Đề tài Thiết kế mô hình tích cực đại số 10 với the geometers sketchpad

phụ lục Thiết kế mô hình tích cực Đại số 10 với The Geometer’s Sketchpad Mục đích của phần phụ lục này nhằm giúp giáo viên và học sinh có thể tự mình thiết kế, thay đổi và mô phỏng các mô hình toán tích cực phục vụ việc dạy và học Đại số 10 của mình. Việc thiết kế các mô hình tích cực này đòi hỏi người sử dụng có một số hiểu biết và kỹ năng nhất định về phần mềm GSP. Chúng tôi sẽ hướng dẫn thiết kế cụ thể một số mô hình đã được trình bày ở trong cuốn sách này. Những chương trình máy tính dựng hình động như The Geometer’s Sketchpad tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh đặt và kiểm chứng các giả thiết toán. Phần mềm Sketchpad cho phép người sử dụng vẽ một hình, thay đổi nó và rồi những tính chất hình học của nó sẽ được thiết lập. Phần mềm này cho phép học sinh khám phá được sự tổng quát của một loạt các hình được dựng. Sketchpad cho phép học sinh khảo sát và khám phá những mối quan hệ một cách linh hoạt để rồi các em có thể thấy được những thay đổi trong các hình hình học khi thao tác trực tiếp trên các hình. Sử dụng các phương tiện trực quan trong quá trình dạy học, đó là một yêu cầu đối với thầy giáo dạy bộ môn toán. Trong việc dạy học toán, trực quan có vai trò đặc biệt quan trọng vì môn toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát cao hơn các môn học khác và vì trực quan nếu được sử dụng đúng thì góp phần vào việc phát triển tư duy trừu tượng. Trong môi trường GSP hình và đồ thị vẽ được tạo ra trực quan hơn các hình vẽ được vẽ theo cách thông thường, cho nên nhiều tính chất mới được phát hiện. Khi dùng con chuột máy tính để kéo rê (drag) những phần tử của hình đó đến nhiều vị trí khác nhau trên màn hình sẽ đi đến những kết luận về các tính chất tổng quát nhờ sự quan sát bằng mắt trên màn hình. Sketchpad thực hiện một công việc tuyệt vời : đó là xác nhận các tính chất hình học cũng như tính chất của hàm số. Nó thường tạo cơ hội cho người sử dụng thấy được những tính chất đó đúng cho hàng ngàn trường hợp một cách thuận lợi bởi sự di chuyển liên tục. Sự xác nhận như vậy có vẻ thuyết phục hơn chứng minh, đặc biệt là trong các trường hợp chứng minh dài và khó. Nhưng việc vẽ hình thì hoàn toàn khác với chứng minh. Vẽ hình là để hình dung, hiểu và khám phá còn chứng minh là để khẳng định. Cơ bản về phần mềm GSP 1.1 Hộp công cụ - Toolbox Khi Sketchpad mở, 6 biểu tượng công cụ (tool) sẽ xuất hiện ở phía trái trên của màn hình, cùng với những chữ chạy ngang ở phía trên chỉ những trình đơn. Nhấp chuột vào biểu tượng thứ nhất có hình mũi tên là công cụ mũi tên chọn. Mũi tên chọn được dùng thường xuyên để đánh dấu đối tượng và chọn các lệnh. Trỏ chuột vào trình đơn File để thấy dải menu trải xuống. Trên đó, nhấn New Skecth. Cách để viết một phối hợp như vậy là: File | New Skecth. Biểu tượng công cụ thứ hai có một chấm ở giữa là công cụ điểm, nhấn nó, trên màn hình có một mũi tên nó đi theo sự dẫn dắt của bạn khi điều khiển con chuột. Dừng mũi tên và nhấn trái chuột. Bạn sẽ thấy một điểm ở trên màn hình. Nếu nó chưa có tên, áp dụng Edit | Preferences | Text, và theo các chỉ dẫn để các điểm mới sẽ được đặt tên một cách tự động. Hình 1 Nhấp thêm nhiều điểm trên màn hình. Chú ý là mỗi lần bạn thêm một điểm, nó được đánh dấu cho đến khi bạn thêm một điểm khác. Sự đánh dấu này cho biết điểm đó đã được chọn. Bạn thường xuyên phải chọn và bỏ chọn các đối tượng. Để chọn một vật, trước hết nhấn vào công cụ mũi tên chọn. Rồi đặt mũi tên con trỏ trên đối tượng cần được chọn và nhấp chuột. Nhấn lần nữa sẽ bỏ đối tượng vừa chọn. Sau khi chọn một đối tượng, nó sẽ ở trạng thái được chọn cho đến khi bạn bỏ chọn nó. Ngoài điểm, còn có các đối tượng khác như đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng. Ví dụ, để dựng một đường thẳng, chọn hai điểm và áp dụng Construct | Line. Tiếp theo, ta muốn xây dựng một đường tròn, nhưng trước hết ta hãy để ý đến một sơ suất hay gặp: để lại các đối tượng được chọn mà bạn không nên để. Không bỏ chọn đường thẳng (khi đối tượng vừa mới được dựng, nó được chọn một cách tự động), chọn hai điểm và áp dụng Construct | Circle by Center + Point. Nó sẽ không thực hiện được vì các đối tượng được chọn là không đúng yêu cầu. Vì thế ta phải bỏ chọn đường thẳng, chọn hai điểm và dựng một đường tròn. Chọn đường thẳng của bạn và áp dụng Display | Line Width. Thử cả ba lựa chọn (Dashed: nét đứt, Thin: nét mảnh, Thick: nét đậm). Những điều này áp dụng cho đoạn thẳng, tia, đường tròn và quỹ tích mà chúng ta sẽ xây dựng sau này. Bây giờ nhấn chuột vào công cụ thứ năm, gọi là Text và có tên là A. Mũi tên con trỏ đổi thành một bàn tay với một ngón đang chỉ ra. Di chuyển con trỏ sao cho ngón tay gần chạm với đáy của một điểm. Bàn tay sẽ trở thành màu đen. Nhấn trái chuột để dấu tên điểm. Nhấn lại lần nữa để gọi lại tên điểm. Kế tiếp di chuyển bàn tay sao cho nó nằm lên trên chính điểm đó. Nhấn đúp nhanh để thấy một hộp hội thoại để đổi tên. Thực hành thay đổi tên, cỡ chữ, kiểu chữ. Thực hành bỏ dấu và dấu tên của đường thẳng và đường tròn của bạn. Nếu như nổ lực của bạn không thành công trong việc đặt tên, thì có thể là bạn đã nhấn chuột khi bàn tay chưa đủ gần với đối tượng. Bây giờ bạn làm lại một cách có chủ định, nhấn đúp chuột. Kết quả cho ta một hình chữ nhật nhỏ. Khi bạn đánh chữ vào đó, khung chữ nhật sẽ to dần lên để chứa các chữ. Để đánh tiếng Việt, áp dụng Display | Text và chọn kiểu chữ thích hợp, chẳng hạn vnarial. Đánh tên bạn vào; và nhấn công cụ mũi tên. Với mũi tên này bạn có thể chọn khung chữ bạn vừa đánh và kéo nó đến một vị trí khác. Khi làm xong bạn nhớ bỏ đối tượng vừa chọn. Lúc nào bạn cần sửa hoặc thêm vào một khung chữ, nhấn vào công cụ Text và nhấn vào trong khung chữ, đúng vào nơi bạn cần bắt đầu. Khi chỉnh sửa, bạn sẽ thấy ở cuối màn hình một số nút được tô đậm (nếu không, áp dụng Display | Show Text Palette). Những nút đó cho phép bạn đổi phông - font và cỡ chữ, gạch dưới và các ký hiệu. Hãy thử những nút này và tạo nhiều khung chữ trên màn hình. Việc xoá các đối tượng, bao gồm khung chữ là dễ thực hiện. Chọn đối tượng và nhấn phím Delete. Thỉnh thoảng, có những đối tượng bị bạn xoá nhầm. Trong trường hợp đó hoặc bạn muốn đi ngược lại, nhấn phím Control và giữ nó xuống đồng thời nhấn phím Z. Lập lại điều đó sẽ đưa bạn trở lui lại nhiều bước. Một cách khác để đi ngược lại là áp dụng Edit | Undo. Kế tiếp, đặt thêm 6 điểm nữa trên màn hình và áp dụng Contruct | Segment cho hai điểm của chúng. Rồi hãy tưởng tượng một hình chữ nhật chỉ đủ lớn để chứa đoạn thẳng của bạn. Đặt mũi tên ở góc trái trên, giữ chuột và di chuyển mũi tên theo đường chéo của hình chữ nhật tưởng tượng. Thả chuột ra, chú ý những đối tượng trong hình chữ nhật bây giờ đã được chọn như là một khối. Hình chữ nhật biến mất và bây giờ bạn có nhiều việc để làm: - Kéo rê khối đi; - áp dụng Edit | Copy, rồi tiếp Edit | Paste, kéo rê khối được dán xa khỏi khối gốc; - Dấu khối bằng cách áp dụng Display | Hide Objects; - Xoá khối bằng cách áp dụng phím Delete. - Thực hành tất cả bốn và dùng Ctrl Z để quay lại thao tác ngay trước đó. Đến đây, chúng ta đã sử dụng 3 trong số 6 công cụ, đó là Mũi tên chọn, Điểm và Chữ. Công cụ thứ ba được gọi là Compass vàócong cụ thứ tư là các Cạnh thẳng. Dễ hiểu những công cụ này hoạt động như thế nào và phần lớn những điều mà những công cụ này có thể làm được đều có thể thực hiện được bởi menu Construct. Công cụ cuối cùng là “những công cụ của người sử dụng”, được gọi tắt là “công cụ thường dùng”, nó cho phép chúng ta tự tạo ra nhiều công cụ thuận tiện cho việc vẽ hình cho riêng người sử dụng. 1.2 Dựng hình - Construct Bạn đã sử dụng Construct để tạo nên các đoạn thẳng, đường thẳng và đường tròn. Để thực hành thêm về menu Construct, hãy bắt đầu với những đối tượng sau trên màn hình của bạn: nhiều điểm, một đoạn thẳng, một đường thẳng và một đường tròn. Dùng công cụ Text để đặt tên các điểm mút của đoạn thẳng là A và B, hai điểm trên đường thẳng là C và D, tâm đường tròn là O. Chú ý là có một điểm xuất hiện trên đường tròn của bạn;khi kéo rê điểm này bạn sẽ thay đổi bán kính; đặt tên điểm này là R. Hình 1 Nhấn công cụ Point, đặt đầu mũi tên trực tiếp lên đường thẳng CD, và nhấn chuột. Kết quả là có một điểm mới. Bạn cũng có thể có cùng kết quả đó bằng cách áp dụng Construct | Point on Object. Hãy đặt tên điểm đó là P. Nhấn vào Mũi tên chọn và kéo rê điểm P. Chú ý rằng P chỉ di chuyển trên đường thẳng. Đặt một điểm ở trên đoạn thẳng AB. Rồi đặt một điểm trên đường tròn và đặt tên là Q. Trong mỗi trường hợp, kiểm tra lại xem điểm mới có chuyển động tự do chỉ trên đối tượng mà bạn đặt nó vào.Sketchpad có thể tạo ra ba loại điểm: độc lập, điểm phụ thuộc. Những điểm độc lập như A và B không có cha mẹ (parents) nên bạn có thể kéo rê chúng tự do theo 2-chiều trên toàn bộ mặt phẳng màn hình. Những điểm phụ thuộc, như P và Q, có cha mẹ, cụ thể là các đối tượng mà chúng bị hạn chế vào, chúng chỉ tự do theo 1-chiều. Những điểm được dựng, như là điểm giữa I của một đoạn thẳng AB, chúng được xác định hoàn toàn và có tự do 0-chiều. Để phân loại rõ hơn về ba loại điểm, chọn điểm A và áp dụng Display | Animate Point. Sau khi quan sát kết quả, áp dụng Display | Stop Animation. Rồi làm tương tự với điểm P và Q. Sketchpad có hoạt hình các điểm một cách đồng thời không? Hãy thử thực hành. Kế tiếp, chọn đoạn thẳng AB, rồi áp dụng Construct | Midpoint để có trung điểm của đoạn thẳng. (Chú ý chọn đoạn thẳng chứ không phải những điểm mút của nó). Để thực hành, bạn vẽ thêm hai điểm và dựng trung điểm của nó. Vẽ thêm hai đường thẳng. Kéo rê một đường sao cho cắt đường kia và áp dụng Construct | Intersection để dựng giao điểm. Hay, đơn giản hơn là bạn thường có thể đưa đầu mũi tên đúng vào nơi hai đường cắt nhau, rồi nhấn chuột, thì Sketchpad sẽ cho giao điểm. Tại sao lại không phải lúc nào cũng làm theo cách sau này? Một câu trả lời là đôi khi những điểm rất gần với nhau làm cho bạn khó có thể chọn đúng điểm mà bạn cần. Nếu đường tròn của bạn không cắt đường thẳng, hãy kéo rê điểm R để đường tròn có phần cắt đường thẳng, rồi chọn đường tròn và đường thẳng và áp dụng Construct | Intersection. Hay nếu bạn không ở trong tình huống các điểm sát nhau, bạn có thể nhấn chuột vào các điểm giao nhau để có kết quả. Cách làm này đôi khi nên bằng tay nếu bạn chỉ cần một trong hai giao điểm. Một số mục tiếp theo trong menu Construct là dễ sử dụng khi các bạn biết những đối tượng cần thiết đã cho : Parallel Line - Đường thẳng song song: Chọn một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Perpendicular Line - Đường thẳng vuông góc: Chọn một đường thẳng và một điểm không nằm hoặc nằm trên đường thẳng đó. Angle Bisector - Đường phân giác của góc: Chọn ba điểm theo thứ tự. Circle by Center+Point - Đường tròn xác định bởi tâm và điểm thuộc đường tròn: Chọn hai điểm theo thứ tự. Circle by Center+Radius - Đường tròn xác định bởi tâm và bán kính: Chọn một điểm và một đoạn thẳng đi qua điểm đó. Arc on Circle - Cung trên đường tròn: Chọn một đường tròn và hai điểm trên đường tròn. Arc Through 3 Point - Cung tròn qua ba điểm: Chọn ba điểm. Đang còn hai chức năng còn lại trong Construct menu. Sau khi đã thực hành bảy chức năng đã trình bày ở trên, áp dụng Edit | Select All và nhấn phím Delete. Rồi đặt ba điểm lên màn hình. áp dụng Edit | Select All và tiếp Construct | Segment. Kéo rê ba điểm này để tạo nên một tam giác lớn. Bỏ chọn tất cả các đối tượng và rồi chọn ba điểm. áp dụng Construct | Triangle Interior (phần trong tam giác). Bỏ chọn phần trong này bằng cách nhấn chuột lên trên nó. Kế tiếp hãy mô phỏng theo cách tạo phần trong tam giác cho bộ bốn điểm hoặc nhiều hơn. Nếu có cạnh nào đó cắt một cạnh khác, bạn phải kéo rê các điểm sao cho một hình đa giác có các cạnh không tự cắt được xác định. Chức năng cuối cùng trong Construct menu là Locus - quỹ tích. 1.3 Quỹ tích - Locus Nói một cách chặt chẽ, thuật ngữ quỹ tích dùng để chỉ đường đi của một điểm chuyển động theo một quy luật nào đó. Trong Đại số 10, khi áp dụng tìm quỹ tích, bạn nên nhận ra rằng mình đang đối mặt với một hàm - theo nghĩa toán học - và bạn đang điều khiển biến và quy luật f nào đó. Xét ký hiệu quen thuộc y = f(x), giá trị y thay đổi theo x dưới tác động của quy luật f. Ví dụ 1 Để vẽ đồ thị của parabol , ta thực hiện lần lượt các bước sau: Đặt một điểm tuỳ ý di động trên trục Ox, lấy hoành độ x của nó bằng Measure | Abscissa. Dùng giá trị x đó để tính giá trị bằng Measure | Calculate, nhập số và dữ liệu vào hộp thoại máy tính - Calculator. Chọn x và y theo thứ tự, áp dụng Graph | Plot As (x,y) để vẽ điểm (x; y). Chọn điểm x trên trục hoành và điểm (x; y) vừa vẽ, áp dụng Construct | Locus, kết quả quỹ tích chính là đồ thị của parabol. Hình 2 1. 4 Hiển thị - Display Menu Display - Hiển thị có một chức năng gọi là Animate - Hoạt hình. Bắt đầu với một quỹ tích (đồ thị) bạn đã xây dựng được ở Ví dụ 1 ở trước. Bảo đảm là chỉ có điểm x được chọn. Rồi áp dụng Display | Animate Point. Nếu muốn có hộp thoại Motion Controller - điều khiển chuyển động, thì áp dụng Display | Show Motion Controller. Thử với nhiều kiểu điều khiển. Bạn sẽ thấy làm thế nào để dừng, bắt đầu, ngược lại và điều chỉnh tốc độ. Nhãn “Target: All motions” cho ta thấy Sketchpad có thể thực hiện đồng thời nhiều hoạt hình cùng một lúc. Hình 3 Thanh trượt tham số - slider Thanh trượt ngang Bắt đầu với Graph | Define Coordinate System để có hệ trục tọa độ và tiếp Graph Grid Form | Square - tọa độ vuông, trên trục hoành và tung cùng đơn vị. Chọn trục tung Oy, đặt một điểm A trên Oy ở phía dưới màn hình. Chọn A và Oy, áp dụng Construct | Perpendicular Line để vẽ đường thẳng qua A vuông góc với Oy. Đặt một điểm a tuỳ ý di động trên đường thẳng vuông góc vừa dựng. Lấy hoành độ a của nó bằng Measure | Abscissa. Dấu đường thẳng vuông góc bằng áp dụng Display | Hide Perpendicular Line. Dựng đoạn thẳng Aa, đổi màu đoạn thẳng thành đỏ. Kéo rê a từ trái sang phải để thấy hệ số a thay đổi như là một tham số thực. Tạo công cụ tham số có tên thamsongang. Cách tạo thanh trượt như thế này có ưu điểm là giá trị của tham số tương thích với giá trị của biến vì chúng có cùng đơn vị. Ví dụ 2 Để vẽ đồ thị của parabol y = ax2, với a là một hệ số tùy ý, dùng Graph | Plot New Function, mà không cần phải sử dụng Locus. Dùng hộp thoại trong Graph | New Function và nhập vào biểu thức . - Không phải tất cả các ký hiệu trong biểu thức đều có thể đánh vào, mà phải nhấp chuột vào số đo của hệ số a. Hình 4 Hình 5 Hãy làm tương tự để tạo ba tham số a, b, c. Kích chuột vào hàm số y = ax2 để thay đổi biểu thức thành . Khi đó ta sẽ có parabol y = ax2 + bx + c. Kéo rê lần lượt các thanh trượt tham số a, b, c để quan sát sự thay đổi của parabol. Phương pháp vẽ đồ thị này là nhanh và hữu hiệu. Ta có thể thay đổi các hàm số bằng cách áp dụng Edit | Copy | Paste. Thanh trượt dọc Đôi khi để thuận tiện ta lại cần đến những thanh trượt đứng. Việc tạo nên thanh trượt dọc hoàn toàn tương tự với thanh trượt ngang. Chỉ lưu ý là lấy tung độ q của điểm trượt bằng Measure | Ordinate. Đặt một điểm Q trên Ox ở phía bên trái màn hình. Vẽ đường thẳng qua Q vuông góc với Ox. Đặt một điểm q tuỳ ý di động trên đường thẳng vuông góc vừa dựng. Lấy tung độ q của nó bằng Measure | Ordinate. Dựng đoạn thẳng Qq, đổi màu đoạn thẳng thành xanh. Kéo rê q lên trên xuống dưới để thấy hệ số q thay đổi như là một tham số thực. Tạo công cụ tham số có tên thamsodoc. Chúng ta sẽ thấy rằng nếu dịch chuyển tịnh tiến parabol y = ax2 một cách thích hợp thì ta sẽ được đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c cũng là một parabol và parabol này giống hệt với parabol y = ax2 , chúng chỉ khác nhau về vị trí trong mặt phẳng tọa độ mà thôi. Ví dụ 3 Để minh họa, chúng ta tạo các thanh trượt tham số ngang a và p, thanh trượt dọc q. Copy biểu thức f(x) = ax2. Nhấp đúp vào biểu thức vừa copy để thay hàm số trong hộp thoại Edit Function, nhập vào biểu thức . Vẽ đồ thị của f(x) = ax2 bằng nét đứt, và đồ thị g(x) = ax2 + bx + c bằng nét đậm. Kéo rê p và q sao cho hai đồ thị trùng nhau. Kéo rê đồ thị lên trên xuống dưới, sang trái qua phải để quan sự thay đổi vị trí của đồ thị. Hình 6 Đo đạc và đồ thị - Measure and Graph Ví dụ 4 Để minh họa cho Measure | Calculate (tính toán), bắt đầu bằng cách áp dụng Graph | Define Coordinate System, quan sát ảnh hưởng của việc kéo rê những điểm ở 0 và 1 trên trục hoành. Vẽ một đường tròn và đặt một điểm P trên đó. Chọn P và áp dụng Measure | Abscissa (hoành độ). Rồi chọn P và áp dụng Measure | Ordinate (tung độ). Rồi áp dụng Measure | Calculate. Nhấn chuột vào số đo của hoành độ, đánh dấu +, rồi nhấn vào số đo của tung độ. Xong nhấn vào OK. Hình 7 Ví dụ này minh hoạ mục đích của Calculate - tính toán: thiết lập các hàm số theo các biến số thu được từ các hình vẽ. Rất hứa hẹn trong việc thiết kế mô hình đại số tích cực. Để tiếp tục với ví dụ này, chọn số đo hoành độ và tổng vừa tính được. Rồi áp dụng Graph | Plot As (x,y). Đặt tên điểm đó là R. Cuối cùng, một kết quả sẽ làm bạn ngạc nhiên, chọn P và R theo thứ tự đó, và áp dụng Construct | Locus. Ta thấy quỹ tích là một elip. Vẽ đồ thị bằng Graph | Plot Function Trong các phần trên khi trình bày về quỹ tích và thanh trượt tham số, chúng tôi cũng đã giới thiệu chức năng vẽ đồ thị bằng cách áp dụng Graph | Plot Function. Phần này sẽ giúp các bạn hiểu thêm một số chức năng thuận lợi khác của Graph | Plot Function. Ví dụ 5 Bắt đầu với Graph | Define Coordinate System và áp dụng Graph | New Function. Trong hộp hội thoại hiện ra bạn có thể đánh hay nhấn vào hàm thứ nhất . áp dụng Graph | Plot Function ta có đồ thị là một hypebol nét đậm. Với hàm thứ hai, chọn phương trình theo Sketchpad của phương trình thứ nhất, áp dụng Edit | Copy rồi tiếp Edit | Paste. Kéo rê đối tượng vừa được copy ra một vị trí thuận tiện và để nó dưới dạng được chọn, rồi áp dụng Edit | Edit Function. Điều đó cho phép bạn đổi dấu + ở cuối thành dấu trừ để có hàm số . Hình 8 Làm như thế, bạn nhanh chóng có được hàm thứ hai mà vẫn giữ nguyên hàm số thứ nhất. Bảo đảm là bạn đã vẽ đồ thị của hàm thứ hai là hypebol nét nhạt bằng Graph | Plot Function. Ví dụ 6 Trong trường hợp cần vẽ đồ thị của hai hàm khác nhau để xét giao điểm của chúng, ta cũng có thể làm tương tự để đưa vào hàm số thứ hai nhưng vẫn giữ nguyên hàm số thứ nhất. Khi áp dụng Edit | Edit Function cho hàm số vừa mới paste - dán qua, nhấn chuột vào Functions - hàm số để chọn hàm số căn bậc hai sqrt (squareroot) của x. Chọn hàm số và áp dụng Graph | Plot Function để vẽ đồ thị của g. Hình 9 Khi xét giao điểm của hai đồ thị trong việc giải và biện luận các phương trình, chúng ta cần đến nhiều hàm số cơ bản ở phổ thông. Các hàm số cơ bản xuất hiện ở Graph | New Function | Functions. Các hàm số như sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, ln, log có ký hiệu quen thuộc thường gặp. Ngoài ra còn có các hàm số: abs: trị tuyệt đối sqrt: căn số bậc hai sgn: hàm dấu round: hàm làm tròn trunc: hàm phần nguyên. Hình 10 Như ví dụ 6 cho ta thấy, Sketchpad có nhiều chức năng về vẽ đồ thị của hàm số. Với hai đồ thị đang còn ở trên màn hình, nhấp chuột để chọn một đồ thị và áp dụng Edit | Properties | Plot. Bạn có thể điều khiển Domain (miền xác định), số Samples (số mẫu), hoặc hiển thị đồ thị dưới dạng Continuous (liền nét) hoặc Discrete (rời rạc). Hình 11 Đồ thị động Để thiết kế các mô hình có đồ thị động, hiện dần ra khi biến x tiến từ trái sang phải trên trục hoành. Ví dụ 7 Trong bài toán bóng đá, để vẽ parabol động, minh họa quỹ đạo của quả bóng di chuyển như thế nào, ta thực hiện các bước sau: Bắt đầu với Graph | Define Coordinate System, áp dụng Graph | Grid Form | Rectangular Grid để có hệ tọa độ chữ nhật với đơn vị trên hai trục không bằng nhau. Kéo rê điểm đơn vị trên trục hoành và trục tung cho phù hợp. Vẽ đồ thị hàm số bằng Graph | Plot New Function và nhập biểu thức (-4.9*x^2 + 12.2*x + 1.2) vào hộp thoại. Vẽ giao điểm của parabol với trục hoành để xác định điểm chạm đất D, với trục tung để xác định điểm bắt đầu đá H. Ta có thể vẽ D và H một cách tương đối chính xác bằng cách áp dụng Graph | Plot Points rồi nhập vào theo thứ tự hoành độ, tung độ của hai điểm D = (2,58 ; 0), H = (0; 1,2) ở hộp thoại. Dấu đồ thị parabol. Vẽ đoạn thẳng OD. Đặt một điểm P di động trên OD. Vẽ đoạn thẳng OP. Đặt một điểm M di động trên OP. Chọn M, áp dụng Measure | Abscissa (hoành độ) để đo hoành độ x của M. áp dụng Measure | Calculate, tính giá trị f(x) = bằng cách nhập biểu thức vào hộp thoại. Dùng Graph | Plot As (x,y) để dựng điểm (x; f(x)). Nhấp chuột để chọn điểm M và điểm (x; f(x)) vừa dựng, áp dụng Construct | Locus ta thu được quỹ tích là một phần đồ thị của parabol trong khoảng từ O đến P. Để làm cho đồ thị di động, chọn P và D theo thứ tự, áp dụng Edit | Action Buttons | Movement. Hình 12 Khi hộp thoại xuất hiện, ta có thể chọn tính chất của nút lệnh chuyển động: Slow - chậm, Medium - vừa phải, Fast - nhanh, và Instant - ngay tức khắc. Chọn hướng chuyển động Follow Moving Destination - Di chuyển về phía điểm cuối, để có chuyển động từ trái qua phải. Đặt tên nút lệnh Dabong. Hình 13 Sau khi hoàn thành xong mô hình động, hãy Hide - dấu những đối tượng không liên quan trực tiếp đến mô hình. Hình 14 Để làm chuyển động lại từ đầu, ta chọn P, O theo thứ tự, áp dụng Edit | Action Buttons | Movement. Tốc độ Instant - ngay tức khắc, đặt tên nút lệnh làm lại từ đầu Reset. Kích hoạt nút lệnh Dabong để kiểm tra lại chuyển động. Kích nút Reset để làm lại từ đầu. Chúng ta có thể áp dụng các bước thiết kế ở Ví dụ 7 cho một hàm số y = f(x) tùy ý để có đồ thị động. Hệ trục tọa độ thu gọn Khi thiết kế các mô hình toán tích cực, đôi khi chúng ta cần trên màn hình máy tính xuất hiện một, hai, ba hoặc bốn hệ trục tọa độ cùng một lúc để học sinh có thể so sánh đối chiếu các tính chất của đồ thị với nhau. Hệ trục tọa độ thu gọn được thiết kế để đáp ứng nhu cầu đó. Những công cụ để vẽ điểm, đồ thị, đường thẳng trong hệ thu gọn được thiết kế sẵn trong hộp công cụ thường dùng - Custom Tool. Hình 15 Ví dụ 8 Để vẽ đồ thị parabol ở Ví dụ 1 trong hệ thu gọn, ta cần tiến hành các bước sau: Vào Custom Tool - công cụ thường dùng, chọn hệ thu gọn hethugon và 1hetruc (một hệ trục). Điều chỉnh khung, gốc và điểm đơn vị phù hợp với đồ thị cần vẽ. Vào Graph | New Function để nhập biểu thức . Hình 16 Chọn y = f(x) trong hethugon, đưa mũi tên đến điểm góc trên bên trái TT, khi xuất hiện màu xanh, nhấn vào điểm TT, tiếp tục đưa mũi tên xuống điểm góc dưới bên phải DP, và cuối cùng là điểm gốc tọa độ O. Kích chuột vào hàm y= f(x) cần vẽ. Ta sẽ có đồ thị trong hệ thu gọn. Ví dụ 9 Để xét các phương trình tương đương, ta cần đến hai trục tọa độ thu gọn. Vào Custom Tool - công cụ thường dùng, chọn hệ thu gọn hethugon và 2hetruc (hai hệ trục). Điều chỉnh khung, gốc và điểm đơn vị phù hợp với các đồ thị cần vẽ. Chọn cả hai hệ trục vuông và cùng đơn vị. Tạo thanh trượt tham số a ở hệ trục thứ nhất. Vào Graph | New Function để nhập ba biểu thức (x^3-2*x+1), x+1, và (sqrt(a*x^2+1). Các hàm số đó sẽ được đặt tên lần lượt là y =f(x), y =g(x) và y = h(x). Vào Graph | New Function để nhập f(x) + h(x) và g(x) + h(x) bằng cách nhấp chuột vào các hàm số cần nhập. Thực hiện các bước ở Ví dụ 8 để vẽ đồ thị hàm số f(x) và g(x) trong hệ trục trái, và đồ thị hàm số y =f(x) + h(x) và y =g(x) + h(x) trong hệ trục. Hình 17 Nhận xét về nghiệm của phương trình f(x) = g(x) từ đồ thị của các hàm số y = f(x) (màu đỏ) và y = g(x) (màu xanh) được vẽ trên hệ trục trái và nghiệm của phương trình f(x) + h(x) = g(x) + h(x) dựa vào đồ thị của các hàm số y = q(x) = f(x) + h(x) (màu xanh lá cây) và y = r(x) = g(x) + h(x) (màu đỏ) được vẽ trên hệ trục phải (nghiệm của các phương trình trên là hoành độ của các điểm màu đỏ trên hệ trục). Kéo rê điểm a trên thanh trượt để thay đổi hàm số y = h(x). Qua hai ví dụ trên, hệ thu gọn đã giúp chúng ta thiết kế có hiệu quả các mô hình toán tích cực liên quan đến đồ thị hàm số sử dụng trong phương trình tương đương đương. Các bạn thử thực hành với mô hình phương trình hệ quả sau đây. Để có thể tự thiết kế các mô hình tương tự theo ý tưởng của riêng mình các bạn hãy thực hành xây dựng lại một số mô hình trong sách đã trình bày. Hình 18 Các phép biến hình - Transform Thông thường các phép biến hình được dùng nhiều trong hình học. Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày những kiến thức cần thiết của các phép biến hình liên quan đến thiết kế mô hình tích cực Đại số 10. Trình đơnTransform cung cấp bốn phép biến hình cơ bản: Translate - tịnh tiến, Rotate - quay, Dilate - vị tự, Reflect - đối xứng trục. Để xác định chính xác một phép biến hình bạn cần khai báo cho GSP các yếu tố cần thiết để xác định phép biến hình đó. Chẳng hạn, để tịnh tiến một đối tượng, bạn phải báo cho Sketchpad biết hướng và khoảng cách đòi hỏi. Để quay một đối tượng, bạn phải chỉ ra tâm quay và góc quay. Tịnh tiến đồ thị Ví dụ 10 Dùng hệ thu gọn 1hetruc, vẽ đường thẳng d: y = 2x -1. Chọn điểm M di động trên đường thẳng. áp dụng Graph | Plot Points để vẽ điểm (3; 0). Chọn gốc O và điểm (3;0), áp dụng Transform | Mark Vector để chọn vectơ tịnh tiến. Chọn M, dùng Transf