết luận được min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức. Do vậy ta phải giải như sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 = x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1 = 2x2 + 2x + 5 = 2 ( x2 +x + ) = 2 (x2 + 2x + ) + = 2 (x + )2 + Do đó min A = khi x = - Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6) Giải: Ta có: B = - ( x2 + 5x - 6) (x2 + 5x + 6) Đặt: x2 + 5x = t Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t2-36) B = 36 - t2 36 x = 0 Vậy B = 36 khi x2 + 5x = 0 x = -5 x= 0 Do đó: max B = 36 Khi x = -5 1.2- Một số nhận xét: - Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ). - Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể như ví dụ 1 ta có thể dặt y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2 1.3- Một số bài tập tương tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9 B = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 C = (x+1)2 + ( x+3)2 D = x( x+1) ( x+2) ( x+3) E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A= 4x - x2 +1 B = 5- 8x- x2 C = -5x2- 4x + 1 D = 1- x- x2 II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz + 36x + 5 Giải: P = (9x2+36xy+36y2)+(18y2- 24yz+8z2)+ (8x2 -16xz+8z2)+2x2 + 5 = 9 (x + 2y)2 + 2 (3y- 2z)2 + 8 (x- y)2 + 2x2 + 5 Ta thấy P 5 Với x = y = z = 0 thì P = 5 Do đó P = 5 khi x = y = z = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 15- 10x- 10x2 + 24 xy- 16y2 Giải: Q = - (x2 + 10x + 25) - (9x2- 24xy + 16y2) + 40 = 40- (x + 5)2 - (3x- 4y)2 40 x = -5 Vậy max Q = 40 y = - Nhận xét: + Ta vận dụng kiến thức cho F = F 1 + F2 thì maxF = maxF 1 + maxF 2 hay (min F = min F 1 + min F 2) Trong đó F 1,F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng một biến thì cùng đạt max (min) tại một bộ giá trị xác định của biến (Với đa thức nhiều biến) + Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 Giải: Cách 1: M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 = (a2- 4ab + 4b2) + (b2- 2b + 1) + 27 + 10a-20b = (a- 2b)2 + (b- 1)2 + 27 + 10 (a- 2b) Đặt a- 2b = t ta được D = t2 + (b- 1)2 + 27 + 10t = (t + 5)2 + (b- 1)2 + 2 2 t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3 Dấu “ = ” xảy ra khi b- 1 = 0 b = 1 b = 1 Vậy min M = 2 b = 1; a = -3 Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu (a1 + a2 +.....+ an)2 = a12 + a22 +...+ an2 + 2a1a2+ ...+ 2an-1an + 2ana1 M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 = ( a2 + 4b2 + 25- 4ab + 10a- 20b) + (b2- 2b + 1) + 2 = (a- 2b + 5)2 + (b-1)2 + 2 Vì (a- 2b +5 )2 0 ; (b-1)2 0 a,b R (b-1)2 = 0 b = 1 M 2 min M = 2 (a- 2b + 5)2 = 0 a = - 3 áp dụng phương pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4. Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0) = a(x2 + x + ) + b(y2 + y + )- - + e = a(x + )2 + b (y + )2 + Vì a,b > 0 ; (x + )2 0; (y + )2 0 x,y R A Amin = x + = 0 x = y + = 0 y = Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = (x- 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 (a là hằng số) Giải: Ta có N 0 (x- 2y + 1)2 = 0 Dấu đẳng thức xảy ra (Có nghiệm) (2x + ay + 5)2 = 0 x- 2y + 1 Có nghiệm ạ a ạ -4 2x + ay + 5 = 0 Nếu a = - 4 ta có M = (x- 2y + 1)2 + (2x- 4y + 5)2 2 = (x- 2y + 1)2 + 2(x- 2y + 1) + 3 = (x- 2y + 1)2 + 4 (x- 2y + 1)2 + 12 (x- 2y + 1) + 9 = 5 (x- 2y + 1)2 + (x- 2y + 1) + + 2 = 5 (x- 2y + 1) + + 2 = 5 x- 2y + + Dấu đẳng thức xảy ra x- 2y + = 0 Mmin = 0 x- 2y + ạ 0 Bài tập tương tự: Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 1- 4x- 5x2 B = xy- x2- y2 + 4x+ 5 C = x2 + y2- 6x- 2y + 17 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 4 B = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2003 C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7 D = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2004 E = x2- 2xy + 6y2- 12x + 12y + 45 F = (x+2y)2 + (x- 4)2 + (y- 1)2- 27 G = x4- 8xy- x3y + x2y2- xy3 + y4 + 2001 H = (x-y)2 + (x+1)2 + (y- 5)2 + 2006 I = x2 + 2y2 + 3z2- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000 III/ Cực trị của phân thức đại số: 3.1- Một số kiến thức cần lưu ý: Cho P = với A > 0 : - Nếu m = 0 P = 0 - Nếu m > 0 max P = ; min P = - Nếu m < 0 ta có max P = ; min P = Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đưa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán cực trị của đa thức. 3.2- Các ví dụ: Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = Giải: M = = Ta thấy: (2x- 1)2 0 nên (2x- 1)2 + 4 4 Do đó (Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử mẫu đều dương) Vậy maxM = với x = Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức Mẫu thức x2- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0 Nhưng với x= 0 thì: = không phải là giá trị lớn nhất của phân thức (Chẳng hạn với x = 2 thì = 1 > ) Từ a khi a,b cùng dấu Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: N = Giải: N = = (x + 1)2 0 x = 1 + 0 x vì (x+2)2 + 1 > 0 x Dấu “ = ” xảy ra x = -1 vậy min N = 1 x = -1 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = Giải: P = = = 1 + + Đặt = A ta có P = 1 +A + A2 P = A2 + A + 1 = A2 + 2A + + = (A + )2 + P = khi A = - hay x = -1 Vậy min P = x = -1 3.3- Nhận xét: ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đưa về tìm cực trị của đa thức ở mẫu. Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng nhau. Trong ví dụ 8 là trường hợp mẫu là bình phương của nhị thức ta có thể đổi biến. 3.4- Một số bài tập tương tự: Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = B = C = Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: D = E = G = IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 4.1- Kiến thức cần thiết: a, ẵf (x)ẵ = f (x) nếu f (x) 0 ẵf (x)ẵ = - f (x) nếu f (x) 0 b, ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ ẵ f (x) + g (x)ẵ dấu “ = ” xảy ra f (x). g (x) 0 c, ẵf (x)ẵ - ẵg (x)ẵ ẵ f (x) - g (x)ẵ dấu “ = ” xảy ra f (x). g (x) 0 ẵf (x)ẵ ẵg (x)ẵ max f (x) = A d, Giả sử ta có min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a1,b1) Nếu f (x) 0 ta có: max f (x) = max ẵf (x)ẵ = A trên đoạn (a1,b1) min ẵf (x)ẵ = min ẵf (x)ẵ = a trên đoạn (a1,b1) Nếu max f (x) 0 còn min f (x) 0 trên đoạn (a1,b1) Ta có: max ẵf (x)ẵ = max (A; ẵa ẵ) min ẵf (x)ẵ = 0 Nếu f (x) < 0 ta có: max ẵf (x)ẵ = - min f (x) trên đoạn (a1,b1) min ẵf (x)ẵ = - max f (x) trên đoạn (a1,b1) Chứng minh: a, Luôn đúng theo định nghĩa b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có - ẵf (x)ẵ f (x) ẵf (x)ẵ - ẵg (x)ẵ g (x) ẵg (x)ẵ Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có - (ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ) f (x) + g (x) ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ ẵ f (x) + g (x)ẵ ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ Dấu đẳng thức xảy ra f (x) và g (x) cùng dấu f (x).g (x) 0 ẵf (x)ẵ = ẵ(f (x) - g (x)) + g (x)ẵ ẵf (x)ẵ -ẵg (x)ẵ + ẵg (x)ẵ ẵf (x)ẵ -ẵg (x)ẵ ẵf (x) - g (x)ẵ Dấu đẳng thức xảy ra f (x) . g (x) 0 d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phương hai vế ( Xét các trường hợp có thể xảy ra) Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ẵx +1ẵ + ẵ2x + 5ẵ + ẵ3x- 8ẵ Nhận xét: Từ bất đẳng thức ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ ẵf (x) + g (x)ẵ Ta mở rộng được: ẵf (x)ẵ + ẵg (x)ẵ + ...+ ẵh(x) ẵ ẵf (x) + g (x) +...+ h(x)ẵ Dấu đẳng thức xảy ra f (x), g (x),..., h(x) cùng dấu. (Việc chứng minh đơn giản) Giải: A = ẵx +1ẵ + ẵ2x + 5ẵ + ẵ18-3xẵ áp dụng bất đẳng thức trên ta có: A ẵx +1 + 2x + 5 + 18-3xẵ = ẵ24ẵ = 24 Dấu đẳng thức xảy ra x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu - 1 x 6 4.2- Các ví dụ: Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau: A = ẵx-1996ẵ + ẵ x- 2000ẵ Giải: Cách 1: Chia khoảng để xét. Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x Do x -3992 A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4 (1) Nếu 1996 x 2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2) Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996 A > 4 (3) Từ (1), (2), (3) min A = 4 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức ẵxẵ + ẵyẵẵx +yẵ dấu “ = ” xảy ra khi xy 0 Ta có: A = ẵx- 1996ẵ + ẵx- 2000ẵ = ẵx- 1996ẵ + ẵx- 2000ẵ = ẵx- 1996ẵ + ẵ2000- xẵ ẵx- 1996- x +2000ẵ = 4 Vậy A 4 (x- 19996) (2000- x) 0 Lập bảng xét dấu: x 1996 2000 x- 1996 - 0 + ẵ + 2000- x + ẵ + 0 - (x-1996) (2000- x) - 0 + 0 - (x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000 Vậy min A = 4 1996 x 2000 Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = ẵx- x2 - ẵ-2 Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất ẵx- x2 - ẵ đạt giá trị nhỏ nhất Đặt f(x) = x- x2 - ta có f(x) < 0 x f(x) = - (x2- x + + = - (x- )2 - - Dấu “ = ” xảy ra x = vậy max f(x) = x = Theo ý (d) vì max f(x) = - x = min ẵf(x)ẵ = khi x = min B = - 2 = - khi x = 4.3- Bài tập ứng dụng: Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau: A = ẵ2x- 3ẵ B = ẵ5- 3xẵ + 2 C = 5 ẵ1- 4xẵ - 1 D = ẵx -1ẵ + ẵx- 4ẵ E = 5- ẵ2x -1ẵ H = I = ẵx- 1ẵ + ẵx- 3ẵ + ẵx- 6ẵ K = ẵx- 1ẵ + ẵx + 2ẵ + ẵx + 3ẵ + ẵ x + 15ẵ + ẵx- 16ẵ L = ẵx- a1ẵ + ẵx- a2ẵ + ... + ẵx- a2m - 1ẵ Trong đó a1, a2,..., a2m – 1 cho trước V/ Cực trị của hàm căn thức: 5.1- Kiến thức cần thiết: P(x,y) a (x,y) D a, = ( a = const, a 0 ) (x0,y0) D, P(x0,y0) = a P(x,y) A (x,y) D b, = A (A = const, A 0 ) (x0,y0) D, P(x0,y0) = A c, Nếu P(x,y) > 0 muốn tìm min, max của P(x,y) ta tìm min, max của P(x,y) 2 5.2- Các ví dụ: Ví dụ 11: (Đưa về hàm giá trị tuyệt đối) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = + Giải: Tập xác định R P = + = ẵx- 2ẵ+ ẵx - ẵ = ẵx- 2ẵ+ ẵ - xẵ = ẵ x- 2 + - xẵ = ẵ- ẵ = Dấu “ = ” xảy ra (x- 2) ( - x) 0 x 2 Vậy min P = x 2 Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = + x - 2 0 2 x 4 (*) Giải: Điều kiện để B xác định 4- x 0 Với điều kiện (*) B 0 bình phương 2 vế được B2 = x- 2 + 4 - x + 2 = 2 + 2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có 2 = (x-2) + (4-x) 2 Dấu “=” xảy ra x-2 = 4- x x = 3 Suy ra: B2 4 vì B 0 nên ta được MaxB = 2 khi x= 3 Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: C = Giải: Tập xác định -1 x 1 khi đó C > 0 Ta có C2 = = = = + 16 16 C 4 C2 16 C -4 ( loại) Vì 1 - x2 > 0 với -1 < x < 1 Dấu “=” xảy ra khi 3 – 5x = 0 x = Vậy min C = 4 x = 5.3- Bài tập ứng dụng: Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 1996 + B = + C = Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của: D = + E = + G = VI/ Cực trị có điều kiện: Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó. Để giải quyết được các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bước trung gian một cách hợp lý và khéo léo. Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo cách giải ở trên. 6.1- Các ví dụ: Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x2 + y2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của x + y. Giải: Với x,y R ta đều có: (x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2 = 2(x2 + y2) = 2 (Vì x2 + y2 = 1) Do (x-y)2 0 dấu “=” xảy ra x= y Nên (x+y)2 2 ẵx+yẵ - x +y Khi x = y ta có x2 + x2 = 1 x2 = x= Vậy max (x+y) = x = y = min (x+y) = - x = y = Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = 2x+ 3y- 4z Biết rằng x,y,z 0 và thoả mãn hệ phương trình 2x+y+3z = 6 (1) 3x+4y-3z = 4 (2) Giải: Từ hệ phương trình điều kiện ta có: 5x+5y = 10 x +y = 2 y = 2-x (3) Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6 z = - Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có: N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (-) = 2x + 6- 3x- + = + Nmin(Nmax) có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố định Nmin (Nmax) xmin (xmax) Do x 0 nên min N = x=0; y= 2; z= Lại có: y 0 nên từ (3) ta có x x z 0 nên từ (2) ta có x Vậy maxN = + = x = 2, y = 0, z = Ví dụ 16: Cho a,b,c -1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2 Giải: Ta có a,b,c -1;2 -1 a 2 a+1 0 và a- 2 0 (a+1) (a- 2) 0 a2 a + 2 tương tự ta cũng có: b2 b + 2 c2 c + 2 Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 a2 + b2 + c2 6 a=2; b = c = -1 max A= 6 b=2; a = c = - 1 c=2; a = b = - 1 6.2- Bài tập tương tự: Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x3 + y3 Biết x+y = 1 B = biết x > 0 C = 5x- 6y + 7z Biết x,y,z là số không âm và thoả mãn hệ phương trình 4x + y+ 2z = 4 3x + 6y- 2x = 6 VII/ Tìm cực trị bằng cách dùng tam thức bậc hai: 7.1- Nhắc lại kiến thức: Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2 + bx + c (aạ 0) = b2- 4ac a, Nếu < 0 thì a. f(x) x R b, Nếu = 0 thì a.f(x) 0 x R dấu “=” xảy ra khi x = c, Nếu > 0 ta có bảng xét dấu: X x1 x2 + a.f(x) + 0 - 0 + 7.2- Các ví dụ: Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + Giải: Điều kiện x 2 Đặt: = y 0 ta có y2 = 2- x Do đó: A = 2- y2 + y = - (y- )2 + max A= y = 2- x = x = Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz+ 36 xy Giải: Ta chứng minh rằng P > 0 x,y,z Biến đổi P về tam thức bậc hai đối với x P= f(x) = 19x2- 2(8z - 18y)x + (54y2 + 16z2- 24yz) Ta có: Âx = (8z- 18y)2- 19 (54y2 + 16z2- 24yz) Âx = - 702y2 + 168yz- 240z2 Ta coi Âx là một tam thức bậc hai đối với y Khi đó: Ây = 842.z2- 702. 240z2 Ây =- 161. 424y2 0 x Âx 0 y,z P = f(x) 0 x,y,z Vậy min P= 0 khi x = y = z = 0 Ví dụ 18: Xác định a,b sao cho hàm số y = đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng –1 Giải: ta phải tìm a,b để 1 4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra. (1) 4 1 x và dấu “=” xảy ra được 4x2- ax + 4-b 0 x và dấu “=” cũng xảy ra được 4x2 + ax + b + 1 0 x và dấu “=” cũng xảy ra được 1 = a2- 16 (4-b) = 0 = a2 - 16 (4-b) = 0 b = 3 2 = a2- 4 (b+1) = 0 = a2- 4 (b+1) = 0 a = 4 Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì: f(x) = đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1 VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số: 8.1- Nhắc lại kiến thức: Cho hàm số y = f(x) miền xác định D. Miền giá trị của hàm số là tập hợp những y sao cho tồn tại x thuộc D để f(x) = y. Nói cách khác: Miền giá trị của hàm số là tập hợp những y để phương trình f(x) = y có nghiệm x D 8.2- Một số ví dụ: Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A = Giải: Để biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau đây có nghiệm a = (1) ax2 + ax + a = x2-x+1 (a-1)x2 +(a+1)x +(a-1)=0 Trường hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0 Trường hợp 2: Nếu a ạ 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là 0 tức là (a+1)2- 4(a-1)2 0 (a+1+2a-2) (a + 1- 2a+ 2) 0 (3a- 1) (a- 3) 0 a 3 (aạ 1) Với a= hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là: x= = Với a= thì x = 1 với a = 3 thì x= -1 Gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có: MinA = x = 1 MaxA = 3 x = -1 Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) = với x Giải: Gọi y0 là giá trị tuý ý của hàm số. Vậy phương trình sau đây (ẩn x) có nghiệm: = y0 (1) Do 3x2 + 2x+ 1 > 0 x Vậy (1) 2x2 + 10x+3 = 3x2y0 +2xy0 + y0 (3y0- 2)x2 + 2 (y0-5)x + y0- 3 = 0 (2) Xét hai khả năng: Trường hợp 1: Nếu 3y0- 2 = 0 ( y0= ) thì y0- 5 ạ 0 hiển nhiên có nghiệm tức là f(x) nhận giá trị với x nào đó. Trường hợp 2: Nếu 3y0- 2 = 0 ( y0 ạ ) thì (2) là phương trình bậc hai đối với x, do đó (2) có nghiệm Nếu  =- 2y0 + 19y0- 35 0 y0 7 và y0 ạ Kết hợp cả hai trường hợp ta có: y0 7 (3) Từ (3) max f(x) = 7 và min f(x) = x D x D 8.3- Bài tập ứng dụng: Bài tập 11: a, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: f(x) = x /R b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: g(x) = x /R c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: h(x) = x /R 8.4- Đáp án bài tập 11: a, y0 1 b, g0 3 c, -1 y0 3 IX/ Dùng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki: 9.1- Nhắc lại kiến thức: a, Cho đẳng thức côsi (Cauchy) Cho n số không âm a1, a2,....a12 ta có bất đẳng thức Dấu “=” xảy ra a1 = a2 = ....a12 b, Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho dãy số bất kỳ a1, a2 ,....a12 và b1, b2 .....,b12 ta có: Dấu “=” xảy ra k ai = k bj i = 1; n Chứng minh: a, Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp: hiển nhiên với n = 2 bất đẳng thức đúng giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là: Ta phải chứng minh mệnh đề dúng với n = k + 1 Giả sử a1 a2 ...ak ak+1 ( Nếu điều kiện không thoả mãn thì ta thay đổi vị trí và đặt lại thứ tự) ak+1 Đặt = x thì x 0 ak+1 = x+y với y 0 và xk a1a2 ...ak ( Do giả thiết quy nạp) ta có: = = Vậy mệnh đề luôn đúng với n 2 Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = ....= an b,Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôxki: Đặt A= B = C = Ta cần phải chứng minh AB C2 Nếu A= 0 thì bất đẳng thức được chứng minh Nếu B = 0 ta cũng có bất đẳng thức luôn đúng Với A ạ 0 và B ạ 0, x bất kỳ R Ta có: .......................... Cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta có: Vì (*) đúng với mọi x nên thay c = vào (*) ta có: A. - 2 + B Dấu đẳng thức xảy ra khi 9.2- Các ví dụ: Ví dụ 21: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy) Cho a,b,c là ba số dương có tích abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) Giải: Vì a,b,c dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+a 2 x y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) 8 mà abc = 1 vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1 Ví dụ 22: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của: Giải: Vì a > 1; b > 1 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta chứng minh: thật vậy: Vì a > 1 Bình phương hai vế ta có: đúng Do đó: từ đó ta cũng có: Vậy từ (*) ta có: Vậy P 8 do đó min P = 8 khi a = b= 2 Ví dụ 23: (áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky) Cho hai số dương x,y luôn nghiệm đúng với hệ thức: tìm giá trị nhỏ nhất của x + y Giải: Ta thấy áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky cho hai cặp số và 2 Ta có: (x+y) (x+y) Dấu “=” xảy ra khi Tức là x,y là nghiệm hệ trên tưừ đó ta có: x = Vậy min(x+y) = khi x = Ví dụ 24: a, Tìm giá trị lớn nhất của: A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) b, Tìm giá trị nhỏ nhất của: B = với x > 0 Giải: a, Xét (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 không đổi x1 = 5 khi đó A= 11.11 = 121 x 2 = -2 Vậy max A = 121 x = 5 hoặc x = -2 b, Viết: B = = Xét 8. (do x > 0) không đổi nên tổng của nó nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x = (vì x 0) Vậy min B = 9.3- Nhận xét: a, Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả cacd giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức. bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức. b, Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau: + Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất hai số đó bằng nhau. + x ,y , xy = const (x+y)min x = y ( Như ở ví dụ 24) 9.4- Bài toán tương tự: Bài tập 12: a, Cho x, y sao cho 0 x 4; 0 y 4 Tìm giá trị lớn nhất của Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y) b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1 t 2 Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz c, Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của H = 3x + 4y d, Biết x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = X/ Sáng tạo bài toán cực trị: Ví dụ: Từ một số phương pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thành một số bài tập mới. Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳ theo yêu cầu của một số bài toán. Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x3 ( 16- x3) với (0 < x3 < 16) b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B = với > 0 Giải: a, Ta có: x3 + (16- x3) = 16 (không đổi) Nên x3 (16- x3) lớn nhất khi và chỉ khi x3 = 16- x3 hay x3 = 8 x = 2 Vậy maxA = 23 (16- 23) = 16 khi x = 2 b, B = x và là hai số dương có tích x. = 19982 (không đổi) Nên tổng x + đạt giá trị nhỏ nhất khi x = hay x = 1998 Vậy min B = 3 . 1998 khi x = 1998 Ví dụ 26: Cho biểu thức M = x2+ y2 + 2z2 + t2 Với x,y,z,t N Tìm giá trị nhỏ nhất của M là các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng x2- y2 + t2 = 21 (1) x2+ 3y2 + 4z2 = 101 (2) ( Thi học sinh giỏi toàn quốc 1985) Giải: Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta được: 2(x2+ y2 + 2z2 + t2 )- t2 = 122 min M = 61 khi t = 0 Với t = 0 từ (1) ta có: x2- y2 = 21 x-y = 1 x= 12 ( loại không thoả mãn (2) ) Vậy x+y = 21 y = 10 x = 5 thay x = 5, y = 2 vào (2) ta có z = 4 y = 2 vậy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0 Ví dụ 27: Cho x,y thoả mãn x2+ y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x+y Giải: Từ (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 (do x2+ y2 = 1) Do đó: max(x+y) = Do đó: max(x+y) = - từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán khác như sau: 1, x2 + ay2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + 2y 2, 4x2 + 9y2 = 2 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = 2x + 3y nếu x Ví dụ 28: (áp dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giải phương trình) Giải phương trình: (1) Giải: Ta có: VT Mà 4- 2x- x2 = 5- (x+1)2 vậy VP Vậy để phương trình có nghiệm thì VP = VT = 5 Hay 5- (x+1)2 = 5 (x+1)2 = 0 x= 1 Ví dụ 29: Giải phương