Đề tài Phương pháp tọa độ hóa trong hình học phẳng

Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở. Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí, hệ quả, tính chất hình học để suy luận. Phương pháp mang bản chất thuần túy hình học này đôi khi gây không ít khó khăn cho học sinh, đặc biệt là những học sinh THPT. Các đề thi Olympic 30/4 hay đề thi học sinh giỏi THPT những năm gần đây cũng có bài toán hình học phẳng. Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải là thế mạnh của các em. Trong khi đó học sinh lớp 10 đã được học các kiến thức về vectơ và tọa độ. Vậy tại sao các em không thử sử dụng các kiến thức vừa học để giải bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai. Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng không những cung cấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán ( rất đơn giản và dễ hiểu) mà còn giúp củng cố các kiến thức về vectơ và tọa độ vừa học. Điểm mới trong đề tài này là các bài tóan đã được hệ thống lại thành dạng chung, giải theo cùng một phương pháp tương đối dễ nhớ. Học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ LaGéométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. 2.Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài . a. Nội dung: Tóm tắt lý thuyết: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho : Với ;với kR cùng phương với Với Tọa độ trung điểm M của AB: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mx0; y0) và có vtpt= (A; B).là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 Û Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ¹ 0) Phương trình đường tròn (C) tâm I (a,b), bán kính R là : hoặc x2 + y2 – 2ax - 2by + c= 0 Phương trình chính tắc của (E): + = 1 với c2 = a2- b2 Phương trình chính tắc của Hypebol: - = 1 với c2 = a2+b2 Phương trình chính tắc của (P): y2 = 2px , p > 0: tham số tiêu Ngoài ra, học sinh cần biết thêm một số công thức khác.. Các dạng toán thường gặp: Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. Tính toán. Tập hợp điểm. Điểm cố định. Các bước giải toán: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxy ) thích hợp. Ta có:Ox, Oy vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ. Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ. Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang hình học. b. Biện pháp: Kiến thức vectơ và tọa độ là kiến thức mới đối với học sinh. Muốn sử dùng phương pháp tọa độ để giải toán hình học đòi hỏi các em phải thành thạo trong việc giải các bài toán tọa độ đồng thời phải nắm được mối liên hệ giữa “ngôn ngữ hình học” và “ngôn ngữ tọa độ”. III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Khái niệm vectơ và tọa độ đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 10, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ của các đối tượng trong hình học phẳng. Việc sử dụng vectơ và tọa độ để giải quyết bài toán hình học phẳng tạo cho học sinh cảm giác thích thú, trực quan và quen thuộc đặc biệt có hiệu quả trong bài toán quỹ tích. Phương pháp tọa độ là một cuộc cách mạng trong toán học vì nó giúp cho toán học thoát ra khỏi tư duy cụ thể của không gian vật lý thông thường, nhằm đạt tới đỉnh cao khác của sự khái quát và sự trừu tương hóa trong toán học. Mặt khác, một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Vấn đề 1: Bài toán chứng minh (hoặc tính toán). Bài 1. Cho hình vuông ABCD. E, F là các điểm xác định bởi , AE cắt BF tại I. Chứng minh : góc AIC bằng 900. Bài giải: Giả sử cạnh hình vuông có độ dài bằng 1. Gắn hệ trục (Oxy) sao cho D(0;0), C(1;0), A(0;1). Ta có: Phương trình đường thẳng AE : x + 3 y - 3 = 0, BF : 2 x + y - 3 = 0 Tọa độ I là nghiệm của hệ: Khi đó: . Vậy: Góc AIC bằng 900. Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm BC, E là hình chiếu của D trên CA và F là trung điểm DE. Chứng minh rằng AF ^BE. Bài giải: Chọn hệ trục Oxy sao cho: D (0; 0) , B ( -1; 0) , C (1; 0) , A (0; a ) Phương trình đường thẳng AC: Phương trình DE: x - ay = 0 . Tọa độ E là nghiệm của hệ: Ta có: (đpcm) Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. D là trung điểm AB và E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh : IE ^ CD . Bài giải: Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục Oxy: Ta có: Vậy: IE ^ CD Bài 4. (APMO 1998) Cho tam giác ABC với đường cao AD, D là một đường thẳng đi qua D. Lấy E,F D, khác D, sao cho AE ^ BE, AF ^ CF. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, EF. Chứng minh rằng AN ^ MN. Bài giải: Chọn A làm gốc tọa độ, trục hoành chứa đường thẳng qua A song song với D Giả sử D(d;a), E(e;a), F(f;a) Þ N Khi đó, đường thẳng AE có phương trình ax - ey = 0. Đường thẳng AD có phương trình ax - dy = 0. Đường thẳng AF có phương trình ax - fy = 0. Từ đó, do BE ^ EA nên BE có phương trình ex + ay - e2 - a2 = 0 Do CF ^ AF nên CF có phương trình fx + ay - f 2- a2 = 0 Do BC ^ AD nên BC có phương trình dx + ay - d 2 - a2 = 0 Từ đó, tìm được Vậy: Ta có đpcm Bài 5. (IMO 2000) Cho hai đường tròn (O1 ); (O2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N. Tiếp tuyến chung ( gần M hơn) tiếp xúc với ( Oi ) tại Ai . Đường thẳng qua M, song song với A1 A2 , cắt lại đường tròn ( Oi ) ở Bi . Các đường thẳng Ai Bi cắt nhau tại C, các đường thẳng Ai N cắt đường thẳng B1B2 ở D, E. Chứng minh rằng CD = CE. Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ A1xy sao cho A1 (0; 0), A2 (a; 0), O1 (0; r1 ) , O2 (a; r2 ) . Giả sử: M(s;t), Khi đó B1 ( -s; t ) , B2 ( 2a - s; t ) Từ đó B1 B2 = 2a = 2 A1 A2  Ta thấy rằng A1 A2 // B1 B2 . Suy ra A1, A2 theo thứ tự là trung điểm B1C, B2C Do đó: C(s;-t). Vậy = (0; 2t), = (2a; 0) Suy ra CM ^ B1B2 hay CM ^ DE (1) Gọi K là giao điểm của MN với A1 A2 ta có: Suy ra: K là trung điểm của A1 A2. Từ đó, do A1 A2 // B1 B2 nên M là trung điểm DE (2) Từ (1), (2) suy ra CM là trung trực của đoạn DE (đpcm) Bài 6. (APMO 2000) Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh BC và N là chân đường phân giác của góc ·ABC . Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM tại P, Q theo thứ tự đó. Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại P với AN, chứng minh rằng OQ ^BC. Bài giải: Chọn hệ trục toạ độ Nxy sao cho A, O nằm trên trục hoành. Giả sử AB có phương trình Khi đó Và AC có phương trình y = - ax - b (do A thuộc trục hoành, AB, AC đối xứng nhau qua trục hoành ) Do PO^AB nên PO có phương trình và O(ab;0) Do BC qua gốc tọa đô N, nên BC có phương trình y = cx( c ≠ 0) Suy ra Do đó Từ đó đường thẳng AM có phương trình Suy ra . Vậy đường thẳng OQ có phương trình x + cy – ab = 0 Suy ra đường thẳng OQ, BC vuông góc với nhau. Bài 7. (Bungari league 1981) Đường phân giác trong và ngoài của góc C trong tam giác ABC cắt AB ở L và M. Chứng minh nếu CL = CM thì AC 2 + BC 2 = 4R2 ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC) Bài giải: Gọi O là trung điểm của LM. Chọn hệ trục Oxy: O (0; 0) , A ( a; 0) , B (b; 0) , C (0; c ) , L (c; 0) , M ( -c; 0) Theo tính chất phân giác: Trong DABC: 4R2 = (2) Từ (1) và (2), suy ra: AC 2 + BC 2 = 4R2 . Bài 8.(NewYork 1976) Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở H. Trên đoạn HB và HC người ta lấy hai điểm 0 B1 , C1 sao cho ·AB1C = ·AC1 B = 900 . Chứng minh AB1 = AC1 Bài giải: Chọn hệ trục (Oxy): O (0; 0) , A (0; a ) , B ( -b; 0) , C (c; 0) Phương trình đường thẳng BH: cx - ay + bc = 0 . Mà B(x1;y1) ÎBH Þ cx1 - ay1 + bc = 0(1) Mặt khác Từ (1) và (2), suy ra: Ta có : Tương tự: . Vậy: ta có đpcm. Bài 9. Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) và elip (E) cố định (tâm đường tròn là tâm đối xứng của elip) . Từ điểm M thuộc(C) ta dựng hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (E) trong đó T1 , T2 là tiếp điểm.Chứng minh rằng các đường thẳng T1T2 luôn tiếp xúc với đường cong cố định Bài giải: Gọi (C): x2 + y2 = p2 , (E): với gốc tọa độ tại tâm của (C). Ta có phương trình tham số của (C): Gọi M ( p sin t; p cos t ) Î (C ) và T1 ( x1; y1 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (E) tại T1 ( x1; y1 ) : Tiếp tuyến MT1 qua Tương tự gọi T2 ( x2; y2 ) là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến MT2 qua M Từ (1) và (2) suy ra phương trình T1T2: Gọi N(x;y) là điểm mà họ T1T2 không đi qua Suy ra vô nghiệm theo t. Từ đó : Ta chứng minh T1T2 luôn tiếp xúc với (E1) : Thật vậy: Nên T1T2 luôn tiếp xúc với (E1) : Bài 10. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE; HF vuông góc AC; BC tương ứng. Các đường EF và AB cắt nhau tại K. Gọi D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và đường tròn đường kính CH; D khác C. CMR: K; D; C thẳng hàng. Bài giải: Dựng hệ trục tọa độ Hxy như hình vẽ với H(0; 0); A(-1+a; 0); B(1+a; 0); O(a; 0); C(0; b) Xét trong tam giác vuông ABC có: Gọi I là trung điểm CH. Khi đó phương trình đường tròn (I) là: và phương trình đường tròn (O) là: ( x - a )2 + y2 = 1. Đường thẳng (CD) là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) nên có phương trình là: Phương trình đường thẳng (AC): Phương trình đường thẳng (HE): (a - 1) x - by = 0 Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình: Phương trình đường thẳng (EF): Vậy: K;C;D thẳng hàng. Bài 11. (Vô địch Nam Tư 1983) Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD, lấy M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên AD, AB, BC, CD. Chứng minh PQ ^ RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật. Bài giải: Dựng hệ trục toạ độ Oxy có Ox, Oy lần lượt song song với AD, AB. Giả sử bán kính của đường tròn là R. Phương trình của đường tròn là x2 + y2 = R2 Giả sử toạ độ các đỉnh là A(-a;-b); B(-a;b); C(a;b); D(a;-b). Ta có : AC 2 = 4R2 = 4a2 + 4b2. Suy ra a2 + b2 = R2 . Giả sử M ( x0 , y0) bất kì thuộc cung AB nên Ta có tọa độ các hình chiếu P, Q, R, S là P( x0 .- b) , Q( - a .y0 ), R( x0 .b) , S (a, y0) . Suy ra : = (-a - x0 ; y0 + b) ; = (a - x0 ; y0 - b) ; Nên = -a2 + - b2 = 0 . Vậy PQ vuông góc RS Đường thẳng PQ đi qua P( x0 ; -b) và có vectơ pháp tuyến = ( y0 + b; a + x0 ) Nên có phương trình PQ là: (b + yo )( x - xo ) + (a + x0 )( y + b) = 0 Û (b + y0) x + (a + xo) y - xo yo + ab = 0 Tương tự phương trình RS là (b - y0 )( x - a) - ( x0- a)( y - y0) = 0 Û (b - y0) x + (a - x0) y + xy0 - ab = 0 Gọi I ( xI ; yI ) lả giao điểm của PQ và RS thì ta có xI ; yI là nghiệm của hệ sau Cộng lại ta được bx + ay = 0 suy ra bxI + ayI = 0 Do điểm B(-a;b), D(a;-b) nên phương trình đường chéo BD: (b + b)( x + a) - (a + a)( y + b) = 0 Hay: ax + by = 0. Suy ra: I ( xI ; yI ) thuộc BD. Bài 12. IMO Shortlist 23rd Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đêu ABCDEF, ta lấy hai điểm M và N sao cho . Biết B, M, N thẳng hàng. Tìm k. Bài giải: Đặt 2R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCDEF. Chọn hệ trục: Ta có: cùng phương với, cùng phương với , Ta có: ( Vì ta đặt Ta có: ) Vậy: Vấn đề 2: Tìm điểm cố định Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A nhưng không cân; trên cạnh AB và AC lấy M và N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài giải: Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn A(0; 0); M(0; m); B(0; b) ; C(1; 0) với m thay đổi, 0 < m < b ¹ 1 Ta có MB = CN, suy ra N(1 + m – b ;0) Suy ra trung điểm của MN có tọa độvà Suy ra phương trình đường trung trực của MN là: Ta thấy đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Xét D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC sao cho hình chiếu của DE trên BC có độ dài bằng . Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định Bài giải: Gọi O là trung điểm của BC, chọn hệ tọa độ sao cho A(0;a), B(-b;0), C(b;0) Khi đó các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình (AB): (AC): Gọi H là hình chiếu của D trên BC. Do nên E thuộc đoạn OC, H thuộc đoạn OB. Vậy, nếu E(x0;0) , thì H( x0 – b;0) và do đó Gọi (d) là đường thẳng qua E vuông góc với DE thì phương trình của (d) là: . Phương trình này tương đương với: Suy ra (d) luôn đi qua điểm cố định là cố định. Bài 3. (Poland 1992) Trong mặt phẳng cho trước hai điểm A, B. Xét điểm C thay đổi trên một nửa mặt phẳng bờ AB. Dựng ra ngoài của tam giác ABC các hình vuông ACED và BCFG. Chứng minh rằng đường thẳng DG luôn đi qua một điểm cố định khi C thay đổi. Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Axy sao cho A( 0;0), B(b;0) và C( x0 ; y0 ) , với y0 > 0. Khi đó D(- y0 ; x0 ), G(b+ y0 ;b- x0 ). Vậy = (b + 2 y0 ; b - 2 x0 ) Và do đó đường thẳng DG có phương trình: Hay (b - 2x) x0 + (b - 2 y) y0 + b( x - y) = 0 . Từ đó đường thẳng DG luôn đi qua điểm cố định. Bài 4. Cho góc vuông xOy, và hai điểm A, C chuyển động theo thứ tự trên Ox, Oy sao cho OA + OC = b (b là độ dài cho trước). Gọi B là đỉnh của hình chữ nhật OABC. Chứng minh đường thẳng d qua B, vuông góc với AC luôn đi qua một điểm cố định Bài giải: Chọn hệ trục Oxy, gọi A ( a; 0) , C (0; c ) . Khi đó: B ( a; c ) và a + c = b ( a, c là hai số thực dương ) Vectơ chỉ phương của (AC) chính là vectơ pháp tuyến của d nên d có dạng: a( x- a ) – c( y - c) = 0 Û ax - cy + c2 – a2 = 0 Û Vậy d luôn đi qua điểm là đỉnh của hình vuông OHIK với Vấn đề 3: Tìm quỹ tích của điểm Bài 1. Cho tam giác ABC với góc C nhọn. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 = MC 2 Bài giải: Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho A(a; 0) và B(-a; 0). Khi đó giả sử C(p; q). Với M(x; y), ta có: (*) Mặt khác: Do góc C nhọn nên Suy ra (*) là phương trình đường tròn có tâm D ( -p; -q ) với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD và bán kính là R = Bài 2. Cho hai điểm AB cố định. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2MA2 - 3MB2 = 5 AB2 Bài giải: Gọi O là điểm xác định bởi . Giả sử AB = a. Lập hệ Oxy với Ox trùng với AB. Ta có các điểm A(-3a; 0), B(-2a; 0), M(x; y) Ta có: 2MA2 - 3MB2 = 5 AB2 = MO2 . Suy ra MO là hằng số. Vậy M thuộc đường tròn tâm O bán kính R = AB. Bài 3. Cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Một đường thẳng d di động qua C. M là điểm trên d sao cho đại lượng 2MA2 + 3MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm quỹ tích của M. Bài giải: Lấy O là điểm trên AB sao cho. Lấy O làm gốc tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát giả sử A(0; 3)và B(0; -2) và M ( x0 , y0) thuộc d . Ta có: 2MA2 + 3MB2 = 5MO2 + 30 (1) Từ (1) suy ra 2MA2 + 3MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MO nhỏ nhất ( M thuộc d ). Khi đó M là hình chiếu vuông góc của O lên d . Do OC cố định, suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính OC xác định như trên. Bài 4. (30/4/2011) Cho góc xOy và hai điểm A, B lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho DOAB cân tại O. Gọi d là đường thẳng không đi qua O nhưng luôn đi qua trung điểm I của AB và cắt Ox, Oy tại C, D. Gọi M là trung điểm CD, N là giao điểm của OM và AB. H là hình chiếu vuông góc của N trên CD. Khi d di động tìm quỹ tích trực tâm H. Bài giải: Đặt góc x·Oy = 2a . Chọn hệ trục tọa độ (IXY) sao cho I (0; 0), O (0;1), A (- tan a; 0), B (tan a; 0) Khi đó: CD : y = kx, OA : y = (cot a)x + 1, OB : y = -(cot a)x + 1 C = CDÇOA, D = CDÇOB N = OMÇIX Gọi H(x;y) ta có Suy ra tập hợp điểm H là đường tròn tâm , bán kính R = = IK Mà tan a =. Vậy tập hợp điểm H là đường tròn tâm K nằm trên đường thẳng OI tiếp xúc AB tại I và nằm ngoài tam giác OAB. Bài 5. Cho 2 đường thẳng a, b ( a//b) và đường thẳng c vuông góc với a, b. Ba điểm A, B, C lần lượt thay đổi trên các đường thẳng a, b, c sao cho tam giác ABC vuông tại C. Tìm quỹ tích chân đường cao H hạ từ C. Bài giải: Chọn hệ trục Oxy sao cho trục hoành Ox cách đều A, B, trục tung Oy là đường thẳng c. Khi đó không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng (a): y=1; đường thẳng (b): y=-1; A(m;1), B(n;-1), C(0;p) Vì CA^CB Þ p2 = 1- mn Đường thẳng AB có phương trình 2x + ( n – m)y – m – n = 0 Đường cao hạ từ C có phương trình ( n – m)x – 2y + 2p = 0 Vậy toạ độ H là nghiệm của hệ: Bình phương hai vế của hai phương trình rồi cộng lại ta được: [4 + (n - m)2 ]( x2 + y2 ) = (n + m)2 + 4 p2 Û [4 + (n - m)2 ]( x2 + y2) = (n + m)2 + 4(1 - mn) Û x2 + y 2 = 1. Vậy H nằm trên đường tròn (O;1). Trở lại bài toán ban đầu, gọi M,N là giao điểm của c với a, b thì qũy tích H là đường tròn đường kính MN Bài 6.Trong mặt phẳng cho trước đường thẳng d và một điểm A d . Xét B, CÎd sao cho BC = b > 0 cho trước. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài giải: Gọi O là hình chiếu của A trên d và đặt a = d(A; d ). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(a;0), O(0;0) (tức là trục hoành chứa d , trục tung chứa OA) Giả sử trong hệ trục này B( x0 ; 0) , C ( x0 + b; 0) ( vì độ dài BC= b). Gọi H là trung điểm BC Khi đó và HA = HB = Gọi I ( x; y ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó và IA = IB. Suy ra: Hay Vậy khi đoạn BC trượt trên Ox thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên parapol ( P ) có phương trình (*). Ngược lại, với mỗi điểm IÎ( P ) , dễ dàng kiểm tra được d (I ; Ox) < IA , do đó đường tròn tâm I, bán kính IA cắt Ox tại hai điểm B, C. Dễ dàng kiểm tra được BC = b Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là parapol có phương trình cho ở (*). Bài 7. Cho ba điểm A, B và C thẳng hàng theo thứ tự đó, gọi D là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC tại B. Với mỗi điểm S Î D, gọi D là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với SC với đường thẳng SA. Tìm quỹ tích điểm D Bài giải: Chọn hệ tọa độ Bxy sao cho A( -a; 0), C(c; 0) (a, c > 0), S(0; s), S ≠ 0 Khi đó (SA): Từ đó, tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ Khử s từ hệ, ta thu được hay Vậy: khi S chạy trên trục tung thì D chạy trên đường hyperpol có phương trình (*). Bài 8. Cho 3 điểm A, O, B cố định O nằm giữa A và B sao cho OA = a, OB = b; a, b > 0. Tìm quỹ tích điểm M sao cho góc Bài giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho Ox chứa OA. Khi đó A(a; 0), B(-b; 0) Gọi M(m; n). Ta có Phương trình phân giác của góc tạo bởi MA và MB là Mà một trong hai đường này qua O (0;0) và a>0, b>0 nên phương trình phân giác qua O là Vậy : Tập hợp M là đường tròn có phương trình ( khi a ¹ b) hoặc là đường thẳng x = 0 ( khi a = b) Bài 9. Cho tam giác ABC không cân có hai đỉnh B,C cố định và đỉnh A di động. Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AI của tam giác ABC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng : Nếu IH song song với KC thì điểm A di động trên đường cố định. Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC. Không mất tính tổng quát giả sử BC = 2. Khi đó, tọa độ B(-1; 0) và C(1;0) Giả sử tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ 0; y0 ≠ 0. Khi đó, trực tâm H(x;y) là nghiệm của hệ phương trình: Û Gọi K là giao điểm của d và AI, khi đó tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình: Theo giả thiết ta có: cùng phương . Vậy A di động trên (E): cố định. Bài 10.Cho hình vuông ABCD. Từ A kẻ một đường thẳng bất kì. Đường thẳng này cắt BC, DC tương ứng tại E và F. Gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh rằng FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của hình vuông. Bài giải: Giả sử cạnh hình vuông bằng 2a (a>0). Dựng hệ trục tọa độ Oxy, trong đó O là tâm của hình vuông. Ox và Oy tương ứng song song với các cạnh của hình vuông và có chiều như hình vẽ. Khi đó tọa độ các đỉnh A, B, C, D trong hệ trục lần lượt là: A(-a;-a), B(a;-a), C(a;a), D(-a;a). Giả sử hệ số góc của đường thẳng AF là m. Khi đó AF có phương trình: y = m(x+a) – a. Vì đường thẳng DF có phương trình y = a, nên hoành độ của F là các nghiệm của phương trình. m(x+a) – a = a Þ. Tương tự tọa độ của E là: E (a; 2m - a) . Phương trình đường thẳng FI: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng FI: Vì bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2a là a, nên FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của hình vuông ABCD và đó là đpcm. Bài 11. Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với hai đường thẳng song song a và b lần lượt tại A và B. Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A’ và B’. Tìm quĩ tích giao điểm của AB’và A’B . Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Oy là trung trực của đoạn AB, Ox là đường thẳng AB (B thuộc tia Ox) Khi đó phương trình đường tròn (O;R) có phương trình x2 + y 2 = R2 Tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M(xo;yo) có phương trình: với Tọa độ của B’ là nghiệm của hệ: Suy ra . Phương trình đường thẳng AB’ : Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B, suy ra IM / / AA ' Do đó tọa độ của điểm I(x;y) là nghiệm của: Vậy quỹ tích của điểm I là elip (E): có trục lớn AB = 2R ( trừ hai điểm A và B) Kết luận: Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn một hệ trục tọa độ sao cho hình vẽ của chúng ta được quan sát tốt nhất trên hệ trục đó và việc tính toán cũng đơn giản nhất. Để chọn được một hệ trục tọa độ tốt, chúng ta cần phải căn cứ vào các yếu tố cố định bài toán đã cho, chú ý đến tính đối xứng của hình. Khi đã chọn được một hệ trục toạ độ tốt rồi, cần kết hợp phương pháp tính và kỹ năng tính tốt thì việc giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ mới trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn. Qua các bài toán ở trên, tất nhiên chưa thấy hết những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp tọa độ. Tuy nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệ tọa độ như thế nào là thích hợp. Khi đã chọn hệ tọa độ thích hợp thì việc giải bài toán trở nên nhẹ nhàng, không quá phức tạp như cách giải bằng phương pháp dùng hình học thuần túy. Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy,với mong muốn thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp toạ độ. IV. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 1/ Phổ biến rộng rãi đề tài để giáo viên và học sinh tham khảo 2/ Mong muốn được giúp các em học sinh có thêm một công cụ đắc lực và quen thuộc để giải các dạng toán ở trên. 3/ Giúp các em trong các kỳ thi đại học và các kỳ thi học sinh giỏi 4/ Đề tài không tránh khỏi thiếu sót , rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thày cô và các em học sinh để đề tài được hoàn thiện thêm. V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Các bài toán về phương pháp vecto và phương pháp tọa độ.(Nguyễn Mộng Hy- Nhà xuất bản giáo dục- 2003) - Đề thi vào các trường đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012. NGƯỜI THỰC HIỆN Kiều Thị Thanh Hương