Đề tài Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân

Mục Lục Trang Lời mở đầu A. Phần nội dung 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích và nhiệm vụ 3. Tóm tắt lí thuyết B. Những vấn đề cụ thể Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số Phần III:Ứng dụng đạo ham để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số C. Tài liệu tham khảo Kí hiệu viết tắt: Vd1: ví dụ 1 HD: Hướng dẫn giải BBT: Bảng biến thiên KSHS: khảo sát hàm số LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình toán lớp 12 “Đạo hàm ” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào giải toán giúp cho mỗi học sinh giải quyết bài toán đơn giản và nhanh gọn, qua đó phát triển tư duy của mình. Đối với những học sinh lớp 12 và luyện thi vào các trường đại học cần nắm vững các kiến thức về “Đạo hàm “ và vận dụng nó vào giải toán. Những năm gần đây trong mỗi đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng như thi tuyển sinh vào các trường đại học lượng kiến thức về “ Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân “ chiếm khoảng 30% số điểm của tổng điểm toàn bài thi, vì vậy việc nắm vững các “Phép tính đạo hàm và phếp tính tích phân” giúp học sinh đạt được điểm cao hơn. Hiện nay đã có rất nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kĩ năng phép tính đạo hàm, ứng dụng hình học và vật lý của đạo hàm, các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm.Chính vì những lý do thực tiễn đó mà người viết SKKN đã trình bày SKKN của mình như là một phương pháp giải toán sơ cấp nhằm góp một phần nhỏ vào công việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông. Mặc dù đã cố gắng hết sức mình nhưng với kinh nghiệm còn non yếu nên không thể tránh được những thiếu sót rất mong sự lượng thứ của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Người viết SKKN xin trân trọng lắng nghe và đón nhận những ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. A. NỘI DUNG 1. Lí do chọn đề tài Như đã nói ở trên “phép tính đạo hàm và phép tính tích phân” là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu đối với mỗi học sinh. Thông thường học sinh chỉ học một cách máy móc và dưới áp lực của các kỳ thi nên không nên không nắm được một cách hệ thống và thấy được lợi ích to lớn của phép tính đạo hàm và phép tính tích phân vì vậy người viết SKKN cố gắng trình bày SKKN của mình sao cho học sinh nắm được cơ bản của phép tính đạo hàm và hệ thống kiến thức xuyên suốt chương trình đã học. 2. Mục đích và nhiệm vụ của SKKN Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm đồng thời tránh trình bày lại SGK 12 hiện hành nên nội dung của cuốn SKKN được trình bày ngắn gọn và chỉ làm rõ một số ứng của “Đạo hàm” mà trong SGK hiện hành không đưa ra hoặc chỉ giới thiệu sơ qua. Cuốn SKKN cũng không trình bày chi tiết và rộng rải như một cuốn sách chuyên đề. Một số kiến thức trong sách giáo khoa không trình bày lại (Xem như học sinh đã học và phải tự xem lại). Nội dung cuốn SKKN được chia thành 4 phần : Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số Phần III: Ứng dụng đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong mỗi phần đều có bài toán tổng quát, ví dụ minh họa để học sinh nắm được phương pháp, vận dụng vào giải hệ thống các bài tập từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải toán và khắc sâu kiến thức. 3.Tóm tắt lý thuyết. 1. Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x(a;b). Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x, khi số gia của biến số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x. KH: hay : y’(xo) = hay = 2. Đạo hàm một bên Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thuộc TXĐ - Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại, ký hiệu là , được định nghĩa là: -Đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại, được ký hiệu là , được định nghĩa là: 3. Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn: Định nghĩa: Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đo.ù Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b. 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x và (C) là đồ thị của hàm số Định Lý 1: Đạo hàm (x) của hàm sô f(x) tại x bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M( x,f(x)). Định lý 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại điểm là: 5. Các quy tắc tính đạo hàm: Định lý 1: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và Định lí 2: Nếu u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm tại x thì tích của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và. Định lý3: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x và v 0 thì thương cũng có đạo hàm tại x và : 6. Tính đơn điệu của hàm số Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) 1) Nếu > 0 với mọi x Ỵ(a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó 2) Nếu < 0 với mọi xỴ(a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó (dấu bằng có thể xãy ra tại một số hữu hạn điểm) 7. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Ta xem như các hàm số sau đều xét trên TXĐ của chúng và u = u(x) 1. (C)’ = 0. (C = const) (x)’ = 1, mọi x , mọi x > 0 (xn)’ = n.xn – 1 , mọi x khác 0 (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (tgx)’ = , đk: cosx 0 (cotgx)’ = đk: sinx 0 (ln)’ = , đk: x 0 (ax)’ = ax lna , a > 0 và a 1, x 0 13. , đk: u > 0 14. ()’ = 15. , mọi u khác 0 16. (sinu)’ = u’.cosu 17. (cosu)’ = - u’.sinu 18. (tgu)’ = , đk: cosu 0 19. (cotgu)’ = đk: sinu 0 20. (ln)’ = , đk: u 0 21. (au)’ = u’.au lna 22. , u 0 8. Đạo hàm cấp cao. Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x). Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và KH: y” hay f”(x). Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, 4,. Một cách tổng quát, đạo hàm cấp n (n2) của hàm số y = f(x), KH: y(n) hay f(n)(x), được định nghĩa như sau: f(n)(x) = [f(n -1)(x)]’ B. NHỮNG VẤN ĐỀ CỤ THỂ PHẦN I ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 1. Bất đẳng thức mở đầu Bài toán1: Chứng minh rằng: ex – 1 x với mọi x R (1) Dấu đẳêng thứătrong (1) xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Chứng minh Xét hàm số f(x) = ex – 1 – x , trên R Ta có: f’(x) = : ex – 1 – 1 () f’(x) = 0 ex – 1 – 1 = 0 x = 1 Từ tính chất của hàm số mũ suy ra f’(x) > 0 khi x > 0, f’(x) < 0 khi x < 0 Ta có BBT: x - 1 + f’(x) - 0 + f(x) + + f(1)=0 Từ BBT ta thấy f(x) > 0, x 1 và f(x) = 0 x = 1, nghĩa là ex – 1 x với mọi x R, dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi x = 1 Bài toán được chứng minh Bài toán 2: (Bất đẳng thức Bernoulli) Với mọi số thực x > - 1 và với mọi số tự nhiên n ta luôn có (1 + x)n 1 + nx, Dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi n = 0; 1 hoặc x = 0 Chứng minh: Với n = 0; 1 ta có ngay điều cần chứng minh G/sử n 2. ta xét hàm số f(x) = (1 + x)n - 1 - nx, với - 1 < x < + Ta có: f’(x) = n[(1 + x)n – 1 – 1] => f’(x) = 0 khi x = 0 Nếu x > 0 thì 1 + x > 1, nên (1 + x)n – 1 – 1 > 0 => f’(x) > 0 Nếu x f’(x) < 0 BBT x -1 0 + f’(x) - 0 + f(x) + f(0) = 0 Dựa vào BBT ta có f(x) 0 với mọi -1 < x < + suy ra: (1 + x)n 1 + nx, . Cũng nhờ bảng biến thiên ta nhận thấy dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Chứng minh các bất đẳng thức sau: ex > 1 + x, với mọi x > 0 ln(1 + x) 0 cosx > 1 - , với mọi x > 0 , với mọi x thuộc R ln(1 + x) > x - , với mọi x > 0 BÀI TẬP NÂNG CAO Chứng minh rằng: , với mọi Chứng minh rằng, với – 11 ta đều có : (1 + x)n + (1 - x)n < 2n PHẦN II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu: * " x Ỵ D : f(x) £ M * $ Ỵ D : f() = M Kí hiệu: M = f(x) b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu: * " x Ỵ D : f(x) ³ m * $ Ỵ D : f() = m Kí hiệu m = f(x) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Bài toán: Cho hàm số y= f(x) liên tục trên (a;b). Hãy tìmf(x) và øf(x). Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) rồi dựa vào đó để kết luận. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Bài toán: Cho y = f(x) liên tục trên [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn đó. Phương pháp giải: 1) Tìm các điểm tới hạn (i= 1,2 ...) của f(x) trên [a;b] 2) Tính f(a), f(b), f() ( i= 1,2...) 3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên đó cũng là giá trị lớn nhâùt và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b] Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x - 5+ ( x > 0). Tìm f(x) và f(x) Bài giải: Với mọi x > 0 ta có: = => y’= 0 Û x = -1(loại), x= 1 Bảng biến thiên: x 0 1 + y’ - 0 + y + -3 Dựa vào BBT ta suy ra f(x) = -3 khi x = 1, hàm số không tồn tại GTLN Ví dụ 2: Cắt 4 góc hình vuông cạnh a, gập lên để có một hình hộp. Tìm cạnh hình hộp để có thể tích lớn nhất. Bài giải. Gọi x là cạnh của hình vuông bị cắt, điều kiện 0<x< Thể tích khối hộp là: V(x) = x(a-2x)2 , (0 < x <). Ta phải tìm xsao cho V(x) có giá trị lớn nhất. Xét hàm số V(x)= x(a-2x)2 ,với x V’(x)= 12x2 –8x +a2=0 x=(lọai). Lập bảng biến thiên để kết luận: maxV(x)= Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất O x Bài giải. Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x độ dài cạnh kia sẽ là Với 0 < x < 2R +) Chu vi của hình chữ nhật sẽ là: u = 2(x + ) Ta có: u’ = => u’ = 0 = x x = R BBT x 0 1 2R u’ + 0 - u 4R 4R 4R Dựa vào BBT ta thấy 4R Từ đó suy ra, trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì hình vuông (với cạnh R) là hình có chu vi lớn nhất (bằng 4R) HD: Ta vẫn có thể giải bài toán theo cách khác là Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có = 4R Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 2.x2 = 4R2 x = R (do x > 0) Từ đó suy ra điều cần chứng minh +) Diện tích của hình chữ nhật sẽ là: S = x. Ta có S’ = = => S’ = 0 = 0 x = R BBT x 0 2R u’ + 0 - u 2R2 0 0 Nhờ vào BBT ta thấy 2R2 Từ đó suy ra diện tích đạt GTLN khi x = R, khi đó cạnh thứ hai bằng = R Do đó hình có diện tích lớn nhất là hình vuông , cạnh bằng R, S = 2R2 HD: Ta có thể áp dụng BĐT Cauchy như sau S2 = x2 (4R2 – x2) (x2 + 4R2 – x2) = 2R2 Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x2 = 4R2 – x2 x = R, (do R > 0) Từ đó suy ra đpcm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên tập tương ứng y = trên [-10;10] b. y = sinx – cosx trên R c. y = 2x + trên (-;+) d. y = x + trên [-;] Tìm GTNN của tổng hai số dương, biết rằng tích của chúng bằng 26 3. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. 4. Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này có thể tích lớn nhất. 5. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16cm BÀI TẬP NÂNG CAO Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho x2 + y2 = 1. Tìm các GTLN, GTNN của biểu thức P = x. + y. 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sinx + 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3x -1 + 3-x-1 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = PHẦN III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Trong khi giải toán ta thường gặp dạng toán như: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình có đúng n nghiệm thoả một tính chất nào đó.. Việc giải bài toán bằng những phương pháp thông thường đôi khi gặp nhiều khó khăn cho học sinh. Nếu ta ứng dụng đạo hàm để giải bài toán thì sẽ thuận lợi và đơn giản hơn nhiều. Ví dụ1: Giải phương trình: 2x + 3x = 5x (1) Bài giải Ta dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình (1), ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất. Thât vậy (1) được viết lại như sau: Xét hàm số f(x) = trên R, Ta có f’(x) = .ln + .ln hàm số nghich biến trên R Do vậy với mọi x > 1 thì f(x) phương trình (1) vô nghiệm x > 1 x f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm x < 1 Từ đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) HD: Ta có thể sự dụng tính đơn điệu của hàm số mũ để giải (Đã học ở lớp 11) Mọi x > 1 thì + 1 Tương tự với mọi x < 1 thì > , và> => + > + = 1, từ đó suy ra phương trình (1) vô nghiệm với mọi x < 1 Ví dụ 2: Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện a2 + b2 = c2 Chứng minh rằng, phương trình: ax + bx = cx (*) có một nghiệm duy nhất Chứng minh Từ điều kiện a2 + b2 = c2, a > 0, b > 0, c > 0 suy ra 0 <<1, 0 <<1 Phương trình (*) được viết lại: + = 1 Ta dễ thấy x = 2 là nghiệm của (*), ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của (*) thật vậy: Xét hàm số f(x) = + , trên R Ta có : f’(x) = ln+ ln < 0 , mọi x thuộc R => hàm số nghịch biến trên R. Do vậy f(x) > f(2) = 1 với mọi x phương trình (*) vô nghiệm x < 2 f(x) 2 => phương trình (*) vô nghiệm x > 2 Vì vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2 (đpcm) Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 – x2 + 18mx – 2m = 0 (*), có ba nghiệm phân biệt. Bài giải Xét hàm số f(x) = x3 – x2 + 18mx – 2m trên R Ta có f’(x) = 3x2 – 2x + 18m => f’(x) = 0 3x2 – 2x + 18m = 0 => = 1 – 54m Để phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt, thì đồ thị của hàm số f(x) phải cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương có nghĩa là phải thoả các điều kiện sau. (1) Mặt khác hàm số được viết lại như sau: f(x) = (3x2 – 2x + 18m) = f’(x) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu => là nghiệm của f’(x) = 0 suy ra fCĐ = và fCT = Mặt khác theo Viet thì : x1+ x2 = , x1. x2 = 6m Để thoả mãn điều kiện m < 0 kết hợp với => không tồn tại giá trị m thoã mán bài toán BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Chứng minh rằng: với n là một số tự nhiên chẵn và a > 3, thì phương trình (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 = 0 vô nghiệm. HD: - Xét hàm số f(x) = (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 trên R - Lập BBT từ đó suy ra điều phải chứng minh 2. Giải phương trình: 2x4 + (1 – 2x)4 = HD: -Xét hàm số f(x) = 2x4 + (1 – 2x)4 trên R -Lập BBT suy ra phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 3. Chứng tỏ rằng với mọi a, b phương trình (x + a)3 + (x + b)3 – x3 = 0 không thể có ba nghiệm 4. Cho số m > 0, và a, b, c là ba số bất kỳ thoả mãn Chứng minh rằng trong điều kiện trên thì phương trình a.x2 + b.x + c = 0, có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD: Xét hàm số f(x) = trên đoạn [0;1] Và áp dụng định lý Lagrăng trên đoạn [0;1] PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Trong SGK giải tích lớp 12 đã trình bày đầy đủ các bước để khảo sát và vẽ đồ thị của bốn hàm số : 1. y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) 2. y = ax4 + bx2 + c (a0) 3. 4. Vì vậy trong phần này chúng ta chỉ khai thác sâu thêm về một số bài toán có liên quan đến khảo sát hàm số như: Giao điểm của hai đường cong. Biện luận nghiệm của phương trình bằng đồ thị Tiếp tuyến của đồ thị. Điểm cố định của một họ đường cong. I. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG CONG: Bài toán: Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có đồ thị là (C1) và (C2). Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2). Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1) ta có nghiệm x0 * Thay x0 vào một trong hai hàm số ta có y0 . * Tọa độ giao điểm là M(x0,y0). Lưu ý: Số giao điểm của (C1) và (C2) chính bằng số nghiệm của phương trình (1) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không cắt nhau Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm Ví dụ 1: (ĐH- GTVT) Tìm m để : y = x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là số âm. Bài Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của và Ox. cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm (2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2. Vậy vơi thoả yêu cầu bài toán Ví dụ 2: (ĐH NGOẠI THƯƠNG) Cho hàm số y = x4 – (10 + m2 )x2 + 9 Chứng minh rằng với , (Cm) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) và 2 điểm nằm ngoài khoảng (-3,3). Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục Ox. (1) Đặt Phương trình trở thành: (2) Ta có: 0 < t1 < t2 (1) có 4 nghiệm phân biệt Đặt f(t) = Ta có: af(9)= Vậy bài toán được chứng minh Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 2x2 + x + 2, có đồ thị (C) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng d: y = kx + 2 Bài giải Biện luận theo k số giao điểm của (C) và : y = kx + 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và : Biện luận : k > 0 và: (C) và có 3 điểm chung. k = 0 k = 1: 2 điểm chung. (vì có một nghiệm kép x = 0) k < 0: 1 điểm chung BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hàm số y = có đồ thị là ( C). Biện luận theo m số giao điểm của ( C) và đường thẳng d: 3x + y – m = 0 (d) là đường thẳng đi qua A(0;3) và có hệ số góc là k. Biện luận theo k vị trí tương đối của (d) và đường cong (C): y = - x + 3 + Chứng minh rằng đường thẳng (d); x – y – k = 0 luôn cắt đồ thị ( C) của hàm số y = tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau. Cho đường cong ( C) : y = - x3 + 3x và đường thẳng (a): y = m(x - 3) Chứng tỏ đồ thị ( C) luôn cắt đường thẳng (a) tại một điểm cố định Tìm m để ( C) cắt (a) tại 3 điểm phân biệt, Gọi A, B, C là 3 giao điểm tìm m để AB vuông góc với AC. BÀI TẬP NÂNG CAO Cho ( C): y = x3 – 3mx + m, với m là tham số Tìm m để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 Tìm m để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 2. Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm thuộc khoảng (-2;2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d: y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc toạ độ. II. DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bài toán: Dùng đồ thị (C ) của hàm số y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 Để giải bài toán ta làm theo các bước sau; Biến đổi phương trình thành f(x) = g(m) (1) Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d: y = g(m) có phương song song với trục Ox Dựa vào đồ thị (C ) để kết luận số nghiệm của phương trình Ví du1ï: Cho hàm số y = x4 – 2x2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C ), hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 – m = 0 (*) Bài giải a). (Học sinh tự làm ) Ta có đồ thị y = m b). Biện luận số nghiệm: của phương trình (*) Ta có : Là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d: y = m có phương song song với trục Ox Dựa vào đồ thị (C) ta có : Khi m (*) vô nghiệm. Khi m = -1: (d) và (C ) có hai giao điểm => (*) có 2 nghiệm. Khi -1 (*) có 4 nghiệm. Khi m = 0: (d) và (C ) có ba giao điểm => (*) có 3 nghiệm. Khi m > 0: (d) và (C ) có hai giao điểm => (*) có 2 nghiệm. Ví dụ 2: Cho hàm số y = , (Cm). m là tham số. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. Dựa vào đồ thị (C). Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x2 – kx +3 – k = 0 (1) Bài giải a). (Học sinh tự khảo sát). Ta có đồ thị b). Biện luận Phương trình đã cho x2 +3 = (x + 1)k (*) -Kiểm tra x = -1 không phải là nghiệm của (*) -Với x -1 , Phương trình (*) = k, đây là PT hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = k có phương song song với trục Ox Dựa vào đồ thị (C) ta có: -Khi , thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt nên pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt. -Khi , thì (d) cắt (C) tại 1 điểm nên pt đã cho có 1 nghiệm. -Khi –6 < k < 2 , thì (d) không cắt (C) nên pt đã cho vô nghiệm. y = k BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho hàm số y = , có đồ thị (C ) Dùng đồthị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x2 + (m + 1)x + 1 + m = 0 Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số Dùng đồ thị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x3 – 9x2 + 12x + m = 0 (*) 3. Cho hàm số y = a) Khảo sát và cẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trình: - mx + 4m – 3 = 0 (1) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x (Học viện hành chánh quốc gia-khối A) a). khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b). Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị cảu hàm số c). Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình III . TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị bao giờ ta cũng phải tìm cho được: Một điểm đi qua Hệ số góc của tiếp tuyến Để tìm được điểm đi qua và hệ số góc của tiếp tuyến ta phải căn cứ vào giả thuyết của bài toán, vì thế ta có thể chia bài toán tiếp tuyến thành ba dạng sau: Tiếp tuyến tại điểm M0 thuộc đồ thị Tiếp tuyến đi qua một điểm A Tiếp tuyến cho trước hệ số góc (Thường cho hệ số góc dưới dạng: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng nào đó ) Lưu ý: Nếu đường thẳng d1 , d2 lần lượt có hệ số góc là k1, k2  d1 vuông góc với d2 khi và chỉ khi k1. k2 = - 1 d1 song song với d2 khi và chỉ khi k1 = k2  Ta xét bài toán tổng quát sau Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết: d tiếp xúc (C) tại M(x0;y0). d đi qua A(x1;y1). d có hệ số góc k. Cách giải: a) Tính f’(x0) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(x0;y0) có dạng : y – y0 = f’(x0)(x – x0). b) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A thì phương trình của d là: y = k(x – xA) + yA Điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc (C) là hệ: phải có nghiệm (Nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k.) c) Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x0 là hoành độ tiếp điểm Aùp dụng câu a. Ví dụ1: Viết phươn