Đề tài Phương pháp giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong trường THCS

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai: a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = 0 trong đó a,b,c R , a 0 b) Các tính chất và định lí 1/ Công thức nghiêm Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 , a 0 và biệt thức = b2- 4ac : * Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= x2= * Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép : x1= x2= - * Nếu < 0 phương trình vô nghiệm 2 / Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 , a 0 và b = 2b’ , ’ = b’2 – ac : * Nếu ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2= * Nếu ’ = 0 phương trình có nghiệm kép x1=x2=- * Nếu ’ < 0 phương trình vô nghiệm 3/ Định lí Vi – ét : * Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (, a 0 ) thì : * Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (, a 0 ) + Nếu a+b+c =0 thi phương trình có một nghiệm x1=1 còn nghiệm kia là x2= + Nếu a- b + c = 0 thi phương trình có một nghiệm x1=-1 còn nghiệm kia là x2=- : 2/ Tình hình thực tiễn Trong đề tài này tôi xin giới thiệu với các bạn "Phương pháp giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong trường THCS" ( phần đại số). Kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận dụng giải nhiều dạng toán và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít.Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những bài toán đơn giản, học sinh trung bình có thể giải nhờ các kiến thức cơ bản sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư duy sáng tạo giải bài toán mới, tập trung "sáng tạo" ra các vấn đề mới. * Khảo sát trước khi áp dụng đề tài Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 40 học sinh từ trung bình đến khá, giỏi, tôi thấy kết quả tiếp thu "phương pháp giải Một số bài bài toán liên quan đến phương trình bậc hai " như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 – 8 Điểm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 26 65% 10 25% 3 7,5% 1 2,5% Chương II : Nội dung Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b,c phụ thuộc tham số m 1/ Dạng toán 1 : Biện luận sự có nghuệm của phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( hằng số ) Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac + Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= +Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - + Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a = 0 m = mophương trình (1) trở thành bx +c = 0 (2) - Nếu b0 ( với m = mo) thì (2) có 1 nghiệm x = - cũng là nghiệm của (1) - Nếu b = 0 và c = 0 ( với m = mo) (2) vô định (1) vô định - Nếu b = 0 và c 0 ( với m = mo) (2) vô nghiệm(1) vô định + Nếu a 0 Lập biệt thức = b2- 4ac hoặc ’ = b’2 – ac - Nếu > 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = x2= -Nếu =0 (suy ra điều kiện của m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - - Nếu < 0 (suy ra điều kiện của m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên . b/ Ví dụ : VD1 Biện luận sự có nghiệm của phường trình sau theo tham số m x2 – 4x + m = 0 (1) Giải Ta có ’ = b’2 – ac = 4 – m + Nếu ’ > 0 4 – m > 0 m < 4 (1) có hai nghiệm phân biệt x1= ; x2= + Nếu ’ = 0 4 – m = 0 m = 4 (1) có nghiệm kép x1=x2=- = 2 + Nếu ’ < 0 4 – m < 0 m < 4 (1) vô nghiệm Vậy :Với m < 4 phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1= ; x2 = Với m = 4 phương trình có nghiệm kép x1=x2 =2 Với m > 4 phương trình vô nghiệm VD2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) = 0 m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – 4 = 0 x =- = - 2 là nghiệm của (1) *Nếu m +1 0 m - 1 Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có một nghiệm x =-2 Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm (Trong qua trình thực hiện HS có thể mắc sai lầm như sau Ta có ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 + Nếu ’ > 0 2m + 3 > 0 m > - thì phương trình có hai nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 0 2m + 3 = 0 m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - + Nếu ’ < 0 2m +3 < 0 m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . x1= ; x2 = Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x1 = x2 = - Với m < - phương trình (1) vô nghiệm Như vậy h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - 2 ) 2 / Dạng toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) (Nếu hệ số a là hằng số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải cả (I) và (II) các giá trị của m cần tìm là tất cả các giá tri của m thoả mãm (I) hoặc (II) b/ Ví dụ VD3: Với những giá trị nào của m thì phương trình x2 + 3x – m = 0 có nghiệm Giải Ta có : = b2- 4ac = 9 + 4m Để phương trình trên có nghiệm thì : 0 9 + 4m 0 m - Vậy với m - thi phương trình (4) luôn có nghiệm VD4 Tìm điều kiện của m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = 0 (4) có nghiệm Giải Để phương trình (4) có nghiệm thì : Hoặc (I) hoặc (II) Giải (I) ta có m+1=0 m = - 1, và -(2m+1) 0 suy ra m - phương trình có nghiệm Giải (II) Ta có m +10 m -1 = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0 4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m 0 0 m Vậy với m - hoặc m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm 3/Dạng toán 3 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm phân biệt a/ Phưong pháp giải phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b/ Ví dụ VD5: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (5) có hai nghiệm phân biệt Giải Phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Ta có m +3 0 m - 3 và = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m > 0 4m2 +4m + 1 – 4m2 – 12m > 0 - 8m +1 > 0 m < Vậy với m - 3 và m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD6: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì > 0 Thật vậy ta có = (-3)2 – 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 m < Vậy với m < thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt 4/ Dạng toán 4 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm a/ Phương pháp giải Phương trình (1) có một nghiệm khi và chỉ khi hoặc b/ Ví Dụ VD7 : tìm điều kiện của m để phương trình mx2 + (m + 1 )x +3m = 0 (7) có một nghiệm Giải Phương trình (7) có một nghiệm khi và chỉ khi (I) hoặc (II) Giải (I): Giải (II): Ta có m0 và = (m + 1)2 – 4m3m =0 m2 +2m +1 – 12m2 = 0 -11m2 +2m +1 = 0 (*) Có = 12 –(-11)1 = 12 suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt m1= ; m2 = Vậy với hoặc m0 và m1= ; m2 = thì phương trình đã cho có một nghiệm VD8 : Với giá trị nào của m thi phương trình x2 – 2mx +4 = 0 (8) có một nghiệm Giải Phương trình (8) có một nghiệm khi và chỉ khi = 0 m2 – 4 = 0 (m +2 )( m – 2 ) = 0 m = 2 hoặc m = - 2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thi phương trình (8) có một nghiệm 5/ Dạng toán 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì : và P > 0 b/ Ví Dụ VD9: Tìm điều kiện của m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = 0 (9) có hai nghiệm cùng dấu Giải Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi : Ta có = (- 3)2- 4.2 (m + 1 ) 0 9 – 8m – 8 0 - 8m + 1 0 m Và P = > 0 m + 1 > 0 m > - 1 Vậy với -1 < m thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu 6/ Dạng toán 6 : Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ Ví Dụ10: Tìm điều kiện của m để phương trình x2 – 4x +m = 0 (10) có hai nghiệm dương Giải Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì : (1) 4 – m 0 m 4 (2) m > 0 (3) 4 > 0 m Vậy với 0 < m 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương 7/ Dạng toán 7: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm âm a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD11: Tìm điều kiện của m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = 0 (11) có hai nghiệm âm Giải Phương trình (11) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi : (1) (-(2m + 1))2 – 4(m + 3 )m 0 4m2+ 4m + 1 -4m2 – 12m 0 - 8m +1 0 m (2) > 0 m (m + 3 ) > 0 (I) hoặc (II) (I) m > 0 và m + 3 > 0 m > - 3 (II) m < 0 và m + 3 < 0 m < -3 Vậy m(m + 3 ) > 0 m > 0 hoặc m < - 3 (3) < 0 - ( 2m + 1 ) (m + 3 ) < 0 (*) hoặc (**) (*) 2m + 1 > 0 m > - và m + 3 > 0 m > - 3 (**) 2m + 1 < 0 m < - và m + 3 < 0 m < - 3 Vậy -(2m + 1 )( m + 3 ) - hoặc m < - 3 Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ; 0 < m hoặc m < - 3 8/ Dạng toán 8 Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm trái dấu a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi :>0 và P < 0 hoặc a.c < 0 b/ Ví Dụ VD12 : Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x2 + 3x + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu Giải Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi : Ta có = 32 - 4.2(m+1) > 0 9 – 8m – 8 > 0 -8m + 1 > 0 m < Và < 0 m + 1 < 0 m < - 1 hoặc 2( m+ 1) < 0 m < - 1 Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD13 : Với giá trị nào của m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = 0 có hai nghiêm trái dấu Giải Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : Ta có ’= (m+1)2 – m(m-1) > 0 m2 + 2m + 1 – m2 + m > 0 3m + 1 > 0 m > - Và P = < 0 < 0 (m-1)m < 0 hoặc hoặc +, +, Vậy với - < m < 0 hoặc 0 < m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu 9/Dạng toán 9 Tìm điều kiện của tham số để (1) có một nghiệm x = x1 tìm nghiệm kia a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có ax12 + bx1+ c = 0 m = mo Thay giá trị m = mo vào (1) x1,x2 Hoặc tính x2= S – x1 hoặc x2 = b/ Ví Dụ VD14 Định m để phương trình x2 +3x – m = 0 có một nghiệm bằng -2 .Tìm nghiệm kia Giải + Do phương trình trên có một nghiệm bằng -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m = 0 4 – 6 – m = 0 m = - 2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có một nghiệm bằng – 2 + Tìm nghiệm còn lại Cách 1 : Thay m = -2 vào (1) ta được x2 + 3x + 2 = 0 Phương trình trên có dạng a-b + c = 0 nên có hai nghiệm -1 và -2 . Vậy nghiệm thứ hai là x = - 1 Cách 2: Ta có x1 + x2 = -3 x2= - 3 – x1 = -3 –(-2) = - 1 Cách 3: Ta có : x1x2= -m = 2 x2 = = - 1 VD15: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 + mx +3 = 0 có một nghiệm bằng 1 ? Tìm nghiệm kia Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + m.1 + 3 = 0 m + 4 = 0 m = - 4 Vậy với m = - 4 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 * Tìm nghiệm còn lại Ta có : x1+x2 = - m = 4 x2 = 4 – x1 = 4 -1 = 3 VD16 : Biết rằng phương trình : x2 + 2(d – 1)x + d2 + 2 = 0 (Với d là tham số ) có một nghiệm x = 1 . Tìm nghiệm còn lại của phương trình này. Giải * Do phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1 nên ta có : 12 + 2( d- 1 ) 1 + d2 + 2 = 0 d2 + 2d + 1 = 0 (d + 1 )2 = 0 d = - 1 *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – 1 ) = 4 x2 = 4 – x1 = 4 – 1 = 3 x2 = 4 10/Dạng toán 10: Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + x2 = (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: 0 (**) và (1) (2) (3) Giải hệ x1,x2 Thay các giá trị của x1 và x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD17 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = 0 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì (1) = (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 và (2) (3) Ta có (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Từ (1) và (2) ta có hệ x2 = - 2(a – 2 ) Thay x2 vào (1) ta được x1 = 3(a – 2 ) Thay x1,x2 vào (2) ta được -2(a – 2 )3(a – 2) = - 2a 6(a – 2 )2 = 2a 6a2 – 24a + 24 = 2a 6a2 – 26a + 24 = 0 3a2 – 13a + 12 = 0 Có = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 = 5 a1 = , a2 = - 3 Vậy với a = hoặc a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD18: Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là: (1) ’ = (-4)2 – (m+5) 0 và (2) (3) Ta có ’ 0 (-4)2 –(m + 5) 0 16 - m – 5 0 11 – m 0 m 11 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình x2=- 6 thay x2 vào phương trình (1) ta được x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m + 5 m = -89 kết hợp với (1’) vậy giá trị m cần tìm là : m = -89 VD19 Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = 2 (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: ’ = (m- 1 )2 – m(m- 2) 0 và (1) (2) (3) Ta có ’ 0 m2 – 2m +1 – m2 +2m 0 1 0 m (1’) Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình 4x1 = 2 - 2 4x1 = x1= thay x1 vào (3) ta được x2 = Thay x1,x2 vào (2) ta được : . = 3 – 4m = 2m(m-2) 2m2 =3 m = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị m cần tìm là m = 11/Dạng toán 11 Tìm điều kiện của m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = k (*) a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì : 0 và (1) (2) (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4) m .Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD20: Tìm tát cả các giá trị của m để phương trình : x2 +mx +m +7 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 = m2- 4(m + 7) 0 m2 – 4m – 28 0 (+) Ta có : = 10 (1) mà (2) Thay (2) vào (1) ta được : m2 - 2(m+7) = 10 m2 – 2m - 14 = 10 m2 – 2m – 24 = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - 4 Thay các giá trị của m vao (+) ta có : Với m1= 6 thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4 0 Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD21: Hảy xác định các giá trị của m để phương trình : x2 + (m- 2 )x - (m2 + 1) = 0 (I) có hai nghiệm thỏa mãn : 5 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: 0 (m – 2)2 + 4(m2 + 1) 0 m (**) phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt Ta có : (x1+ x2)2 – 2x1.x2 = 5 (1’) trong đó x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m2 + 1 ) thay vào (1’) ta được : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = 5 m2 – 4m + 4 + 2m2 +2 – 5 = 0 3m2 – 4m + 1 = 0 m1 = 1 V m2 = Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : m = 1 V m = VD22: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : =8 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a- 2)2 – 4.1.(-2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R Ta có = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = 8 (1) trong đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta được : (a- 2)2 – 2(-2a) = 8 a2 – 4a +4 + 4a = 8 a2 = 4 a = 2 Vậy với a = 2 hoặc a = - 2 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) 12/ Dạng toán 12 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 0 (1’) và = n x1+x2 = nx1.x2 (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD23 Tìm các gia trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn : = (*) Giải Điều kiện để (I) có hai nghiệm là : 0 (m – 1)2 – (m+1)(m-2) 0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 0 - m + 3 0 m 3 (1’) Ta có = 4(x1 + x2) = 7x1x2 (2’) Mà x1+ x2 = và x1x2 = thay vào (2’) ta được : 4 =7 8(m – 1) (m + 1) = 7 (m – 2)( m + 1) ( m - 1) (*’) 8m2 – 8 = 7m2 – 7m – 14 m2 +7m + 6 = 0 m1 = - 1 và m2 = - 6 Kết hợp với (1’) và (*’) vậy giá trị của m cần tìm là : m = - 6 VD24: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = 0 (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : k (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a – 2 )2 – 4.1.( - 2a) 0 a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + 4 0 (a + 2 )2 0 a R (1’) Ta có : k x1+ x2 = k x1x2 (*’) Mà x1+ x2 = a – 2 và x1x2 = - 2a Thay vào (*’) ta được : a – 2 = k (- 2a) 2ka + a – 2 = 0 (2k + 1)a– 2 = 0 a = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của a cần tìm là : a = 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện : t (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 0 (1’) và t (x1+x2 )() = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = t (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = t (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy ra điều kiện của m b/ Ví Dụ VD25 Với giá trị nào của m thì phương trình : x2 -8x + m + 5 = 0 (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 4 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: ’ 0 (-4)2 –(m + 5) 0 16 - m – 5 0 11 – m 0 m 11 (1’) Ta có 4 (x1+x2 )() = 4 (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 4 (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 4 (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 4 (1’’) Trong đó x1+x2 =8 , x1.x2 = m + 5 Thay vào (1’’) ta được : 83 – 3.8 (m + 5) = 4 512 – 124 – 24m = 0 388 – 24m = 0 m = Kết hợp với (1’) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD26 : Xác định m để phương trình : x2 + 3x - m +10 = 0 (I) có hai nghiệm thoả mãn 3 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : ’ 0 32 - ( - m + 10) 0 9 + m – 10 0 m – 1 0 m 1 (1’) Ta có : 3 (x1+x2 )() = 3 (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = 3 (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = 3 (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = 3 (1’’) Trong đó x1+x2 =- 3 , x1.x2 = - m + 10 Thay vào (1’’) ta được : (- 3)3 – 3 (-3) (-m + 10) = 3 -27 - 9m + 90 = 3 -9m + 60 = 0 m = Kết hợp với (1’) suy ra giá trị của m cần tìm là : m = 14/Dạng toán 14 : Tìm điều kiện của m để phương trình (1) vô nghiệm a/ Phương pháp giải Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi : (I) hoặc (II) Giải (I) và (II) suy ra giá tri của m cần tìm b/ Ví Dụ VD27: Tìm các giá trị của m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – 2 = 0 (1) vô nghiệm Giải Phương trình (I) vô nghiệm khi và chỉ khi : (I) hoặc (II) Giải (I) suy ra m =1 và m 2 (2) Giải (II) Ta có: m + 1 0 m -1 và ’ < 0 (m – 1)2 – (m+1)(m-2) <0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 < 0 - m + 3 3 (3) Từ (2) và (3) suy ra Vậy với m =1 và m 2 hoặc m > 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm Bài tập áp dụng : Cho phương trình : (m+3)x2 + 2(m- 1)x + m + 1 = 0 (1) a / Giải và biện luận phương trình (1) b/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm c/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm d/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm đ/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu e/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu g/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương ,hai nghiệm âm h/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -1.Tìm nghiệm kia i/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ,x2 yhoả mãn I1, 2x1 + 3x2 = 5 ; i2, = 3 ; i3, = 8 ;i4 , 9 k/ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) vô nghiệm Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2 b) 7x2 - 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7 c) 9x2 - 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0 2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0 * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0 Ta có: ax2 + bx = 0 Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = 0 Giải 4x2 – 8x = 0 4x( x-2) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2 *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về dạng x2 = rồi giải. Ví dụ 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0 Giải: 5x2 – 100 = 0 5x2 = 100 x2 = 20x = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = ; x2 = - II. Bài tập áp dụng Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó: a)4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 c) 7x2 + 2x = 3 + 2x d) Giải : a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0 2x2 + 2x - 6 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x 7x2+2x -3 -2x = 0 7x2 – 3 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình - 2x2 + x = 0 Là phương trình bậc hai có a = -2, b = , c = 0 Dạng 2: Giải phương trình: Bài tập 2:Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, c) x2 + 2010 = 0 Giải a) 2x2 + 5x = 0 x (2x + 5 ) = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = b) 5x2 - 15 = 0 5x2 = 15 x2 = 3 x = Vậy phương trình có hai nghiệm : x = và x = - c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0. Vậy phương trình vô nghiệm. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng. a) 2x2 + 5x + 1 = 0, b) 2x2 – 2x = 0 c) = 0, d) 4x + 5 = 0 Giải a, 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0. c) = 0 là phương trình bậc hai có a = -, b = 0, c = 0. d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai. Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng và giải các phương trình đó: a) 5x2 + = , b) Giải Vậy phương trình có hai nghiệm và b, Vậy phương trình có hai nghiệm và Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Kiến thức cơ bản Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Đối với phương trình , và biệt thức - Nếu thì phương trình vô nghiệm. - Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: và - Nếu thì phương trình có nghiệm kép: Ví dụ: Giải phương trình Giải Phương trình Có a = 2, b = - 5, c = 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu phương trình , có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. II. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau: Giải (a = 2, b = , c = 1) Vậy phương trình có nghiệm kép: Bài 2: Cho phương trình a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ? b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m? Giải: a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên phải bằng 0 Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên: Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm. b) Để phương trình luôn có nghiệm thì Ta có: Vì với mọi m do đó với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I. Kiến thức cơ bản * Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ) (1) Đặt b = 2b'. Ta có: = b’2 – ac (1) vô nghiệm < 0. (1) có nghiệm kép = 0; x1 = x2 = (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 x1 = ; x2 = (1) có nghiệm 0 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10x2 + 6x + 1 = 0 (2) Giải: Ta có: ' = 32 - 10.1 = - 1. ' phương trình (2) vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5x2 - 6x + 1 = 0 (3) Giải: Ta có: ' = (-3)2 - 5.1 = 4 ; . ' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. x1 = ; x2 = Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x2 - 10x + 25 = 0 (4) Giải: Ta có: ' = (-5)2 - 1. 25 = 0. ' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép: x1 = x2 = ; II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau: a) 12x2 - 8x + 1 = 0 b) x2 - 2x - 3 = 0 c) x2 - 4 (- 1)x - 2 = 0 d) x2 - x - 7 = 6 -x Giải: a) 12x2 - 8x + 1 = 0 Ta có: a = 1