Đề tài Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

I.Phần mở đầu I.1 Lí do chọn đề tài: a. Cơ sở lí luận: - Toán học là một ngành khoa học cơ bản giữ vai trò vô cùng quan trọng đối với đời sống kinh tế, xã hội...Đặc biệt toán học là cơ sở, là phương tiện để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Có thể nói toán học là chìa khoá của mọi ngành khoa học. Từ toán học đã mở ra những con đường để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học cho đời sống của con người. Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải học, nhà trường là một trong những nơi cung cấp những hành trang đó . Bộ môn toán trong trường trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính tư duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề dưới mọi góc độ, phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết. Vì vậy người thầy phải cung cấp cho học sinh nắm được các dạng toán cơ bản và các hướng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để học sinh phát triển tư duy và hình thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt được điều đó phải đòi hỏi người học phải tích cực, nhưng phương pháp của người thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhưng có thể làm được hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài khó . Dạy học “ Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh” là phù hợp với qui luật của tâm lý học, bởi“tính tích cực, chủ động ,sáng tạo” sẽ dẫn tới tính tự giác, từ đó khơi dạy tiềm năng to lớn của học sinh. Mặt khác dạy học “ Phát huy tính tích cực, chủ động,sáng tạo” của học sinh cũng rất phù hợp với đặc điểm lứa tuổi trung học cơ sở, đặc biệt là với lứa tuổi lớp 8 bởi lứa tuổi này là lứa tuổi ưa hoạt động, thích tìm tòi khám phá. Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào : Rút gọn biểu thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ngoài ba phương pháp cơ bản như : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số bất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển được tư duy toán học. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó. Vì vậy, tôi nêu ra phương pháp :Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giải bài tập áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. b. Cơ sở thực tiễn: a) Do đặc điểm của học sinh lớp 8 ở trường THCS có một số đặc điểm về mặt tâm lý mà việc đổi mới phương pháp dạy học không thể không nói đến đó là: -Đặc điểm về tâm lý lứa tuổi - Điều kiện học tập tại nhà trường ( số lượng bộ môn học và mức độ phức tạp trong một bài học, một tiết học cũng tăng lên ...) - Kinh nghiệm thực tế trong giao tiếp, cùng với các quan hệ cũng phong phú hơn nên đã làm nẩy sinh những nguyện vọng có được vị trí mới trong quan hệ đối với người lớn. - Có tính tự lập cao, có sự tự do trong hành động... Mặc dù những đòi hỏi đó vượt lên trước so với kinh nghiệm sống và khả năng thực hiện tính tự lập của các em, do đó nhiệm vụ của người lớn nói chung và của giáo viên nói riêng là phải vừa giới hạn các ý thức muốn tự lập của các em, vừa phải thường xuyên phát hiện ở các em các nhu cầu về tính người lớn, thu hút các em vào các hoạt động mang tính tích cực, tính tự lập và sáng tạo hướng các em vào khả năng tự xây dựng hoạt động nhận thức của mình. Các em không thích nghe những lời giải thích tỷ mỷ của giáo viên như ở lớp 6,lớp 7 hoặc như ở tiểu học, mà các em chờ đợi những hình thức tìm hiểu mới, đối với bài học mới mà ở đó tính tích cực, tính hoạt động (suy nghĩ) của tư duy và tính độc lập được thực hiện. Lúc này các khả năng trí tuệ được khêu gợi, yêu cầu tự suy ngẫm và tự khái quát hoá tài liệu được đề cao, thái độ tự nghiên cứu trở thành một đặc trưng của học sinh THCS nói chung và của học sinh lớp 8 nói riêng, các em bắt đầu có những điều kiện thuận lợi cho sự hình thành tự điều chỉnh trong hoạt động học tập, tính tích cực sáng tạo là sự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau, nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất người lớn. b) Về phía giáo viên luôn chuẩn bị việc giảng dạy một cách tỷ mỷ, còn việc chuẩn bị bài và học tập ở nhà của học sinh là việc thứ yếu, việc này đặc biệt chỉ liên quan đến học sinh. Như vậy việc học tập của học sinh ở nhà là phần kết thúc của công việc giảng dạy và đôi khi còn bị xem nhẹ qua vài lời chỉ dẫn đơn giản như: “ Bài tập số... trang ... sách...” hoặc “ đọc nội dung phần A, phần B...”. Nhưng thực tế cho thấy, đối với học sinh thì việc học và làm bài ở nhà hoàn toàn không phải là phần kết thúc của công việc mà là sự hoàn thiện bài học, sự vận dụng độc lập những kiến thức đã lĩnh hội trên lớp. Đặc biệt trong những năm gần đây nhiều học sinh có tình trạng học tập quá nặng vì những bài tập phải làm ở nhà quá nhiều nên hiện tượng học sinh chỉ “ chuẩn bị qua loa”, hoặc không chuẩn bị bài, hoặc quên không học bài không phải là hiếm. Vì thế khi đến lớp học sinh không tiếp thu được bài mới, không hiểu bài nên dẫn đến việc h/sinh không thích học các bộ môn nói chung và bộ môn toán nói riêng. c) Đối với học sinh lớp 8 hình thức dạy và học phải có phần thay đổi so với học sinh ở các lớp dưới (lớp 6,lớp 7, tiểu học). Khối lượng kiến thức, số bộ môn, thời gian học tập tăng, nội dung kiến thức tuy đã được biên soạn chỉnh lý song việc vận dụng và cách trình bày bài làm sao cho đảm bảo kiến thức, đặc trưng của bộ môn, đặc biệt là môn toán còn hạn chế, các em còn sử dụng ngôn ngữ nói nhiều hơn viết. Bên cạnh đó có những học sinh do nắm bắt nhanh các nội dung học tập trên lớp nên ngay khi kết thúc bài học, các em say sưa làm luôn bài tập giáo viên cho về nhà. Vì vậy, những học sinh này nếu không được giáo viên giao thêm nhiệm vụ học tập cũng dễ nảy sinh tính chủ quan dẫn tới việc quên nội dung phải học và chuẩn bị cho bài tiếp tiếp theo. Ngoài ra cũng còn một số ít học sinh do hoàn cảnh sống không thuận lợi đã tác động trực tiếp đến hoạt động học tập và làm bài ở nhà, các em không có thời gian giành cho việc học tập ở nhà, hoặc có thì rất ít... nên dẫn tới chất lượng không cao. Từ những tìm hiểu về hình thức, cách học tập của học sinh khi học môn toán lớp 8 ở lớp cũng như ở nhà, tôi luôn nghĩ rằng mình phải có một phương pháp dạy học tốt để giúp học sinh hình thành phương pháp học tập đúng đắn và có hiệu quả cao ngay từ những ngày đầu của năm học. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài: “ Phát huy tính tích cực - chủ động - sáng tạo của học sinh qua việc giải bài toán phân tích da thức thành nhân tử ” trong bộ môn toán lớp 8. Bộ môn toán trong trường trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính tư duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề dưới mọi góc độ , phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết. Vì vậy người giáo viên phải cho học sinh nắm được các dạng toán cơ bản và các hướng mở rộng của bài toán đó. Từ đó để học sinh phát triển tư duy và hình thành kĩ năng giải toán. Muốn đạt được điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính tư duy của người học , nhưng phương pháp của người giáo viên cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhưng có thể làm được hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài toán khó . Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến đổi đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào các dạng bài tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phương pháp, ngoài ba phương pháp cơ bản như : Đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số bất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau, do đó khi giảng dạy người giáo viên cần giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển được tư duy toán học. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó. Vì vậy, người giáo viên cần nêu ra phương pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc giải bài tập áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. I.2 Mục đích nghiên cứu : - Đề tài nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh lớp 8 trong việc giải bài tập áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Học sinh biết định hướng bài học một cách có căn cứ rõ ràng, chính xác. i.3- thời gian , địa điểm -Nghiên cứu đề tài trong một năm học (Năm học 2008-2009 ) -Địa điểm nghiên cứu : Trường THCS Nguyễn Đức Cảnh ThịTrấn Mạo Khê- Đông Triều - Quảng Ninh. I.4- đóng góp về lý luận, thực tiễn Qua quá trình giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm của bản thân tôi thấy hầu hết những học sinh đã học được môn toán thì khả năng tiếp thu các môn khác đều rất thuận lợi chính vì vậy bản thân tôi đã cố gắng áp dụng các phương pháp giảng dạy tối ưu nhất để nhằm : “Phát huy tính tích cực-chủ động –sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ môn qua việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử.” ii. Phần nội dung iI. 1- chương 1 : tổng quan II.1.1-Điều tra cơ bản A.Thuận lợi : Trường T.H.C.S Nguyễn Đức Cảnh là trường chuẩn Quốc gia đóng tại trung tâm khu mỏ Mạo Khê ,là nơi có kinh tế và môi trường văn hoá tương đối tốt. Nhà trường được sự quan tâm của các cấp lãnh đạo địa phương và phòng G.D.Đ.T Đông triều đầu tư cơ sở vật chất khá đầy đủ . Đa số HS đều là con em công nhân có điều kiện kinh tế và có sự quan tâm tới điều kiện học hành của con cái. Đối với HS , nhìn chung các em có khả năng nhận thức khá nhanh, có hứng thú học tập bộ môn . Ban giám hiệu và tổ chuyên môn luôn quan tâm đến công tác giảng dạy nói chung và bộ môn toán nói riêng, tạo điều kiện cho tôi thực hiện tốt đề tài của mình. B . Khó khăn: Nhà trường ở trung tâm khu công nghiệp mỏ Mạo Khê, bên cạnh những thuận lợi cũng nảy sinh những khó khăn như: Những tệ nạn xã hội đã ảnh hưởng đến gia đình và đời sống một số HS, một số HS còn chơi ham điện tử nên lười học, một số gia đình công nhân do đi ca kíp hoặc những gia đình nông dân, làm nghề tự do còn chưa quan tâm đến việc học hành của con cái, phó thác cho nhà trường. Mặt khác một số HS tuy có khả năng trong tiếp thu song khả năng vận dụng kiến thức còn lúng túng, sự vận dụng còn rất hạn chế, chưa biết vận dụng một cách linh hoạt, ý thức học tập và tự giác chưa cao. Qua thời gian giảng dạy,thực tế điều tra học sinh lớp 8A và lớp 8B do tôi đảm nhiệm tôi thấy còn có nhiều học sinh yếu kém môn toán do nhiều nguyên nhân : -Không nắm vững kiến thức cơ bản. - Các em còn bỡ ngỡ với phân môn đại số học ở cấp T.H.C.S. - Trong quá trình học tập còn lười học, lười suy nghĩ, học sinh thường học và làm bài theo kiểu máy móc, chưa phát huy hết tính tích cực, chủ động khi học toán mà còn học theo kiểu đi theo lối mòn có sẵn. Với phương pháp học tập như vậy dẫn tới việc các em chán nản, chưa thực sự hứng thú trong học tập, chưa có niềm say mê trong học tập nói chung và trong toán học nói riêng. Bước đầu điều tra tôi thấy chất lượng môn toán của các em học sinh ở lớp 8A và 8B như sau:( Tổng số 80 học sinh) II.1.2 Kết quả khảo sát đầu năm: TT Lớp Sĩ số Kết quả Giỏi Khá T. Bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 1 8a 40 3 7,5 9 22,5 18 45,0 8 20,0 2 5,0 2 8B 40 0 10 25,0 14 35,0 12 30,0 4 10,0 II.2- Chương II:Nội dung vấn đề nghiên cứu: +,Đối với bài soạn +,Khi tổ chức dạy học +,Những biện pháp nhằm giúp đỡ và hướng dẫn học sinh học tập Giáo viên phải là người thiết kế ,tổ chức, hướng dẫn và điều khiển học sinh học tập . Học sinh là chủ thể nhận thức ,biết cách tự học, tự rèn luyện, biết nghiên cứu và vận dụng sách giáo khoa, có hiệu quả theo định hướng, cho nên người giáo viên phải kết hợp kế thừa những mặt tích cực trong phương pháp dạy học truyền thống và áp dụng phương pháp dạy học hiện đại nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tức là giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức mới, tự tìm tòi kiến thức mới thì phải đổi mới đồng bộ (Từ công tác soạn, giảng của giáo viên, tổ chức trong giờ học, hướng dẫn học sinh những công việc làm ở nhà...) II.2.1: Khi soạn bài, giáo viên cần : - Chọn kiến thức cơ bản nhất để áp dụng phương pháp dạy học tích cực, vạch sơ đồ liên kết kiến thức được chọn với kiến thức khác của tiết học. - Xây dựng chiến lược dạy kiến thức được chọn bằng phương pháp tích cực, muốn thế giáo viên cần xây dựng hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập dẫn dắt học sinh đi đến kiến thức đó. - Vạch kế hoạch giảng những kiến thức còn lại theo những phương pháp phù hợp. - Ngoài bài tập có trong sách giáo khoa nên bổ sung các câu hỏi, hoặc bài tập nhằm củng cố kiến thức theo hướng vận dụng toán học vào thực tiễn và rèn luyện tư duy năng động, sáng tạo. - Việc hướng dẫn học sinh học và làm bài ở nhà là một trong những khâu quan trọng của tiết học, học sinh có định hướng được công việc cần làm hay không, làm như thế, làm những việc gì là phụ thuộc rất lớn vào sự hướng dẫn của giáo viên ở cuối tiết học. Do đó khi soạn bài giáo viên cần coi trọng việc chuẩn bị hệ thống câu hỏi, tuỳ vào đặc điểm trình độ, tuỳ vào nội dung và phương pháp của mỗi tiết học được lựa chọn mà đưa ra hệ thống câu hỏi cho thích hợp. II.2.2: Khi tổ chức dạy học : Giáo viên cần xác định rõ công việc của thầy, công việc của trò: 1. Công việc của thầy (nhiệm vụ của giáo viên): Tổ chức cho học sinh tìm kiếm kiến thức cơ bản nhất của tiết học thông qua các công việc sau: - Đưa ra câu hỏi hoặc bài tập nhằm định hướng hoạt động học tập của học sinh trên cơ sở các em đã được chuẩn bị ở nhà. - Khéo léo gợi ý để cả ba đối tượng học sinh đều tích cực trả lời câu hỏi và giải bài tập . - Tổ chức cho học sinh làm việc cá nhân hoặc trao đổi nhóm (nếu cần thiết) để các em giúp đỡ nhau. - Thông báo kiến thức hoặc phương pháp giải cho học sinh. - Khẳng định kết quả làm việc của học sinh - Đưa kiến thức mới vào hệ thống kiến thức vốn có của học sinh. - Đánh giá hoạt động học tập của học sinh (trên cơ sở chuẩn bị ở nhà và làm bài tập ở lớp). 2. Nhiệm vụ của trò: Học sinh có nhiệm vụ tự giác, chủ động tích cực học tập theo yêu cầu của giáo viên và thực hiện các công việc sau: - Trả lời câu hỏi hoặc giải bài tập (trên cơ sở đã được chuẩn bị ở nhà) . - Đặt câu hỏi khi gặp khó khăn (quên kiến thức, không xác định được phép giải …) nhằm bộc lộ quá trình tư duy của mình . - Báo cáo kết quả tự giải hoặc kết quả giải của nhóm học sinh . - Tự kiểm tra, tự điều chỉnh kết quả theo gợi ý của bạn trong nhóm hoặc gợi ý của giáo viên . Như vậy, học sinh đã chủ động, tích cực học tập bằng các hình thức sau : + Học cá nhân + Học bạn, học thầy. + Tự kiểm tra, tự điều chỉnh. II.2.3: Những biện pháp để giúp đỡ và hướng dẫn học sinh lớp 8 học tập nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo. Nhằm phát triển tư duy tích cực, sáng tạo, khả năng độc lập trong việc lĩnh hội kiến thức và học tập của học sinh, đòi hỏi giáo viên phải quan tâm tích cực đến học sinh, tạo lòng yêu thích bộ môn, sẵn sàng đón nhận giờ học, hiểu được nội dung bài học thì việc hướng dẫn học sinh học bài, làm bài mới có kết quả nhằm hoàn thiện mục tiêu dạy học trong các tiết học. Phải tạo cho các em có phương pháp học tập phù hợp mới giúp các em tự giác khi học và làm bài ở nhà. Vì vậy, nâng cao chất lượng dạy và học không chỉ qua giảng dạy trên lớp mà tôi còn thực hiện được một số việc làm, một số biện pháp tích cực giúp học sinh học tập trên lớp và làm bài ở nhà có hiệu quả. 1. Tạo cho học sinh có hứng thú học tập và yêu thích bộ môn, sẵn sàng đón nhận giờ học, không tạo không khí căng thẳng khi học sinh học tập trên lớp cho dù em có chuẩn bị bài chưa tốt. 2. Bố trí thời gian hợp lý cho từng phần, kể cả phần hướng dẫn học và làm bài ở nhà: 3. Đa dạng hoá các hình thức câu hỏi, bài tập buộc học sinh tích cực suy nghĩ: 4. Tổ chức cho học sinh tự tìm tòi, khám phá kiến thức: 5. Tăng cường thảo luận, tranh luận trong tập thể: Trong các tiết dạy trên lớp, thường xuyên xuất hiện những tình huống, những sai lầm của học sinh, có những tình huống mà giáo viên không nên chữa ngay lỗi của học sinh mà đưa ra cho tập thể lớp thảo luận, xem đó như là những tình huống tốt để phát huy tính tích cực của học sinh. iI.3-chương 3 : Phương pháp nghiên cứu ,Kết quả nghiên cứu: II.3.1: Phương pháp nghiên cứu A. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Phương pháp đặt nhân tử chung a. Phương pháp - Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ). b. Ví dụ: 15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 ) 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1) 2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức a. Phương pháp: - Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b. Ví dụ: 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) 8 -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2 3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. a. Phương pháp - Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. - áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. b. Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3) = 2x(x2 +1) - 3(x2 +1) = (x2 +1) (2x - 3) x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4) 4. Phối hợp nhiều phương pháp a. Phương pháp: - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung. + Dùng hằng đẳng thức. + Nhóm nhiều hạng tử. b. Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) =3x (y -2 )2 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3x =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) =3xy =3xy =3xy =3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a ) 5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử. a. Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. b. Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử . * Cách 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = ( x - 3)2 - 1=( x -3 - 1)( x- 3 + 1) = (x - 4)(x -2) * Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12 =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x -2) * Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4) =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)2 - 2(x - 2) =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau: *Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau: - Tìm tích ac - Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. - Chọn hai thừa số có tổng bằng b Khi đó hạng tử bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 - Tích ac là 4.(- 3) = - 12 - Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4) - Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6) 4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1) =(2x + 1)(2x - 3) * Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương. Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)2 - 22 = (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + 4 = 4x2- 8x + 4 - x2 = (2x - 2 )2 - x2 = ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2) 6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a. Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt . b. Ví dụ: +, 4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 =( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) +, x7 + x2 +1 = x7 - x + x2 + x + 1 = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) Các phương pháp khác: 1. Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a. Phương pháp: Đặt ẩn phụ đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. b. Ví dụ: * Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử . đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3) * Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử. đặt x2 + x = y ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) 2. Phương pháp hệ số bất định . a. Phương pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia. b.Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử. Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac Vì 2 đa thức này đồng nhất nên: a+ b = 0 ab + c = -19 ac =-30 Chọn a = 2, c = -15 Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15) 3. Phương pháp xét giá trị riêng. a. Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại. b.Ví dụ : P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x -y) Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x). đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0 ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) k =-1 Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: a. Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Ví dụ: x3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) -ac = - 4 a là ước của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi. Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1). b.Ví dụ : *Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1). Ví dụ: * Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1). + Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất. Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (), , (),() ,(- 3),.....Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là