Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 8 - Năm học: 2011 - 2012

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc -----------o0o----------- SƠ YẾU Lí LỊCH Họ và tờn: VŨ THỊ LAN Ngày, thỏng, năm sinh: 06 / 04 / 1980 Năm vào nghành: 2002 Chức vụ: Giỏo viờn Đơn vị cụng tỏc: Trường THCS Cao Viờn Trỡnh độ chuyờn mụn: Đại học toỏn Hệ đào tạo : Chớnh quy Bộ mụn giảng dạy: Môn toán Ngoại ngữ: Anh văn Trình độ chính trị: Sơ cấp Khen thưởng : Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 – 2003 Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 – 2004 Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 – 2007 Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 – 2008 Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2009 – 2010 Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2010 – 2011 Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 -2004 Sáng kiến kinh nghiệm loại C cấp thành phố năm học 2007 – 2008 Sáng kiến kinh nghiệm loại B cấp thành phố năm học 2009 – 2010 phần thứ nhất A. mở đầu 1.Lý do chọn đề tài a, Cơ sở lí luận: Trong quỏ trỡnh giảng dạy toỏn ở THCS, khõu truyền thụ kiến thức cơ bản là rất quan trọng, bởi vỡ kiến thức cơ bản là vốn sống động nhất, phải cú và luụn tồn tại trong mỗi một con người học toỏn và làm toỏn. Trong suốt quỏ trỡnh học tập và nghiờn cứu cỏc bài toỏn khú, cỏc loại toỏn hay, trong một chừng mực nào đú, cú thể quờn đi nhưng cỏc vấn đề cơ bản về kiến thức thỡ khụng được phộp nhầm lần nếu như người đú cũn muốn đạt kết quả cao hơn trong cụng việc nghiờn cứu và học toỏn. Về việc bồi dưỡng học sinh đó nắm vững kiến thức cơ bản của toỏn học của trường phổ thụng trở thành học sinh khỏ, học sinh giỏi là khụng dễ dàng. Trong những năm gần đõy nền giỏo dục của chỳng ta yờu cầu mỗi giỏo viờn phải đổi mới phương phỏp giảng dạy. Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải coi học sinh là nhõn vật trung tõm của mỗi tiết học. Những giỏo viờn dạy giỏi lại những chớnh là những người giỏo viờn quan tõm nhất đến vấn đề trờn thực tiễn đó giỳp họ nhận thức rừ khõu quan trọng: Truyền thụ kiến thức cơ bản phải theo một tiến trỡnh bài bản và phải phõn thành những dạng toỏn, mỗi dạng toỏn nờn dạy thành những chuyờn đề một cỏch cú hệ thống, đưa ra được cỏc tỡnh huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu nhất là trong việc khai thỏc, phỏt triển, phỏt huy úc sỏng tạo, rốn luyện phương phỏp suy nghĩ độc lập cho học sinh. Giỏo viờn luụn khuyến khớch cho học sinh giải toỏn bằng nhiều cỏch khỏc nhau để giỳp học sinh phỏt triển trớ tuệ. Ngoài ra cũn giỳp học sinh làm quen với phương phỏp tự tỡm tũi, nghiờn cứu để học sinh tiếp tục học lờn. Thật vậy, do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic. Toán học được coi là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong cỏc mụn học ở trường phổ thụng, Toỏn học được coi như là một mụn học cơ bản, là nền tảng để cỏc em phỏt huy được năng lực bản thõn, gúp phần tạo điều kiện để cỏc em học tốt cỏc mụn khoa học tự nhiờn khỏc.Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học có nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”. Vậy dạy như thế nào để học sinh khụng những nắm chắc kiến thức cơ bản một cỏch cú hệ thống mà cũn phải được nõng cao phỏt triển để cỏc em cú hứng thỳ say mờ học tập là một cõu hỏi mà mỗi thầy cụ luụn đặt ra cho mỡnh. Tuy nhiờn để học tốt mụn toỏn thỡ người giỏo viờn phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khú, từ cụ thể đến trừu tượng và phỏt triển thành tổng quỏt giỳp học sinh cú thể phỏt triển tư duy toỏn học, làm cho cỏc em trở lờn yờu thớch toỏn hơn từ đú cỏc em cú ý thức học tập đảm bảo yờu cầu của thời đại mới. b) Cơ sở thực tiễn: Là một giỏo viờn dược phõn cụng giảng dạy lớp 8A, 8D với đối tượng học sinh khỏ giỏi, cỏc em cú tư duy nhạy bộn và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phỏt huy được hết khả năng của cỏc em đú là trỏch nhiệm của cỏc giỏo viờn chỳng ta. Qua giảng dạy chương trỡnh toỏn lớp 8 tụi nhận thấy đề tài về “ Phõn tớch đa thức thành nhõn tử” là một đề tài thật lý thỳ, phong phỳ đa dạng khụng thể thiếu ở mụn đại số lớp 8. Xuất phỏt từ những luận điểm trờn. Trong quỏ trỡnh giảng dạy nhất là luyện tập cỏc bài tập trong sỏch giỏo khoa nếu biết khai thỏc, phỏt triển ta cú thờ xõy dựng được cỏc dạng bài tập hoặc hệ thống cỏc bài tập sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khỏ, giỏi. Việc giải bài toỏn về phõn tớch đa thức thành nhõn tử là một dạng toỏn hay, với mong muốn cung cấp cho cỏc em một số phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử giỳp cỏc em làm bài tập dạng này một cỏch cú hệ thống nhằm tớch cực hoỏ hoạt động học tập, phỏt triển tư duy. Đú chớnh là lớ do tụi chọn đề tài: “ Chuyờn đề phõn tớch đa thức thành nhõn tử ”. 2)Mục đớch nghiờn cứu - Cỏc phương phỏp thường dựng để giải cỏc bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử. - Rốn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử, học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong giải phương trỡnh . - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao. - Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được. 3. Nhiệm vụ nghiờn cứu: - Nhiệm vụ khỏi quỏt: Nờu những phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử. - Nhiờm vụ cụ thể: - Tỡm hiểu thực trạng học sinh. - Những phương phỏp thực hiện. - Những chuyển biến sau khi ỏp dụng. - Bài học kinh nghiệm. 4. Đối tượng nghiờn cứu. - Đề tài nghiờn cứu qua cỏc tiết dạy phõn tớch đa thức thành nhõn tử trong SGK toỏn 8 tập 1, qua định hướng đổi mới phương phỏp dạy toỏn 8. - Đối tượng khảo sỏt: HS lớp 8A, 8D trường THCS Cao Viờn. 5.Phương phỏp nghiờn cứu: - Phương phỏp nghiờn cứu tài liệu SGK, sỏch tham khảo. - Phương phỏp kiểm tra, thực hành. - Phương phỏp phỏt vấn, đàm thoại nghiờn cứu vấn đề. - Tổng kết kinh nghiệm của bản thõn và của đồng nghiệp khi dạy phần “phõn tớch đa thức thành nhõn tử” PHẦN THỨ HAI B.NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU. I.1. Đặc điểm tỡnh hỡnh lớp : Lớp 8A, 8D cú số lượng học sinh khụng đồng đều về mặt nhận thức gõy khú khăn cho giỏo viờn trong việc lựa chọn phương phỏp phự hợp. Nhiều học sinh cú hoàn cảnh khú khăn do đú việc đầu tư về thời gian và sỏch vở bị hạn chế và ảnh hưởng khụng nhỏ đến nhận thức và sự phỏt triển tư duy của cỏc em. Đa số cỏc em hay thoả món trong học tập, cỏc em cho rằng chỉ cần học thuộc lũng cỏc kiến thức trong SGK là đủ. Chớnh vỡ vậy mà cỏc em tiếp thu kiến thức một cỏch thụ động, khụng tự mày mũ, khỏm phỏ kiến thức mới. Cú thể núi sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ thỡ học sinh gặp ngay một dạng toỏn mới đú là phõn tớch đa thức thành nhõn tử. Như chỳng ta đó biết 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ đúng vai trũ rất quan trọng trong việc giải toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử nhưng sự vận dụng của cỏc em phần lớn là chưa tốt, cũn nhiều em chưa thuộc chớnh xỏc 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ. Hơn nữa một số kỹ năng phục vụ cho bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tứ như nhõn, chia đơn thức, quy tắc dấu ngoặc, một số cụng thức vế luỹ thừa là chưa thành thạo, chớnh vỡ thế mà kỹ năng phõn tớch đa thức thành nhõn tử là chưa cao. Hầu hết cỏc em đều hấp tấp khi giải cỏc bài tập dạng này. Trong tiết luyện tập giỏo viờn đưa ra cỏc bài toỏn như sau: Vd1: Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử a) x2 – x Học sinh cú thể làm : x2 - x = x(x - x) hoặc x2 - x = x(x – 0) -> Học sinh đó xỏc định đỳng phương phỏp đặt nhõn tử chung nhưng sử dụng sai. * Giỏo viờn nờn hướng dẫn: x2 – x = x.x – 1.x = x(x - 1) b) x2y – xy2 – 5x + 5y Lỳc này học sinh đó học tới 5 phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử nờn việc lựa chọn đỳng một phương phỏp nào đú để thực hiện đối với học sinh là rất khú khăn. * Học sinh cú thể trỡnh bày như sau: +1) x2y – xy2 – 5x + 5y = x(xy – y2 – 5 + 5y) -> Học sinh làm sai do chưa quan sỏt kỹ, chưa sử dụng đỳng phương phỏp +2) x2y – xy2 – 5x + 5y = (x2y – 5x) + (xy2 – 5y) = x(xy – 5) + y (xy – 5) = (xy – 5).(x + y) -> Học sinh làm sai do sử dụng sai quy tắc dấu ngoặc. Đõy cũng là lỗi của nhiều học sinh kể cả những học sinh trung bỡnh khỏ. +3) x2y – xy2 – 5x + 5y = yx(x - y) – 5(x - y) -> Học sinh làm sai do hiểu lơ mơ về định nghĩa phõn tớch đa thức thành nhõn tử * Giỏo viờn hướng dẫn: x2y - xy2 - 5x - 5y =(x2y - xy2) - (5x - 5y) =xy(x - y) - 5(x - y) =(x - y)(xy - 5) Vd2: Tớnh nhanh giỏ trị của biểu thức sau: x2 - 2xy + y2 tại x = 105 và y = 5 * Cú thể đa số học sinh làm theo cỏch thụng thường là thay luụn giỏ trị của x, y vào biểu thứcđể tớnh, cụ thể là: Thay x = 105 và y = 5 vào biểu thức đó cho ta cú 1052 – 2 . 105 . 5 - 52 = 11025 – 1050 + 25 = 10000 Cỏch này chưa đỳng yờu cầu tớnh nhanh và chưa chắn đó cho kết quả chớnh xỏc, do học sinh chưa nắm vững kiến thức phõn tớch đa thức thành nhõn tử để vận dụng giải bài toỏn trờn * Giỏo viờn hướng dẫn: ta nờn phõn tớch đa thức trờn thành nhõn tử rồi mới tớnh giỏ trị biểu thức. Cụ thể là Ta cú x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 Thay x = 105 và y = 5 vào (x - y)2 ta cú (105 - 5)2 = 1002 = 10000 Vd3: Tỡm x, biết : x2 - 3x = 0 *Nhiều học sinh sẽ lỳng tỳng vỡ thường làm dạng toỏn này chỉ rơi vào trường hợp x là bậc nhất, ở đõy lại cú dạng bậc hai. Điều này chứng tỏ học sinh chưa biết vận dụng linh hoạt phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử để giải toỏn. *Giỏo viờn hướng dẫn: Ta nờn phõn tớch vế trỏi của đẳng thức trờn thành nhõn tử: x2 - 3x = 0 Û x(x - 3) = 0 Suy ra : x = 0 hoặc x = 3 Vậy x = 0; 3lll Vd4: Rỳt gọn x2 - 2x x *Học sinh trỡnh bày như sau: x2 - 2x x bằng x - 2. Khi hỏi vỡ sao bằng x - 2 một số em sẽ trả lời là: “chia x2 cho x thỡ được x , dấu trừ chia cho dấu cộng được dấu trừ, 2x chia cho x được 2” Như vậy học sinh cho kết quả đỳng nhưng giải thớch thỡ sai vỡ nắm chưa kỹ quy tắc rỳt gọn. *Giỏo viờn hướng dẫn: Ta hóy phõn tớch tử của biểu thức trờn thành nhõn tử rồi hóy rỳt gọn. x2 - 2x x(x - 2) x = x = x - 2 Vậy làm thế nào để học sinh cú định hướng đỳng đắn khi giải dạng toỏn này ? Qua một thời gian tụi đó tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau: + Lớp 8A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%. + Lớp 8D: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 85%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%. 2. Đối với giỏo viờn. Cú thể trong tiết luyện tập, ụn tập về nội dung bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn từ giỏo viờn chưa nắm bắt được những đặc điềm trờn của học sinh. Cũng cú thể hướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưng chưa định hướng cỏch giải chung cho dạng toỏn này…Ngay bản thõn tụi cũng đó rơi vào tỡnh trạng này. Mặc dự trong quỏ trỡnh giảng dạy cũng đó đưa ra hệ thống cõu hỏi mang tớnh gợi mở và định hướng chung cho học sinh nhưng cú lẽ lỳc đú tụi chưa chốt lại và chưa khai thỏc triệt để hệ thống cõu hỏi này nờn kết quả khụng được như mong muốn . VD: Lời giải của em Lờ Thị Thu - Lớp 7A (Bài 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tỡm hai số x, y biết: HS giải: Ta có: Lời giải đúng: Đặt Mà xy = 90 à 2k . 5k = 90 à10k2 = 90 k2 = 9 à * Với k = 3 à x = 2.3 = 6 y = 5.3=15 * Với k = -3 à x = 2.(-3) = -6 y = 5.(-3) = -15 Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15) (Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rừ tớnh chất của dãy tỉ số bằng nhau). I.2.Nguyờn nhõn: Nguyờn nhõn của vấn đề trờn là do cỏc em chưa cú ý thức tự giỏc học tập, chưa cú kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học cũn mang tớnh chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sõu kiến thức toỏn học, khụng tự ụn luyện thường xuyờn một cỏch hệ thống, khụng chịu tỡm tũi kiến thức mới qua sỏch nõng cao, sỏch tham khảo, cũn hiện tượng dấu dốt, khụng chịu học hỏi bạn bố, thầy cụ. Đứng trước thực trạng trờn tụi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tỡnh trạng trờn nhằm nõng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thớch học toỏn hơn Vậy tụi thiết nghĩ đề tài của tụi nghiờn cứu về vấn đề này là bước đi đỳng đắn với tỡnh trạng và sức học của học sinh hiện nay II.BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU. Để đạt được hiệu quả khi giải cỏc bài toỏn núi chung và giải cỏc bài toỏn về tỷ lệ thức núi riờng. Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp . II 1. Tỉ lệ thức 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay còn gọi là trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu thì Tính chất 2: ( Điều kiện để 4 số lập thành các tỉ lệ thức) Nếu và a, b, c, d thì ta có các tỉ lệ thức sau: ; ; ; Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II 2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Tính chất: Từ suy ra: - Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: suy ra: (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5. Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 Sau khi học sinh đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người giáo viờn khụng chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ra con đường hợp lý để giải bài toỏn như nhà toỏn học Pụlia đó núi “Tỡm được cỏch giải một bài toỏn là một điều phỏt minh”. Tuy nhiờn khi giải bài tập dạng này tụi khụng muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tụi muốn giới thiệu thờm một số bài tập điển hỡnh và một số phương phỏp giải cỏc bài tập đú. Các dạng toán và phương pháp giải: Dạng I: LẬP Tỉ LỆ THỨC: Bài toỏn 1: Cỏc tỉ số sau đõy cú lập thành cỏc tỉ lệ thức hay khụng? a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 Giải: a) Ta cú: 0,5 : 15 = và 0,15 : 50 = Vỡ nờn các tỉ số 0,5 : 15 và 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức b) Ta có : 0,3 : 2,7 = và 1,71 : 15,39 = Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39 Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức. Bài toán 2: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có được từ các số sau. a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8 Giải: ( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức) a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128) Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: ; ; ; b) Tương tự ta có : 1. 8 = 2 . 4( = 8) Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau: ; ; ; Bài tập áp dụng Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ lệ thức : Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 trong các số sau không (mỗi số chọn một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức? a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243. Dạng II: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau: Giải: ( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành phần chưa biết của tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm được số hạng còn lại trong tỷ lệ thức. a) Ta có: Vậy x = 10 b) -1,5 : x = 4,5 : 0,3 4,5 . x = -1,5 . 0,3 4,5 . x = - 0,45 x = - 0,45 : 4,5 x = - 0,1 . Vậy x = 0,1 Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết và Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt , suy ra: , Theo giả thiết: Do đó: KL: Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: Do đó: ; KL: Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết mà Do đó: KL: Bài toán 3: Tìm x, y, z biết: , và Giải: Cách 1: Từ giả thiết: (1) ; (2) Từ (1) và (2) suy ra: (*) Ta có: ( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Do đó: KL: Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt ( sau đó giải như cách 1 của VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: ; mà Suy ra: , KL: Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng: và Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt , suy ra , Theo giả thiết: + Với ta có: + Với ta có: ; KL: hoặc Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x. Nhân cả hai vế của với x ta được: + Với ta có + Với ta có KL: hoặc Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1 Bài toán 5: Tìm x, y, z biết a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60 c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95 Giải: Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp. Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau: Ta có: 3x = 5y à 5y = 8z à à à x = 40 . 2 = 80 ; y = 24 . 2 = 48 ; z = 15 . 2 = 30 Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau: Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120 Từ 3x = 5y = 8z à Hay à (Tương tự như trên có ...) Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau: Từ 3x = 5y = 8z à à x = y = z = Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c. Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau: + Từ 2x = 3y à 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1) + Từ 5y = 7z à 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2) à Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z à à x = y = z = Vậy x = 84; y = 56; z = 40. Kết quả thu được: Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng toán này. Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng a) \ b) Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10 Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có hướng đi cụ thể. Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời giải của bài toán như sau: a) Ta có : à x - 1 = 5 à x = 6 x - 2 = 3 à y = 5 z - 2 = 2 à z =4 Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau: Đặt à x - 1 = 5k à x = 5k + 1 y - 2 = 3k à y = 3k + 2 z - 2 = 2k à z = 2k + 2 Ta có: x + 2y - z = 12 ú 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12 ú 9k + 3 = 12 ú k = 1 Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6 y = 3 . 1 + 2 = 5 z = 2 . 1 + 2 = 4 Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự giải phần (b) và của bài toán 5. Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng: Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán như sau: Giải: Điều kiện : x, y, z ạ 0 Ta có: à à x + y + z = x + y = 0,5 – z y + z = 0,5 – x x + z = 0,5 – y Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: +) ú 0,5 - x + 1 = 2x ú 1,5 = 3x ú x = 0,5 +) ú 2,5 - y = 2y ú 2,5 = 3y ú y = +) ú -2,5 - z = 2z ú -2,5 = 3z ú z = Vậy (x; y; z) = ( 0,5; ; -) Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) , và c) và d) và e) và f) Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) và c)và d) và Dạng 3. Chứng minh tỷ lệ thức Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức, với hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu của bài toán. Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) +) Bài toán 1: Cho tỷ lệ thức: với a, b, c, d 0 Chứng minh : Giải Cách 1: Từ Xét tích Thay Vậy Như vậy để chứng minh: ta phải có đẳng thức . Cách 2 : Đặt Xét (1) Và (2) Từ (1) và (2) Trong cách này ta chứng minh tỉ số: nhờ tỉ số thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k. Cách 3: Từ tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: hay Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa. Cách 4: Từ Xét Vậy Cách 5: Từ Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức: Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ. Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức cần chứng minh Cách 6: Từ tỉ lệ thức . Ta có: Mà vì Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu của hai tỉ số đó bằng 0. Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác bằng cách chứng minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng trong bài tập. Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức Với và Chứng minh : hoặc Cách 1: Ta sử dụng cách 6: Vì nên Vậy hoặc Cách 2 : Từ áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: (1) và (2) Từ (1) và (2) Xét trường hợp : áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: Xét trường hợp : áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Từ giả thiết: (1) Ta có: (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm) Cách 2: Đặt , suy ra Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) Cách 3: Từ giả thiết: (đpcm) Bài toán 4. Cho tỷ lệ thức . Hãy chứng minh a) b) Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm hướng giải cụ thể. Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng minh phần a. Đặt à a = bk ; c = dk Ta có: Cách 2 : Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau: Từ à (hoán vị các trung tỷ) = ( theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau) à (hoán vị các trung tỷ) Cách 3: ( Dựa vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức): Ta có: (1) (2) Từ giả thiết: (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm) Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng giải, yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu,để trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b, c của bài 1. Bài toán 5. Cho Hãy chứng minh: a) b) c) Đối với bài toán 5 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về luỹ thừa, về tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại công thức: Nếu: và hướng cho các em trình bày lời giải của bài toán phần b. Giải: Từ à (hoán vị các trung tỷ) à Hay Tương tự phần (b) học sinh dễ dàng hiểu và trình bày được lời giải phần a, c và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức. Bài toán 6: Cho . Hãy chứng minh Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng giải phù hợp. Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào vế trái, sau đó biến đổi vế trái bằng vế phải . Từ à b2 = ac. Thay vào vế trái ta có: (Đpcm) Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có lời giải sau: Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của với chính bản thân nó ta có: à mà à b2 = ac à Từ (1) và (2) à (Đpcm) Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 1) 2) 3) 4) Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: Bài 3: Chứng minh rằng nếu : thì Bài 4: Cho . CMR: Bài 5: Cho tỉ lệ thức . CMR: Với các phương pháp trên, trong phương pháp giảng dạy học sinh giỏi môn toán 7 đã