Đề tài Phân loại bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Sở giáo dục & đào tạo hà nội đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài “ Phân loại bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian ” ? & sơ yếu lý lịch Họ và tên: Hoàng Văn Tươi Ngày sinh: 23 / 07 / 1980 Năm vào ngành: 2001 Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mỹ Đức Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Toán học Hệ đào tạo: Từ xa Bộ môn giảng dạy: Môn Toán THPT Hà nội – năm 2010 Lý do chọn đề tài Bài toán viết phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ tư duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn người học. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ không gian trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng. Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình yếu, mức độ tư duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này, để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề. Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh bước tiếp vào tương lai. Phạm vi thực hiện đề tài Đề tài này được thực hiện trong phạm vi lớp 12A, 12TD trung tâm GDTX Mỹ Đức . Thời gian thực hiện đề tài Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song chương phương pháp toạ độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2009 -2010 d. quá trình thực hiện đề tài * Trước khi thực hiện đề tài: Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập: Bài toán: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M( 1; 2; 3 ) và có chỉ phương là = ( 2; -4 ; 1) b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đường thẳng d1 : c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc (P): x + 2y - 3z + 1 = 0 d/ d đi qua 2 điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1) */Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài Kết quả của lớp 12A ( sĩ số 53) Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải Câu a 12 33 8 Câu b 4 26 23 Câu c 4 21 28 Câu d 2 20 31 Kết quả của lớp 12TD ( sĩ số 35) Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời Lời giải Câu a 4 15 16 Câu b 2 18 15 Câu c 2 17 16 Câu d 2 10 23 Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú. Nội dung thực hiện đề tài: Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan Véc tơ chỉ phương của đường thẳng * và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì là chỉ phương của đường thẳng d. * là chỉ phương của d thì k. cũng là chỉ phương của d ( k ≠ 0 ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng * và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì là pháp tuyến của () * là pháp tuyến của () thì k. cũng là pháp tuyến của (),( k ≠ 0 ) 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng * Phương trình tổng quát của () có dạng Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C20) * Nếu () có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của () là ( A;B;C) * Nếu () đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận (A;B;C) làm pháp tuyến thì phương trình của () là : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 * Nếu () chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phương =(a1;a2;a3) (b1;b2;b3) thì pháp tuyến của () là = [, ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) * Nếu () cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì () có phương trình là : ; (a.b.c 0 ) ( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ) 4. Phương trình của đường thẳng Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)d  và véc tơ chỉ phương của d là (a; b ; c ) thì * phương trình tham số của đường thẳng d là : ;( t là tham số) * phương trình chính tắc của d là : ; (a.b.c 0 ) * Phương trình tổng quát của đương thẳng có dạng: ( Bản chất d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt trong hệ) 5. Các kiến thức khác * Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB) - véc tơ = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA ) - Toạ độ trung điểm I của AB là I= * = (a1;a2;a3) = (b1;b2;b3) - Tích có hướng của và là một véc tơ ký hiệu là [, ] [, ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) Chú ý:- [, ] và [, ] - Nếu và cùng phương thì Quy ước: Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là Phần 2: Nêu phương pháp chung để giải toán: Trong bài toán Viết phương đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( gọi tắt là chỉ phương) và toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 sgk hh12) để viết phương trình đường thẳng. Phần III: các dạng bài tập thường gặp Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phương của một đường thẳng cho trước . Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12). Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phương của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d : ;( t là tham số) b/ d: c/ d: (d là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 và 2 ) Lời giải a/ Ta có M(2 ;-3 ;5)d, chỉ phương của d là =(3; -1; -2) b/ Ta có M(2 ;-1 ;0)d, chỉ phương của d là =(3; 2; 4) c/ Ta có 1 = (2; 3; -1) 2 = (3; -1; 2) Véc tơ chỉ phương của d là =[1, 2] = (5; -7 ; -11) Cho x = 0 ta có Vậy điểm M(0 ; -1 ; -2) d Dạng 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương = (a; b; c). Hướng dẫn: * phương trình tham số của đường thẳng d là : ;( t là tham số) * phương trình chính tắc của d là : ; (a.b.c 0 ) Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) và có chỉ phương là =(3; -1; -2) b/ d đi qua điểm M(1;0;3) và có chỉ phương là =(0; -1; -2) c/ d đi qua gốc toạ độ và có chỉ phương là =(3; 1; -2) Lời giải a/ Ta có phương trình tham số của d là : ( t là tham số ) phương trình chính tắc của d là: b/ phương trình tham số của d là: ( t là tham số ) Không có phương trình chính tắc . c/ phương trình tham số của d là ( t là tham số ) phương trình chính tắc của d là Dạng 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A,B cho trước. Hướng dẫn: - Chỉ phương của d là - Chọn điểm đi qua là A hoặc B ( Đưa bài toán về dạng 2) Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 ) b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1) c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ Lời giải a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phương của d là =(-3; -1; -5) lấy A(2; 3; 5) d . phương trình tham số của d là ( t là tham số ) b/ Do d đi qua M và N nên chỉ phương của d là =(3; 0; -4) phương trình tham số của d là: ( t là tham số ) c/ Do d đi qua M và O nên véc tơ chỉ phương của d là =(-1; 2; 3) phương trình tham số của d là: ( t là tham số ) Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng () . Hướng dẫn: - pháp tuyến của mặt phẳng () là chỉ phương của d đưa bài toán về dạng 2 Ví dụ : Trong không gian Oxyz . Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau : a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với (): x + 2y – 3z + 1 = 0 b/ d đi qua gốc toạ độ và vuông góc với (): 3x - 5y + 2z -2 = 0 c/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy) d/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) e/ d đi qua M(2; -3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz) Lời giải a/ Do d () nên chỉ phương của d là =(1; 2; -3) phương trình tham số của d là ( t là tham số) b/ Do d () nên chỉ phương của d là =(3; -5; 2) phương trình tham số của d là ( t là tham số) c/ Do d (Oxy) nên chỉ phương của d là =(0; 0; 1) phương trình tham số của d là ( t là tham số) d/ Do d (Oxz) nên chỉ phương của d là =(0; 1; 0) phương trình tham số của d là ( t là tham số) e/ Do d (Oyz) nên chỉ phương của d là =(1; 0; 0) phương trình tham số của d là ( t là tham số) Dạng 5: Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Hướng dẫn: - chỉ phương của d’ chính là chỉ phương của d đưa bài toán về dạng 2. Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với d’ ( t là tham số) b/ d đi qua điểm M(-1;2;3) và song song với d’: c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d’ d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox. Lời giải a/ Do d // d’ chỉ phương của d là = (1; 2; -3) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) b/ Do d // d’ chỉ phương của d là = (3; 2; 4) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) c/ Ta có 1 = (2; 3; -1) 2 = (3; -1; 2) Véc tơ chỉ phương của d’ là ’=[1, 2] = (5; -7 ; -11) Do d // d’ chỉ phương của d là = (5; -7; -11) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) d/ Do d // trục ox chỉ phương của d là = (1; 0; 0) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 6 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và (Q) Hướng dẫn : - Chỉ phương của d là = [P, Q] Đưa bài toán về dạng 2. Ví dụ1: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0. Lời giải . Ta có P = (2; 3; -2) Q=(1; -3; 1) Do d //(P) và d//(Q) nên chỉ phương của d là = [P, Q]= (-3; -4; -9) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Ví dụ2: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và mặt phẳng (Oxy) Lời giải . Ta có pháp tuyến của (P) là : P = (3; 2; -4) Pháp tuyến của (Oxy) là =(0; 0; 1) Do d //(P) và d//(Oxy) nên chỉ phương của d là = [P, ]= (2; -3; 0) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’.( d’ không vuông góc với (P)) Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và chỉ phương của d’.( P và ’ ) - Chỉ phương của d là = [P, ’] Đưa bài toán về dạng 2 Ví Dụ: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với d’: . b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với d’: ( t là tham số ) Lời giải a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là P = (3; -2; 1) - Chỉ phương của d’ là ’= (2; 3; 4 ) Do d//(P) và dd’ chỉ phương của d là = [P, ’] = (-11; -10; 13) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) b/ Ta có : - Pháp tuyến của (Oxz) là = (0; 1; 0) - Chỉ phương của d’ là ’= (3; -1; 2 ) Do d//(Oxz) và dd’ chỉ phương của d là = [, ’] = (2; 0; -3) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 8 : Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 không cùng phương. Hướng dẫn : -Xác định chỉ phương của d1 và d2 (1 và 2) Chỉ phương của d là = [1, 2] Đưa bài toán về dạng 2. Ví Dụ: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau: a/ d đi qua điểm M(2; -3; 4) và vuông góc với d1: ( t là tham số ) d2: b/ d đi qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc với trục oy và đường thẳng d’ Lời giải a/ Ta có : Chỉ phương của d1 là 1 = (-3; 1; 2) Chỉ phương của d2 là 2 = (2; 5; 3 ) Do d d1 và dd2 chỉ phương của d là =[1, 2]= (-7; 13; -17) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) b/ Xét đường thẳng d’ ta có : - Pháp tuyến của (P) là P = (1; 3; -2 ) - Pháp tuyến của (Q) là Q = (2; -1; 3) Chỉ phương của d’ là ’ = [P, Q] = (7; -7; -7) Hay chỉ phương của d’ là ’ = (1; -1; -1) chỉ phương của trục oy là = (0; 1; 0) Do d d’ và doy chỉ phương của d là =[’, ]= (1; 0; 1) phương trình tham số của d là: ( t là tham số) Dạng 9 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), ( (P) và (Q) không song song ) Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) , (P và Q ) - Chỉ phương của d là = [P, Q] -Xác định một điểm thuộc d: ( bằng cách giải hệ tạo bởi phương trình hai mặt phẳng và cho trước giá trị một ẩn.) Đưa bài toán về dạng 2 Ví Dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): 2x – 3y +z +3 = 0. Lời giải - Pháp tuyến của (P) là P = (1; 1; 1 ) - Pháp tuyến của (Q) là Q = (2; -3; 1) Chỉ phương của d là = [P, Q] = (4; 1; -5) Toạ độ điểm M d thoả mãn hệ cho x = 0 y=1 và z = 0 M(0; 1; 0 ) d phương trình tham số của d là ( t là tham số ) Nhận xét: Bài toán trên bản chất là bài toán chuyển từ phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng phương trình tham số. Dạng 10 : Đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. Hướng dẫn : - Chỉ phương của d là chỉ phương của d1 và d2 - Xác định toạ độ điểm Md1, N d2 toạ độ trung điểm I của MN d. Đưa bài toán về dạng 2. Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: ( t là tham số ) và d2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. Lời giải Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phương của d là = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) d phương trình tham số của d là ( t là tham số ) Nhận xét : - phương trình của d và d1 chỉ khác nhau toạ độ của điểm đi qua. - Giả sử d1 và d2 được thay bằng phương trình tổng quát thì cách xác định điểm đi qua và véc tư chỉ phương tương tự như dạng 9. Dạng 11 : Đường thẳng d là phân giác của góc tạo bời d1 và d2 cắt nhau. Hướng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I của d1 và d2 - Lấy điểm A d1 ( A khác I) - Xác định Bd2 sao cho IA = IB ( tìm được hai điểm B1 và B2 thoả mẵn) + Với điểm B1 trung điểm I1 của AB1 d đi qua I và I1 + Với điểm B2 trung điểm I2 của AB2 d đi qua I và I2 Đưa bài toán về dạng 3. Ví dụ: Trong không gian Oxyz . Viết phương trình tham số của d là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1: và d2: ( t là tham số ). Lời giải Phương trình tham số của d1 là: xét hệ t=0 và t’=1 thoả mãn cả 3 phương trình trong hệ. d1 cắt d2 tại điểm I(3; 0; -1) Lấy A(1; -1; 0) d1. Bd2 toạ độ của B(3-t; 2t; -1+t) IA = IB t = 1 hoặc t = -1. Vậy có hai điểm B thoả mãn là B1(2; 2; 0) và B2(4; -2; -2) * gọi I1 là trung điểm của AB1 I1=(; ; 0) phân giác thứ nhất đi qua I và I1 . =(; ; 1) chỉ phương của d là = (-3; 1; 2) phân giác thứ nhất là ( t là tham số ) * gọi I2 là trung điểm của AB2 I1=(; ; -1) phân giác thứ nhất đi qua I và I2 . =(-;; 0) chỉ phương của d là = (-1; -3; 0) phân giác thứ hai là ( t là tham số ) Dạng 12 : Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. Phân tích : giả sử d là đường vuông góc chung của d1 và d2 chéo nhau thì d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (P) chứa d và d1 - (Q) chứa d và d2 Hướng dẫn : - Xác định chỉ phương của d1 và d1 là 1 và 2 - Chỉ phương của d là =[1, 2] - Viết pt mặt phẳng (P) chứa d và d1 - Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d và d2 - d là giao tuyến của (P) và (Q) ( Đưa bài toán về dạng 9 ) Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau: d1: và d2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1 và d2. Lời giải: Ta có : chỉ phương của d1 là: 1=(2; 3; 1) Chỉ phương của d2 là : 2= (3; 2; 2) d là đường vuông góc chung của d1 và d2 Chỉ phương của d là = [1, 2] = (4; -1; -5) Gọi (P) chứa d và d1 pháp tuyến của (P) là P=[1,]=(-14; 14; -14) Hay pháp tuyến của (P) là P = (-1; 1; -1) Điểm M(1; -1; 5) (P) phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0 -x +y –z +7 = 0 Gọi (Q) chứa d và d2pháp tuyến của (Q) là Q=[,2]=(8; -23; 11) Điểm N(2; -1; -1) (Q) phương trình của (Q) là: 8(x-2) - 23(y+1) + 11(z+1) =0 8x - 23y +11z - 43 = 0 Xét hệ ( là phương trình tổng quát của d ) Cho y = 1 x = và z = điểm A(; 1; ) d Vậy phương trình tham số của d là : ( t là tham số ) Dạng 13 : Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 . Phân tích : - do d cắt d2 tại N N d2 và N d - Khi đó là chỉ phương của d .1 = 0 toạ độ điểm N - Đưa bài toán về dạng 3. Hướng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N d2 - Lập véc tơ =? , xác định chỉ phương của d1 - do d d1 .1 = 0 toạ độ điểm N - d là đường thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 3) Ví dụ: Trong không gian Oxyz .Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; 3) vuông góc với d1: và cắt d2 : ( t là tham số) Lời giải: Ta có: chỉ phương của d1 là :1 = (1; 3; 1) Do d cắt d2 N(-3; 2 - t; 1+ t ) d = (-5; -1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương của d do d d1 .1 = 0 t = -5 = (-5; 4; -7) phương trình tham số của d là : ( t là tham số) Dạng 14 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d1 trên mặt phẳng (P). Phân tích : d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q) ( mặt phẳng (Q) chứa d1 mà vuông góc với (P)) . Phương pháp : - Xác định pháp tuyến P của (P), chỉ phương 1 của d1 - gọi (Q) là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với (P) - Lập phương trình (Q) - d là giao tuyến của (P) và (Q) (Dạng 9) Ví dụ : Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d1 : trên mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = 0. Lời giải : Ta có : M(2 ; 1 ; 3 ) d1 Chỉ phương của d1 là 1= (3; -1; 1) Pháp tuyến của (P) là P=(2; -3; 1) Do d là hình chiếu của d1 trên (P) d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P). pháp tuyến của (Q) là Q=[1, P] = (2; -1; -7) phương trình của (Q) là : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = 0 2x –y -7z +18 = 0 chỉ phương của d là : =[P, Q] = ( 22; 16; 4 ) Hay chỉ phương của d là =(11; 8; 2) Xét hệ: cho z=1 x= - và y = - A(-;-; 1) d phương trình tham số của d là : ( t là tham số ) Dạng 15 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d vuông góc với (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và đường thẳng d2. Phương pháp: - giả sử d cắt d1 và d2 tại M và N dạng toạ độ của M và N ? - d vuông góc (P) pháp tuyến P của (P) cùng phương toạ độ của M, N ( Đưa bài toán về dạng 9) Ví dụ: Trong không gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d . biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1: d2: ( t và t’ là tham số ) Lời giải: Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t) d cắt d2 tại N toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’) =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3) Pháp tuyến của (P) là P= (1; 2; 1) Do d vuông góc với (P) và P cùng phương. t= và t’= M(; ; ) d1 , =(; ; ) chỉ phương của d là =(1; 2; 1) phương trình tham số của d là : ; ( t là tham số ) Dạng 16 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d. biết d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 . Phân tích: do d // (P) và d//(Q) chỉ phương của d là tích có hướng của hai pháp tuyến của (P) và (Q). do d cắt d1 và d2 tại M và N dạng toạ độ của M và M cùng phương với chỉ phương của d toạ độ cụ thể của M phương trình tham số của d Hướng dẫn: - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) là P và Q - Xác định chỉ phương của d là = [P, Q] - Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d với d1 và d2 - Lập , // toạ độ của M phương trình tham số của d Ví dụ: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng (P): x + 2y – z +1 = 0 (Q): - x – y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng d1:, d2: Lời giải Ta có: pháp tuyến của (P) là: P= ( 1; 2; -1) Pháp tuyến của (Q) là: Q= (-1; -1; 2) Do d //(P) và d//(Q) chỉ phương của d là = [P, Q]= ( 3; -1; 1) Giả sử d cắt d1 tại M toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t) d d cắt d2 tại N toạ độ của N là N(3-t’; 1+2t’; 2-t’) d = (-t – t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 ) // t = t’ = M(; ; ) Vậy phương trình tham số của d là: ; ( t là tham số ) Bài tập tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. ( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007) Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. ( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007) Bài3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N. ( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần 2 năm 2007) Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng () : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () ( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2008) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng () : 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () ( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008) Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với () ( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4). Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007) Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng (P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q). (Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 9: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1: và d2: (Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: Trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – 5 = 0. (Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng d1: (t R); d2: (t’ R ) (Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d2: (t R) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt cả hai đương thẳng d1 và d2. ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007) Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phương trình đương thẳng d song song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt hai đường thẳng d1: , d2: (Đề 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vuông góc với đường thẳng d1: và cắt đường thẳng d2: (t R) (Đề 7 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d1: , d2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2. ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006) Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: , viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d. ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm 2004) Bài 17: Cho hai đường thẳng d1: ( t R), d2: (t’ R) Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2. Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d1, d2 và thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2. d1: ; d2: đáp án: Bài 1 : ; (tham số t R) Bài 2 : Bài 3 : (tham số t R) Bài 4 : (tham số t R) Bài 5 : (tham số t R) Bài 6 : (tham số t R) Bài 7 : Bài 8 : d : (tham số t R) Bài 9 : d : (tham số t R) Bài 10: (tham số t R) Bài 11: (tham số t R) Bài 12: Bài 13 : (tham số t R) Bài 14 : Bài 15 : Bài 16 : Bài 17 : có hai phân giác là : (t R ) và (t R) Bài 18 : (tham số t R) e- kết quả thực hiện Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp 12A và 12TD làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp 12A14 ( trường THPT Mỹ Đức B) để làm lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra đó. Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12A( Thực nghiệm) 13% 50% 30% 7% Lớp 12TD( Thực nghiệm) 11% 50% 31% 8% Lớp 12A14( Đối chứng) 0% 15% 45% 40% Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa hai đối tượng học sinh. Như vậy chắc chắn phương pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em phận loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi . f- kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài. 1/ Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãi các đề tài được giải để các giáo viên cùng tham kh