Đề tài Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn

A- Phần chung của đề tài I- Tên đề tài: Sử dụng phương pháp toạ độ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến chung của hai đường tròn II- Tên tác giả: Hoàng Thuý Lan Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Huệ, TP Yên Bái. III- Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán phổ thông( lớp 10) các bài tập về tiếp tuyến của đường tròn là một vấn đề tương đối khó đối với học sinh, đặc biệt là các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Do đó, đề tài này nhằm giúp học sinh thuận tiện và không thấy khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn bằng phương pháp toạ độ. IV- Nhiệm vụ và yêu cầu của đề tài: 1. Nhiệm vụ: Đưa ra được cho học sinh phương pháp tối ưu trong việc giải quyết các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 2. Yêu cầu: Học sinh biết cách giải quyết các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn. V- Giới hạn của đề tài: Trong việc giảng dạy toán hình lớp 10 VI- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu các sách nâng cao và sách phân ban.Bằng kinh nghiệm rút ra trong việc giảng dạy. B- Phần nội dung chính của đề tài I- Nội dung đề tài: 1. Phương pháp chung: Đối với tât cả các bài toán về tiếp tuyến của đường tròn có thể giải quyết dựa trên tính chất của tiếp tuyến với đường tròn là: “ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó ”. Và được phân làm các bước như sau: Bước 1: Tìm tâm và bán kính của hai đường tròn. Do ta phải sử dụng đến tâm và bán kính của đường tròn trong việc giải quyết bài toán nên việc đầu tiên học sinh thể làm là đi tìm tâm và bán kính của hai đường tròn. Bước 2: Xác định điều kiện của bài toán. Dựa vào tính chất nêu ở trên của tiếp tuyến của đường tròn học sinh có thể xác định được điều kiện của bài toán. Bước 3: Thiết lập các mối quan hệ. Đây là một bước quan trọng, chủ yếu dựa vào kĩ năng tính toán của học sinh. Do đó, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều về kĩ năng. Bước 4: Kết luận. 2. Nội dung: Chương I Một số kiến thức liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn 1.Đường tròn: +) Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R có dạng (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 +) Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2y + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0.Khi đó đường tròn có tâm I(-a;-b) và bán kính R = . 2.Tiếp tuyến của đường tròn: Đường thẳng : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C) Chương II Một số ví dụ minh hoạ Trong đề tài này ta quan tâm đến các bài toán về tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Với dạng toán này được chia làm bốn trường hợp: TH 1: Hai đường tròn có một tiếp tuyến chung. TH 2: Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung. TH 3: Hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung. TH 4: Hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung. Và để kiểm tra xem hai đường tròn có bao nhiêu tiếp tuyến chung học sinh có thể đi so sánh khoảng cách giữa hai tâm với tổng độ dài hai bán kính. Dạng 1: Hai đường tròn có một tiếp tuyến chung. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C) x2 + y2 – 8x – 4y – 29 = 0 và (C’): x2 + y2 – 2x – 12y + 33 = 0. Giải Bước 1: (C) có tâm I(4;2) và R = 7 (C’) có tâm I’(1;6) và R’ = 2 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , = 2 (2) (1) Từ (1) và (2) suy ra 7|a + 6b + c| = 2|4a + 2b + c| Với a – 38b – 5c = 0 c = thay vào (2) được | a + 6b + | = 2 Chú ý: Khi rút ra được biểu thức giữa a và b ta co thể chọn cặp số a và b thoả mãn biểu thức. Cặp số đó là toạ độ vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến. Chọn a = 4, b = - 3 suy ra c = . Được phương trình: 4x – 3y + = 0 Với 15a + 46b + 9c = 0 thay vào (2) được | a + 6b + | = 2 ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường tròn có một tiếp tuyến chung 4x – 3y + = 0. Dạng 2: Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 8y + 11 = 0 và (C’): x2 + y2 – 2x – 2y - 2 = 0 Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;4) và R = 3 (C’) có tâm I’(1;1) và R’ = 2 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2|2a + 4b + c| = 3|a + b + c| Với a + 3b – c = 0 c = a + 3b thay vào (2) được | a + b + a + 3b| = 2 (2) +) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = 1. Được phương trình: x + 1 = 0 +) Nếu 4a + 3b = 0 chọn a = 3, b = - 4 suy ra c = - 9. Được phương trình: 3x – 4y – 9 = 0 Với 7a + 11b + 5c = 0 thay vào (2) được | a + b + | = 2 ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung x + 1 = 0 và 3x – 4y – 9 = 0. Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C): (x – 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C’): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 Giải Bước 1: (C) có tâm I(5;-12) và R = 15 (C’) có tâm I’(1;2) và R’ = 5 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , (2) Từ (1) và (2) suy ra |5a – 12b + c| = 3|a + 2b + c| Với 2a – 18b – 2c = 0 c = a – 9b thay vào (2) được | a + 2b + a – 9c| = 5 (3) Chú ý: Khi gặp một biểu thức giữa a và b mà ta không thể phân tích ra được ta có thể sử dụng cách giải phương trình bậc hai để phân tích. Có Suy ra (3) có hai nghiệm +) Nếu chọn suy ra Được phương trình: +) Nếu chọn suy ra (4) Được phương trình: Với 8a – 6b + 4c = 0 thay vào (2) được | a + 2b + | = 5 ( vô nghiệm) Bước 4: Vậy hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung Dạng 3: Hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 và (C’): (x – 5)2 + (y – 5)2 = 16 Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;1) và R = 1 (C’) có tâm I’(5;5) và R’ = 4 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , (2) Từ (1) và (2) suy ra |5a + 5b + c| = 4|2a + b + c| Với 3a – b + 3c = 0 thay vào (1) được +) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1. Được phương trình: x - 1 = 0 +) Nếu 24a + 7b = 0 chọn a = 7, b = - 24 suy ra c = - 15. Được phương trình: 7x – 24y – 15 = 0 Với 13a + 9b + 5c = 0 thay vào (1) được (5) Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = 15. Được phương trình: 3x + 4y + 15 = 0 Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung x - 1 = 0 7x – 24y – 15 = 0 3x + 4y + 15 = 0 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau (C1) : x2 + y2 - 4x + 2y – 4 = 0 và (C2): x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0 Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;-1) và R = 3 (C’) có tâm I’(5;3) và R’ = 2 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , (2) Từ (1) và (2) suy ra 2|2a - b + c| = 3|5a + 3b + c| Với 11a + 11b + c = 0 thay vào (1) được (3) Có Suy ra (3) có hai nghiệm +) Nếu chọn suy ra Được phương trình: +) Nếu chọn suy ra Được phương trình: Với 19a + 7b + 5c = 0 thay vào (1) được Chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 17. Được phương trình: 3x + 4y - 17 = 0 Bước 4: Vậy hai đường tròn có ba tiếp tuyến chung 3x + 4y - 17 = 0 (6) Dạng 4: Hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 và (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9 Giải Bước 1: (C) có tâm I(2;1) và R = 1 (C’) có tâm I’(-2;-1) và R’ = 3 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , (2) Từ (1) và (2) suy ra |-2a - b + c| = 3|2a + b + c| Với 8a + 4b + 2c = 0 thay vào (1) được +) Nếu a = 0 chọn b = 1 suy ra c = -2. Được phương trình: y - 2 = 0 +) Nếu 3a + 4b = 0 chọn a = 4, b = - 3 suy ra c = - 10. Được phương trình: 4x – 3y – 10 = 0 Với 4a + 2b + 4c = 0 thay vào (2) được +) Nếu b = 0 chọn a = 1 suy ra c = -1. Được phương trình: x - 1 = 0 +) Nếu 4a - 3b = 0 chọn a = 3, b = 4 suy ra c = - 5. Được phương trình: 3x + 4y – 5 = 0 Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung y - 2 = 0 4x – 3y – 10 = 0 x - 1 = 0 3x + 4y – 5 = 0 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau (C): x2 + y2 – 6x + 6y + 17 = 0 và (C’): x2 + y2 =1 Giải (7) Bước 1: (C) có tâm I(3;-3) và R = 1 (C’) có tâm I’(0;0) và R’ = 1 Bước 2: Gọi phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’) là : ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) Suy ra Bước 3: Có (1) , (2) Từ (1) và (2) suy ra |3a - 3b + c| = | c | Với 3a - 4b = 0. Chọn a = 4, b = 3 thay vào (2) suy ra c = Được phương trình: 4x + 3y = 0 Với 3a - 3b + 2c = 0 thay vào (2) được (3) Có Suy ra (3) có hai nghiệm +) Nếu chọn suy ra Được phương trình: +) Nếu chọn suy ra Được phương trình: Bước 4: Vậy hai đường tròn có bốn tiếp tuyến chung 4x + 3y = 0 (8) C- Tài liệu tham khảo 1. Toán nâng cao hình học THPH 10. Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm. 2. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm hình học. Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm. 3. Tuyển chọn 400 bài toán hình học(ban KHTN) 10. Tác giả: Hà Văn Chương NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 4.Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán THPT 10. Tác giả: Nguyễn Văn Nho – Nguyễn Sinh Nguyên. NXB: Nhà xuất bản đại học sư phạm 5. Bài tập trắc nghiệm và các chuyên đề toán THPT 10. Tác giả: TS Nguyễn Văn Lộc NXB: Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội. 6. Để học tốt toán THPT 10. Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất. NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng. 7. Để học tốt toán THPT 12. Tác giả: Nguyễn Quang Hanh – Thái Bình – Lê Thống Nhất. NXB: Nhà xuất bản Hải Phòng. 8. Toán nâng cao hình học 12. Tác giả: Văn Như Cương. NXB: Nhà xuất bản giáo dục.